AB>CD,E,F为BD,AC中点，求证:EF>12(AB-CD)

通过E点作AB的平行线交AD于K点，连结FK。

明显EK=05AB（中位线）

同理 FK=05CD

在三角形EFK中 两边之差EK-FK小于第三边EF

即05AB-05CD＜EF

如果我是第一个回答的分得给我额。

开始，此题的关键在于利用 90度，以及正方形的条件，证明同角（同样大小的脚），等边(临边)，在直角三角形的情况下，那么斜边长度就是一样的了。

证明 做辅助线 FK垂直AB于K GJ垂直BC于J FK交GJ于M GJ交FE于N FK交GH于S

设角FEA为角1 所以正方形的边长为 EF X SIN角1=正方形边长

角KFE=90—角1

因为FOH=90 所以FOG=90 所以角FSH=90—角KFE=90—(90—角1)=角1

所以角FSH=角GSK（对顶角相等）

因为FK垂直于AB ABCD为正方形 所以FK平行于HB 所以角GSK=角GHB=角1

因为AB=GJ FK=DA 又因为 角GHB=角GSK=角FEA

所以GH = AB/sin角GHB = DA/sin角FEA =FE= 4

绝对原创 “因为所以”之流没办法用上三点 下三点打出，可见哥不是复制人。人人为我，我为人人

解答：解：（1）如图1，连接OP、OD，AP与OD相交于点M，

∵DP与半圆O相切，

∴OA=OP，OP⊥DP，得OD垂直平分AP，

∴△AMO∽△DAO，

∴

AM

AD

＝

AO

DO

，

∵AD=2，AO=1，

DO=

AD2+AO2

=

22+12

=

5

，

∴AM=

AO×AD

DO

=

1×2

5

=

2 5

5

，

∴AP=2AM=2×

2 5

5

=

4 5

5

；

（2）作PE⊥AB于点E，设P（x，y），

在Rt△EPO中，可得PE2+EO2=OP2，

即x2+（y-1）2=12，

∴x2=2y-y2，

根据题意可得：S1=

1

2

AD（2-y）=2-y，

S3=

1

2

BCy=y，

S2=

1

2

ABx=x，

∴2S1S3-S22=2（2-y）y-x2

=4y-2y2-x2

=x2

∵0＜x≤1

∴当x=1时，2S1S3-S22有最大值，最大值为1，

将x=1代入x2=2y-y2中，

可得y=1，

此时点P（1，1）

（3）连接AF，得AF⊥BE，作FK⊥AB交于点K，

∵AE=3DE，AD=2，

∴AE=

3

2

，AF=

6

5

，

根据题意，易得△BAE∽△BFA∽△AFE，

即：

AF

BF

＝

EF

AF

＝

AE

AB

，

得BF=

AFAB

AE

=

6 5 2

3 2

=

8

5

，

在△ABE中，BE=

AB2+AE2

=

5

2

，

易得△BFK∽△BEA，

即：

FK

BF

=

AE

BE

，

得FK=

AE

BE

BF=

3 2 8 5

5 2

=

24

25

，

根据勾股定理可得，BK=

BF2FK2

=

32

25

∴F（

24

25

，

32

25

），

∵P（1，1），

可求得直线PF解析式：y=-7x+8，

设Q（a，-7a+8），

∵PQ=PB=

2

，

∴

(a1)2+(7a+81)2

=

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证明:作KM垂直CE于M∠ECK=45°,则KM=CM

设CM=KM=b,BF=a,FC=c,则AB=BC=a+c

AF=FK,则AF^2=FK^2,(a+c)^2+a^2=(b+c)^2+b^2,化简得:(a-b)(a+b+c)=0,故:a=b

即BF=KM;又AF=FK故Rt⊿ABF≌Rt⊿FMK(HL),∠BAF=∠MFK

所以,∠BFA+∠MFK=∠BFA+∠BAF=90度,得:∠AFK=90度,AF垂直于FK