求常数a,b,使方程6Uxx-5Uxy+Uyy=0,在变量代换m=x+ay,n=x+by下,可化为新方程Umn=0

解：U'(x)=U'(m)m'(x)+U'(n)n'(x)=U'(m)+U'(n)；

U'(y)=U'(m)m'(y)+U'(n)n'(y)=aU'(m)+bU'(n)；

所以：U''(xx)=U''(mm)+2U''(mn)+U''(nn)；U''(xy)=aU''(mm)+bU''(mn)+aU''(mn)+bU''(nn)

U''(yy)=aU''(mm)a+aU''(mn)b+bU''(mn)a+bU''(nn)b

0=6Uxx-5Uxy+Uyy=6(U''(mm)+2U''(mn)+U''(nn))-5(aU''(mm)+bU''(mn)+aU''(mn)+bU''(nn))+

aU''(mm)a+aU''(mn)b+bU''(mn)a+bU''(nn)b

=(6-5a+a^2)U''(mm)+(12-5b-5a+2ab)U''(mn)+(6-5b+b^2)U''(nn)

由题意：6-5a+a^2=0，6-5b+b^2=0，解得：a=2,b=3或a=3,b=2或a=b=2或a=b=3

（1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，将到达N点的速度分解得知

    vcosθ=v0，

解得，粒子离开电场时的速度大小v=2v0．

（2）从M→N过程，由动能定理得

   qUMN=

1

2

mv2-

1

2

m

v

20

代入解得，UMN=

3m v 20

2q

（3）粒子进入第四象限后，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，则

   qvB=m

v2

R

得粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为 R=

mv

qB

=

2mv0

qB

．

画出轨迹如图，由几何知识得

   OP=R+Rcosθ=

3mv0

qB

答：

（1）粒子离开电场时的速度大小是2v0；

（2）M、N两点间的电势差UMN为

3m v 20

2q

．

（3）P点到坐标原点O的距离OP是

3mv0

qB

．

（1）粒子在第一象限内做类平抛运动，进入第四象限做匀速圆周运动．设粒子过N点的速度为v，有

v0

v

＝cosθ

得：v=2v0

粒子从M点到N点的过程，由动能定理有：

qUMN＝

1

2

mv2

1

2

m

v

20

解得：UMN＝

3m v 20

2q

（2）粒子在磁场中以O′为圆心做匀速圆周运动（如图所示），半径为O′N，有：

qvB＝

mv2

r

解得：r＝

2mv0

qB

（3）由几何关系得：

ON=rsinθ

设粒子在电场中运动的时间为t1，则有：

ON=v0t1

t1＝

3 m

qB

粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为：

T＝

2πm

qB

设粒子在磁场中运动的时间为t2，有：

t2＝

πθ

2π

T

得：t2＝

2πm

3qB

运动的总时间为：

t=t1+t2

即：t＝

(3 3 +2π)m

3qB

答：（1）M、N两点间的电势差UMN为

3m v 20

2q

；

（2）粒子在磁场中运动的轨道半径为

2mv0

qB

；

（3）粒子从M点运动到P点的总时间为

(3 3 +2π)m

3qB

．

课程名称：熊出没之冬日乐翻天

百度网盘链接：https://panbaiducom/s/1oxjkUmnY2fmqQvaqO5z97g

提取码:8xab

简介：《熊出没之冬日乐翻天》延续《熊出没》和《熊出没之丛林总动员》轻松搞笑的风格，讲述了两头熊——熊大和熊二和人类——光头强身上发生的保卫森林家园的斗争故事。熊大是熊兄弟中的主心骨，比较聪明，机智，能随机应变，能想点子出主意；熊二性格憨直，懵懂可爱，做事冲动，直线条思维；两熊最大的敌人光头强，是个身材矮小，盗砍盗伐的伐木工。

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