贝尔不等式怎么证明 纠缠

在理论物理学中，贝尔不等式（Bell's inequality）是一个有关是否存在完备局域隐变量理论的不等式。实验表明贝尔不等式不成立，说明不存在关于局域隐变量的物理理论可以复制量子力学的每一个预测（即贝尔定理）。

在经典物理学中，此一不等式成立。在量子物理学中，此一不等式不成立，即不存在这样的理论，其数学形式为∣Pxz-Pzy∣≤1+Pxy

继续发展爱因斯坦-波多斯基-罗森佯谬（简称为EPR佯谬）的论述（但是选择采用自旋的例子，如同戴维·玻姆版本关于EPR佯谬的论述），贝尔精心设计出一个思想实验：从衰变生成的两颗处于单态（singlet state）的自旋1/2粒子会分别朝着相反方向移动，在与衰变地点相隔遥远的两个地点，分别三维坐标系测量两个粒子的自旋，每一次测量得到的结果是“向上自旋”（标计为“+”）或“向下自旋”（标计为“-”）。[2]

假设角动量为零的母粒子衰变成两个粒子A和B，根据角动量守恒定律，一个光子必具有与另一个光子相同的偏振态，这可以用垂直于粒子路径的静止的测量装置，并在某共同方向（比方说向上）测量其偏振态来加以证实。事实上已发现：当粒子A通过其偏振片时，B也总是通过的，即：发现了100%的关联。反之，如果偏振片相互垂直安配，那么，每当A通过则B被挡阻，这时有100%的反关联。在通常的经典力学中，这也是正确的。

但是当二者不处于平行或垂直，在两个地点测量得到一致结果的概率，会因为两根直轴 a 与 b 之间的夹角角度 θ而变化。现在设定实验规则，如右图所示，假设爱丽丝与鲍伯分别独自在这两个地点测量，若在某一次测量，爱丽丝测量的结果为向上自旋，而鲍伯测量的结果为向下自旋，则称这两个结果一致，相关系数为"+1"，反之亦然；否则，若爱丽丝与鲍伯测量的结果都为向上自旋或都为向下自旋，则两个结果不一致，相关系数为"-1"。那么，假设 a 与 b 相互平行，则测量这些量子纠缠粒子永远会得到一致的结果（完全相关）；假设两根直轴相互垂直，则只有50%概率会得到一致的结果，得到不一致结果的概率也是50%。

假设Pxy的意义是粒子A在x方向上和粒子B在y方向上测量到自旋相同的概率，那么Pxy=-N1-N2+N3+N4+N5+N6-N7-N8

同理，Pzy=-N1+N2+N3-N4-N5+N6+N7-N8

Pxz=-N1+N2-N3+N4+N5-N6+N7-N8

|Pxz-Pzy|=|-2N3+2N4+2N5-2N6|=2|(N4+N5)-(N3+N6)|<=2[|(N4+N5)|+|(N3+N6)|]

因为所有出现的概率和为1，即N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7+N8=1 代入上式可得

|Pxz-Pzy|<=(N3+N4+N5+N6)+(1-N1-N2-N7-N8)

所以|Pxz-Pzy|<=1+Pxy

当然，这一推导是被简化了的。隐变量不一定是离散的，而可以定义为区间λ上的一个连续函数。除此之外，还有集合式、几何式等证明方法。 贝尔原始的证明方法利用了斯特恩-革拉赫装置中电子运动的性质与自旋态跃迁概率的性质，结合经典概率论证明。除此之外，匈牙利物理学家F P 维格纳在1970年曾给出对贝尔不等式的“最简捷的”证明。

他的思路是：先导出两个Pr (sa = x, tb = y)的表达式，一个表现量子力学的特征，另一个表现定域隐变量理论的特征，然后把贝尔不等式的证明归结为证明这两个表达式不能同时成立。详细的证明方法可以在参考资料及扩展阅读文献中找到。

从上述推证中不难看出：贝尔不等式是由一元线性隐变量理论加定域性约束得到的，它表现了该理论对实验结果的限制情况。如果贝尔不等式成立，就意味着这种形式的隐变量理论也成立，则现有形式的量子力学就不完备。要是实验拒绝贝尔不等式，则表明量子力学的预言正确，或者是实验有利于量子力学。几十年来，人们就把贝尔不等式成立与否作为判断量子力学与隐变量理论孰是熟非的试金石。

带磁矩的磁体在匀强磁场中不受力而受力矩；该力矩使其磁矩m转向外磁场B的方向；

而非均匀磁场就不同了，相当于带磁矩的磁体其N极和S极受到的磁力的大小不一样,所以合力不为零，有沿磁场线方向的力。

因此，斯特恩盖-拉赫实验必须用非均匀磁场才能产生沿磁场线方向的力，才能使得银原子运动方向偏转。而均匀磁场只能产生转动力矩，此力矩不能使银原子运动方向偏转（只能使银原子磁矩m转向外磁场B的方向）。

司今（jiewaimuyu@126com）

宇宙是磁的海洋，万物皆磁，磁的问题研究透了，宇宙万物的物理属性与运动本质也就昭然若揭了。

然而，我们关于磁的起源问题的 探索 却一直处在“混沌”之中：

电磁学中用安培的“分子电流说”来描述磁的起源，量子力学却出现了基本粒子有“自旋磁矩”问题，比如自旋电子，它是目前“没有内部结构”的最基本粒子之一，对它的磁性来源，用“分子电流说”就无法给予解释了，那么，我们该如何解释自旋的基本粒子的磁性起源问题呢？

在物理学发展史中，曾出现磁子概念，想用它来描述自旋体的磁矩起源问题；自1903年起，英国物理学家J汤姆逊、W佛科、P魏斯等致力于新磁学理论的发展，其中，魏斯提出：我们应该有用于描述基元磁体的类似电子的“磁子”一词，使大钢棒磁化是由俄亥俄州立大学的SJ巴涅特和LJH巴涅特夫人首先用实验证明的，他们于1914年12月把这一发现送交美国物理学会。巴涅特解释说：“如果磁子有角动量，那么磁子将会有取向的变化，以便使它的转动方向跟根强迫转动的方向更加接近一致。”他于1915年期间对于转动速度和所产生的磁的强度的比率作了更好的测定。

对此，爱因斯坦-德哈斯二人也曾涉足过这方面的实验验证。

1921年，康普顿在关于X射线和原子散射的文章中也曾提出，也许可以这样认为，电子本象一个小陀螺一样旋转着，它可能是一个非常小的磁性粒子，并建议用它来解释磁性的自然单位。康普顿当时只是一种猜想，而且并没有继续坚持它的这种看法”。[3]但因电子自旋概念能较好地解释了斯特恩-革拉赫实验和泡利不相容原理，最终还是被量子力学所接受和吸纳，并逐渐推广到质子、中子、光子等微观粒子领域。

1922年，量子力学中著名的“斯特恩—格拉赫实验”首次给出了磁子存在的直接证据，即首次证实原子在磁场中有量子化取向，从而证实了原子角动量量子化的存在。

1925年GE乌伦贝克和SA古兹密特受到泡利不相容原理的启发，分析原子光谱的一些实验结果，提出电子具有内禀运动--自旋，并且有与电子自旋相联系的自旋磁矩，至此，磁子概念就被自旋磁矩概念所取代而退出物理的 历史 舞台。

我们知道，电子自旋磁矩是沿用其轨道磁矩思路假设而来的，即电子轨道磁矩为μl=-μBl/h)μs，电子自旋磁矩为μs=-2μBs/h。

对此，我们就有一个疑惑：

电子是被看作是没有内部组成结构、没有空间大小的点，那它的自旋角动量该如何描述？角动量是一个与空间大小有关的量，电子没有空间大小，轨道磁矩是按安培分子电流产生偶极磁子的观点得来的，而电子没有内部组成结构，它的自旋磁矩是由什么绕电子中心轴旋转而产生的呢？

由此可见，关于电子自旋磁矩的起源问题，用目前的量子力学理论是没有办法得以解释的，因此，量子力学只能将电子自旋角动量和磁矩描述为“电子的内禀性角动量和磁矩”——这就等同于没有描述一样！

我们再看看魏斯磁子与“玻尔磁子”有什么不同：

魏斯提出的磁子概念是想描述类似于自旋电子一样的偶极“磁子”，即基本粒子自旋所具有偶极磁性的概念，它与量子力学中的电子自旋磁矩概念相同，但与玻尔磁子所描述的电子绕原子核运动的情况则不同，根据量子力学理论可知，与电子相关的磁矩基本单位是一常数，对之，我们可以用电子电荷的“公转”角动量来定义出来，即μ=-emr²ω/2m=-ev²r/2，其本质与电磁学中的安培“分子电流说”所定义出来的磁偶极子概念的思路是相同的；因此，从这个意义上来说，玻尔磁子并不可以看做是一个“粒子”，而是一个“公转系统”。

从魏斯磁子和玻尔磁子概念的比较中可以发现，对一个粒子而言，不论其有自旋角动量还是公转角动量，它们都会产生相应的磁矩，这就体现了磁诞生的二个不同方面，即自旋生磁和公转生磁。

但对公转生磁系统而言，如果我们将这个系统看做是一个闭合的独立系统，则它也可以被看做是一个“粒子”，如“氢核+电子”构成一个氢原子，那么这个氢原子也有自旋磁矩存在，我们就可以说氢原子也是一个“磁子”。

由此可见，磁子概念如果被看做是一个“粒子”，其包含二层含义，即作为没有任何物质组成结构的最基本粒子，如电子等，可以称为“真磁子”；而作为有物质组成结构的“非基本粒子”，如氢原子等，可以称它为“假磁子”。

同时，我们还应该关注：在“非基本粒子”领域，还有质子，质子等，这些粒子的组成形式又不同于“氢原子”，即它的内部组成结构不包含“公转”形式，组成它们的“夸克”是以“晶格”结构形式出现的，即由这些“夸克”组成的质子或中子是一种“刚体”粒子，它们的自旋也会产生像电子一样的“真磁子”

总之，磁子描述的是旋转质量体所产生的一种关于磁的物理效应现象，从这个意义上来说，一些具有自旋和磁场性的宏观物体，如地球、太阳、中子星等，也都可以看做是一个“磁子”，这就像牛顿力学中将它们看作是一个质点一样

斯特恩－革拉赫实验（Stern-Gerlach experiment）是首次证实原子 在磁场中取向量子化的著名实验，证实了原子角动量的量子化。由奥托·斯特恩和瓦尔特·格拉赫在1922年完成12，奥托·斯特恩因此获得1943年诺贝尔物理学奖（期间担任美国加州大学伯克利分校物理学教授，后在该校退休）3。

直到1925年G乌伦贝克和S古兹密特提出电子自旋的假设，实验结果才得到了全面的解释。原子磁矩是电子的轨道磁矩和自旋磁矩的和（原子核磁矩很小，可忽略），在磁场方向上的分量μz只能取以下数值：

μz=－mlgμB，ml=J,J－1,…,－J

式中m称为磁量子数；J为总角动量量子数；μB为玻尔磁子；g为朗德因子（见原子磁矩）。即原子磁矩在磁场中只能取2J+1个分立数值。银原子的基态是2S1/2，J=1/2，m=1/2,–1/2，所以实验中在底片上出现两条黑斑。

说明磁矩有两种取值，当时人们并没有自旋的概念，根据经典理论，轨道角动量的取值只能是整数。解决方案是引入电子自旋。

自旋是一个没有经典理论对应的物理量，通常人们会把自旋理解为电子自身的转动，但这种物理图像不成立：①迄今为止的实验未发现电子有尺寸的下限，即电子是没有大小的；②如果把电子自旋设想为有限大小均匀分布的电荷球围绕自身转动，电荷球表面切线速度将超过光速，与相对论矛盾。

因此自旋的物理现象是纯粹的量子力学效应。斯特恩－革拉赫实验说明，原子磁矩取值和自旋磁矩取值无法同时确定，而在经典力学中可以同时确定，这正是量子力学区别于经典力学的本质特征，体现为海森堡不确定性关系，或者狄拉克非对易代数。

斯特恩–革拉赫实验是原子物理学和量子力学的基础实验之一，它还提供了测量原子磁矩的一种方法，并为原子束和分子束实验技术奠定了基础。

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在物理学和化学中，阿伏伽德罗常数（符号：NA或L）的定义是一个比值，是一个样本中所含的基本单元数（一般为原子或分子）N，与它所含的物质量n（单位为摩尔）间的比值，公式为NA = N/n[1]。因此，它是联系一种粒子的摩尔质量（即一摩尔时的质量），及其质量间的比例常数[2]。阿伏伽德罗常数所表示的是，一摩尔物质所含的基本单元（如分子或原子）数量，而它的数值为：

继续发展爱因斯坦-波多斯基-罗森佯谬（简称为EPR佯谬）的论述 （但是选择采用自旋的例子，如同戴维·玻姆版本关于EPR佯谬的论述 ），贝尔精心设计出一个思想实验：从衰变生成的两颗处于单态（singlet state）的自旋1/2粒子会分别朝着相反方向移动，在与衰变地点相隔遥远的两个地点，分别三维坐标系测量两个粒子的自旋，每一次测量得到的结果是“向上自旋”（标计为“+”）或“向下自旋”（标计为“-”）。

假设角动量为零的母粒子衰变成两个粒子A和B，根据角动量守恒定律，一个光子必具有与另一个光子相同的偏振态，这可以用垂直于粒子路径的静止的测量装置，并在某共同方向（比方说向上）测量其偏振态来加以证实。事实上已发现：当粒子A通过其偏振片时，B也总是通过的，即：发现了100%的关联。反之，如果偏振片相互垂直安配，那么，每当A通过则B被挡阻，这时有100%的反关联。在通常的经典力学中，这也是正确的。测量结果如表格所示： 同向轴 θ=0° ： 第1对 第2对 第3对 第4对 总共n对 爱丽丝： + --+ 鲍伯： -+ + -相关系数:( +1 +1 +1 +1 ) / n= +1　　　　　　　　（100%一致）正交轴 θ=90° ： 第1对 第2对 第3对 第4对 总共n对 爱丽丝： + -+ -鲍伯： --+ + 相关系数:( +1 -1 -1 +1 ) / n= 0　　　　　　　　（50%一致）但是当二者不处于平行或垂直，在两个地点测量得到一致结果的概率，会因为两根直轴 a 与 b 之间的夹角角度 θ而变化。现在设定实验规则，如右图所示，假设爱丽丝与鲍伯分别独自在这两个地点测量，若在某一次测量，爱丽丝测量的结果为向上自旋，而鲍伯测量的结果为向下自旋，则称这两个结果一致，相关系数为+1，反之亦然；否则，若爱丽丝与鲍伯测量的结果都为向上自旋或都为向下自旋，则两个结果不一致，相关系数为-1。那么，假设 a 与 b 相互平行，则测量这些量子纠缠粒子永远会得到一致的结果（完全相关）；假设两根直轴相互垂直，则只有50%概率会得到一致的结果，得到不一致结果的概率也是50%。测量的结果可以这样表示：

在空间坐标系XYZ中： Ax Ay Az Bx By Bz 出现概率 + + + - - - N1 + + - - - + N2 + - + - + - N3 + - - - + + N4 - + + + - - N5 - + - + - + N6 - - + + + - N7 - - - + + + N8 假设Pxy的意义是粒子A在x方向上和粒子B在y方向上的相关系数，那么Pxy=-N1-N2+N3+N4+N5+N6-N7-N8

同理，Pzy=-N1+N2+N3-N4-N5+N6+N7-N8

Pxz=-N1+N2-N3+N4+N5-N6+N7-N8

|Pxz-Pzy|=|-2N3+2N4+2N5-2N6|=2|(N4+N5)-(N3+N6)|<=2[|(N4+N5)|+|(N3+N6)|]

因为所有出现的概率和为1，既N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7+N8=1 代入上式可得

|Pxz-Pzy|<=(N3+N4+N5+N6)+(1-N1-N2-N7-N8)

=>|Pxz-Pzy|<=1+Pxy

当然，这一推导是被简化了的。隐变量不一定是离散的，而可以定义为区间λ上的一个连续函数。除此之外，还有集合式、几何式等证明方法。 贝尔原始的证明方法利用了斯特恩-革拉赫装置中电子运动的性质与自旋态跃迁概率的性质，结合经典概率论证明。 除此之外，匈牙利物理学家F P 维格纳在1970年曾给出对贝尔不等式的“最简捷的”证明 。他的思路是：先导出两个Pr (sa = x, tb = y)的表达式，一个表现量子力学的特征，另一个表现定域隐变量理论的特征，然后把贝尔不等式的证明归结为证明这两个表达式不能同时成立。详细的证明方法可以在参考资料及扩展阅读文献中找到。

从上述推证中不难看出：贝尔不等式是由一元线性隐变量理论加定域性约束得到的，它表现了该理论对实验结果的限制情况。如果贝尔不等式成立，就意味着这种形式的隐变量理论也成立，则现有形式的量子力学就不完备。要是实验拒绝贝尔不等式，则表明量子力学的预言正确，或者是实验有利于量子力学。几十年来，人们就把贝尔不等式成立与否作为判断量子力学与隐变量理论孰是熟非的试金石。

“……不考虑磁矩在磁场中还受到力矩的作用而会旋转”确实不太合理，但我看是属于简化问题的比较合理的说法。考虑的话，说明会更复杂，但不改变问题实质。

“……转至平行或反平行于磁场的取向”这是成问题的！按经典力学应该只会转至平行的取向，而不会转至反平行的方向！（除非开始的取向就是绝对反平行的，但这应该是极罕见的）

按你“如果旋转得很快”的假设，应该只有上面一条，而不会是实际的上下两条！“如果旋转得很慢”，则就是书上说的那样连续分布；“如果是以中等速度旋转”，则仍是连续分布，只是越靠上面分布越密集。总之，不论以怎样的速度旋转都得不到实验所得的上下两条的结果——经典方法确实是失效的。