高三数学上册教案范例五篇

1高三数学上册教案范例

一、复习内容

　平面向量的概念及运算法则

　二、复习重点

　向量的概念及运算法则的运用及其用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化。

　三、具体教学过程

　1学生准备课前预习回家做作业。其具体步骤是：相应知识的系统梳理;典型例题的摘录;搜集平时作业，测验作业中存在的典型错误;提出针性训练的练习题;准备思考题，以及家庭作业。学生的准备可以从中选择一项，学有余力的同学可以多选。

　2学生可以分为出题组、答题组和归纳组(每组3～4人)，三个小组又可构成一个大的探究组，各小组的角色在其过程中可以互换;教师从旁引导，控制教学节奏，并有机、适时地对有争议的问题或引起认知冲突的部分作相应的释疑，最后选出具有代表性的题目和表达最完整的归纳展示给学生。

　出题组：在教师的引导下，确立出题意图后，可以自编或在课本、资料中寻找适当的例题。

　答题组：迅速给出题目答案或解题思路步骤(由学生自己讲解)，同时确立该题所考察的知识点和方法，并互相讨论解题过程中的易错点和容易忽视的问题。

　归纳组：对照相应的问题，归纳出解决问题的关键和方法及其需要注意的事项。并以书面的形式给出，可充分利用投影的方式展示给学生。

　3教学中教师按上述环节顺序，让每一环节准备相同内容，学生自己选择一人担任主讲，其余同学组成评议组，主讲讲解完后，由评议组补充、完善或评价、矫正……。

　4教师控制教学节奏，并有机、适时地对有争议的问题或引起认知冲突的部分作相应的释疑。

　5在学生自己完成这一复习环节后，师生共同完成教师的精选题例题的讲解，同样采用启发讨论式，尽可能地让学生自己完成问题的解答。

　6课尾教师进行点评、归纳、小结(由学生自己完成)，并评选本课“主讲明星”与“评议”。

　四、案例分析及其反思

　1让学生走上讲台，既为学生提供展示才华的舞台，满足其表现欲，尝试成功感，又让学生亲历知识掌握的构建过程。

　2由于要自己完成课前的准备作业和讲解内容，迫使学生进行章节的全面复习，对知识进行系统整理，这一复习环节，却真正达到了学生自觉地学习，使学生由被动学习转化为主动学习，提高学习效率。

　3组织这样的课堂教学流程，培养了学生口才、组织能力、逻辑思维能力、应变能力、心理承受能力等等，促使学生的个性达到良性的发展。

　4由于改变了课堂的传统座位排法，学生得到了互相帮助的机会，学习较差的学生能直接得到学有余力的同学的帮助和指导，更容易掌握和理解所学的知识，调动兴趣，提高了学习能力。互帮互学为学生营造了一个轻松、愉快的学习氛围。打破教师出题，学生解答的单调教学模式。通过学生自己变式，充分体现学生的主体性，使他们对一类问题有根本性地掌握，起到以点带面的效果。通过以组题的形式让学生通过有目的的联想，探索习题之间的内在联系，明确问题产生的背景，领会问题的实质，进而找到相应的解题策略，培养学生的思维的灵活性和广阔性，进一步完善、深化学生的认知结构。

　5教学模式恰当，引人入胜

　“探究讨论式”是一种常用的教学方法。然而，本课探索“向量的应用”却颇有难度，尤其是几何与代数之间的问题转化。为了突破这一难点，首先复习旧知识，预备铺垫，接着设计简单的几何图形中的代数求值问题。教师在思想方法上的点拔，思维层次上的递进，让学生分享自己成果的乐趣，体现了“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引领者与合作者。”的教学理念。整个教学设计，思路清楚，层次转换自然，点拨及时，自然流畅，引人入胜。

　6体现先进理念，合作探索

　建构主义认为：学生的学习不是被动的接受，而是一种主动的学习，一种知识的重组或重新建构的过程。因此，学习方式的转变，对学生的学习至关重要，也是二期课改成败的要害。本课注重学生学习方式的转变，教者适时点拨，发现问题，培养探索精神。从轻易混淆的性质入手，让学生发现问题，出现迷惑，接着，对向量平行充要条件的研究，培养了学生思维的深刻性，通过概念的辨析，使学生对向量有了更深的理解，此时推出综合应用题，过渡自然，符合认知规律。同学探究，思维得到进一步的升华，攻克难点，培养了合作精神。通过展示研究成果，让学生感到爱好盎然而布满探索求知的愿望，学生的主体地位得到了淋漓尽致的发挥。体验成功的喜悦，分享快乐，提高了学习的积极性。

　熟知，课堂教学“以教师为主导，以学生为主体”这句话好说难做。如何落在实处，本课做了有益的尝试。案例的设计，具有时代气息，以问题为先导，直接引导学生进入思考的境界。教案的设计说明，体现了教者“以学生发展为本的教学理念”。

　《数学课程标准》指出：“教师应激发学生的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能……”。这就是一次很好的机会，教师要鼓励、引导学生敢于质疑、敢于实践，培养学生主动探究问题的能力，转变学生学习方式，即变单一的传授方式为学生自主体验、探究等学习方式。

　复习课上都有一个突出的矛盾，那就是时间太紧，既要处理足量的题目，又要充分展示学生的思维过程，二者似乎是很难兼顾。教师可采用“焦点访谈”法较好地解决这个问题，如：例2和例2的变式1的探究，因题目是“入口宽，上手易”，但在连续探究的过程中，在两种方法会得出两个相反的答案这一点上搁浅受阻(这一点被称为“焦点”，其余的则被称为“外围”)。这里教师不必在外围处花精力去进行浅表性的启发诱导，好钢要用在刀刃上，而要在焦点处发动学生探寻突破口，通过交流“访谈”，集中学生的智慧，让学生的思维在关键处闪光，能力在要害处增长，弱点在隐蔽处暴露，意志在细微处磨砺。

2高三数学上册教案范例

　教学目标

　1会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

　2能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

　3提高学生的观察能力；培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

　教学重难点

　教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

　教学难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

　教学过程

　1情景导入

　教师提出问题，引导学生观察、举例和相互交流，提出本节课所学内容，出示课题。

　2展示目标、检查预习

　3合作探究、交流展示

　（1）引导学生观察棱柱的几何物体以及棱柱的，说出它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？

　（2）组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。有两个面互相平行；其余各面都是平行四边形；每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。

　（3）提出问题：请列举身边的棱柱并对它们进行分类

　（4）以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。

　（5）让学生观察圆柱，并实物模型演示，概括出圆柱的概念以及相关的概念及圆柱的表示。

　（6）引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。

　（7）教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。

　4质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。

　（1）有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明）

　（2）棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？

　（3）圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？

　（4）棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？

　（5）绕直角三角形某一边的几何体一定是圆锥吗？

　5典型例题

　例：判断下列语句是否正确。

　⑴有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥。

　⑵有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱柱。

　答案AB

　6课堂检测：

　课本P8，习题11A组第1题。

　7归纳整理

　由学生整理学习了哪些内容

3高三数学上册教案范例

1课题

　填写课题名称（高中代数类课题）

　2教学目标

　(1)知识与技能：

　通过本节课的学习，掌握知识，提高学生解决实际问题的能力；

　(2)过程与方法：

　通过（讨论、发现、探究），提高（分析、归纳、比较和概括）的能力；

　(3)情感态度与价值观：

　通过本节课的学习，增强学生的学习兴趣，将数学应用到实际生活中，增加学生数学学习的乐趣。

　3教学重难点

　(1)教学重点：本节课的知识重点

　(2)教学难点：易错点、难以理解的知识点

　4教学方法（一般从中选择3个就可以了）

　(1)讨论法

　(2)情景教学法

　(3)问答法

　(4)发现法

　(5)讲授法

　5教学过程

　(1)导入

　简单叙述导入课题的方式和方法（例：复习、类比、情境导出本节课的课题）

　(2)新授课程（一般分为三个小步骤）

　①简单讲解本节课基础知识点（例：奇函数的定义）。

　②归纳总结该课题中的重点知识内容，尤其对该注意的一些情况设置易错点，进行强调。可以设计分组讨论环节（分组判断几组函数图像是否为奇函数，并归纳奇函数图像的特点。设置定义域不关于原点对称的函数是否为奇函数的易错点）。

　③拓展延伸，将所学知识拓展延伸到实际题目中，去解决实际生活中的问题。

　（在新授课里面一定要表下出讲课的大体流程，但是不必太过详细。）

　(3)课堂小结

　教师提问，学生回答本节课的收获。

　(4)作业提高

　布置作业（尽量与实际生活相联系，有所创新）。

4高三数学上册教案范例

　一、导入新课，探究标准方程

　二、掌握知识，巩固练习

　练习：

　1说出下列圆的方程

　⑴圆心（3，-2）半径为5

　⑵圆心（0，3）半径为3

　2指出下列圆的圆心和半径

　⑴（x-2）2+(y+3)2=3

　⑵x2+y2=2

　⑶x2+y2-6x+4y+12=0

　3判断3x-4y-10=0和x2+y2=4的位置关系

　4圆心为（1，3），并与3x-4y-7=0相切，求这个圆的方程

　三、引伸提高，讲解例题

　例1、圆心在y=-2x上，过p(2，-1)且与x-y=1相切求圆的方程（突出待定系数的数学方法）

　练习：

　1、某圆过(-2，1)、(2，3)，圆心在x轴上，求其方程。

　2、某圆过A(-10，0)、B(10，0)、C(0，4)，求圆的方程。

　例2：某圆拱桥的跨度为20米，拱高为4米，在建造时每隔4米加一个支柱支撑，求A2P2的长度。

　例3、点M(x0，y0)在x2+y2=r2上，求过M的圆的切线方程(一题多解，训练思维)

　四、小结练习P771，2，3，4

　五、作业P811，2，3，4

5高三数学上册教案范例

一、教学目标

　1知识与技能

　(1)掌握画三视图的基本技能

　(2)丰富学生的空间想象力

　2过程与方法

　主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

　3情感态度与价值观

　(1)提高学生空间想象力

　(2)体会三视图的作用

　二、教学重点、难点

　重点：画出简单组合体的三视图

　难点：识别三视图所表示的空间几何体

　三、学法与教学用具

　1学法：观察、动手实践、讨论、类比

　2教学用具：实物模型、三角板

　四、教学思路

　(一)创设情景，揭开课题

　“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。

　在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图(正视图、侧视图、俯视图)，你能画出空间几何体的三视图吗

　(二)实践动手作图

　1讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨论;

　2教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图

　(1)画出球放在长方体上的三视图

　(2)画出矿泉水瓶(实物放在桌面上)的三视图

　学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结自己的作图心得。

　作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。

　3三视图与几何体之间的相互转化。

　(1)投影出示(课本P10，图12-3)

　请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么

　(2)你能画出圆台的三视图吗

　(3)三视图对于认识空间几何体有何作用你有何体会

　教师巡视指导，解答学生在学习中遇到的困难，然后让学生发表对上述问题的看法。

　4请同学们画出12-4中其他物体表示的空间几何体的三视图，并与其他同学交流。

　(三)巩固练习

　课本P12练习1、2P18习题12A组1

　(四)归纳整理

　请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图

　(五)课外练习

　1自己动手制作一个底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。

　2自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的三视图。

[红顺视点]:实招:破解学生几何课能听懂，课下就是不会做题的七条策略

一、对几何中的概念、公理、 定理、推论多进行三种语言转换表征。

三种语言指的是文字语言、图形语言、符号语言。例如直线AB平行于CD这就是文字语言，转换成符号语言就是AB ∥ CD，图形语言就是

A一一一B

C一一一D

多让学生对几何中的概念、公理、 定理、推论进行文字语言、图形语言、符号语言之间的转换。

二、 对几何中的概念、公理、 定理、推论的图形要打破惯性思维，要注意全面表征。

比如一些教师在讲课时一提到平行线就画的是水平的一组，又比如一说三角形的高画的就是锐角三角形的高，这就是潜意识惯性思维。而全面多元表征指的就是把水平的、竖的、向左斜的、向右斜的、二条画的不一样长的等各种平行线图形全面无遗漏表征出来，利于学生对平行线本质有更好把握；同理对三角形高的概念就要把锐角、直角、钝角都画出来，把同一个三角形的三条高一并画出来。这样的多元表征才能有利于学生把握概念、定理本真，整体建构。

三、 对几何中的概念、公理、 定理、推论的抽象图形务必放到真实的几何题中去辩认、去二次实例表征，即把抽象表征推进到真实表征。

我们知道，几何教材在讲新 概念、公理、 定理、推论时，多是进行了高度抽象，尤其是把背景图形全部排除，单独、单纯、单一。？一卜1突出所学内容，即标准图。比如讲平行线判定定时，所呈现的皆是规范的二条横向平行线被第三条直线所截，学生很好辩认、理解。然而学生在真实与平行线有关例题、习题中遇到的多是一个复杂的图形，比如三角形中位线、平行四边形、梯形等不是标准图形的“二条平行线被第三条直线所截"图形，一个图形中可能有好几组平行线，分别被不同直线所截情况，若不特意把抽象规范单一图形放到真实、复杂的几何题中去辩认、去二次实例表征，学生的读图能力、运用概念能力就会人为受限。

四、建立三角形全等、相似的几何图式，增加在综合图形判断中直觉；归纳证明角、线段相等、直线平行垂直的方法，利于学生从宏观视角凭直觉寻找解题思路。

有经验教师非常重视提炼三角形全等相似几何图式(模板)比如， 相似三角形的几种基本图形可归纳为：“A”型图及斜A型，“X”型图及变式`“母子”型图等。

有经验教师还注重归纳证明角、线段相等、直线平行垂直的方法，这样学生就可用排除法快速找到解题思路。

五、构建从条件到结论逻辑推理小模块，利用模块组合快速高效准确解题。

比如关于平行四边形性质就可以进行如下条件结论推理小模块训练:

(1)出示一个平行四边形，问这个图形提供了什么信息:思考己知一个平行四边形周长，邻边的比、邻角的比求邻边的和、邻边长、邻角度数

(2)、出示一个有一条对角线的平行四边形，问这个图形提供了什么信息:思考图中有几对相等的角、三角形

(3)、出示了有二条对角线的平行四边形，问这个图形提供了什么信息:图中有几对相等的角、三角形己成一条边和一条对角线长，求另一边取值范围己知一边长，给两条对角线看能否组成平行四边形

(4)出示了有二条对角线的平行四边形并且添了一条过对角线交点的线与两边相交，问这个图形提供了什么信息思考图中共有几对全等三角形

(5)出示了有二条对角线的平行四边形，添了一条过对角线交点的线与两边相交并延长与另二边相交，问这个图形提供了什么信息

(6)出示添了一条内角平分线的平行四边形，问这个图形提供了什么信息思考相关知识在提供习题中运用。

(7)如何在一个平行四边形中画两条直线，将其分割成四部分，使含有一组对顶角的两个图形全等这样分割线有多少组

六、重视顺推、逆推、顺逆结合两头凑的几何题解题思路指导。

几何题解题思路不外乎从己知推向结论或从结论反推到己知的逆推或顺推、逆推相结合的两头凑的三种方法。让学生明白逆推顺证(写)道理。若不重视解题思路强化指导训练，把重心只放到做题、书写步骤上，定会造成几何例题讲时能听懂，让学生自己单独做时无从下手、找不到思路，即常说的能听懂就是不会做。

七、改变传统几何教学模式，尝试表征加猜想全息学习新模式。

表征指的是对例题中的条件进行下列重点解读:1)复杂句子缩句；2)同义句转换；3)推理；4)解释；5)隐藏等量关系；6)隐藏条件；7)联想。表征就是筛选、提取、重组信息，并对信息进行关联、加工、建构。

猜想:猜想不是瞎猜，围绕所给条件猜想下面会问哪些问题或后面会给什么条件。所提问题与表征的等量关系、推理一定要有关联。

猜想就是根据现有信息推测出题人后面会再提供什么信息或会问什么问题。

因此讲例题时，不是把例题全盘托出，而是依次给出条件，引导学生表征与猜想。

这样借助表征+猜想实现了每个条件及整题一题(条)多思，一题(条)多问，一题多变，多题归一。

同时，借助表征+猜想还实现了对每条信息、每个题多元思维。从正向思维(直接代公式、顺着想的题)、逆向思维(公式需变换、需逆向思考的题)、特殊思维(给生活经验有关、有隐藏条件的题)、综合思维(一个题用到多个知识点、公式或放到综合范围内看是否混淆的题)。

哥们，正式告诉你。我学过解析几何，相信我

首先，你提问的问题，前面和后面基本没什么关系。Ax+By+Cz+D=0是平面的一般式方程。听清楚了，是平面，不是直线，更不是什么直线方程标准式。

在Ax+By+Cz+D=0中，A，B，C是“法向量”坐标。法向量就是与Ax+By+Cz+D=0这个平面垂直的向量。就是向量n=(A,B,C),而向量n垂直于Ax+By+Cz+D=0平面。

这是你前面说的，跟你提的问题没有任何关系。

而你后面说的，已知两点（x1,y1,z1）和（x2,y2,z2）构成线段，则为直线两点式方程

(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1),

代入已知的两点，可得关于x,y,z直线的方程。

假设你的三点为M1,M2,M3。由于前两点构成上面直线，就可以找到该直线的方向向量

V=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)

下面是关键

用第三个点M3，与M1相连。这样M1与M2,M3分别相连，就组成了平行四边形两边。而这两边的向量的“向量积（也叫叉乘）”就为平行四边形面积。

而你要求的M3到M1M2直线的距离，乘以M1M2直线的长度，也是面积所以利用面积相等即可。

更棘手的是，你想的太简单了。

面积相等看似容易，其实十分难。因为会用到“行列式”，而它的理论源于《线性代数》。要想学会，你还要学一门课程。

基本公式，所求距离

d=（向量V ）叉乘（向量M1M3)，“加绝对值”，除以（向量V）“加绝对值”

简写为d= (v M1M2) / v 注：号为向量积（叉乘），且除号上面下面都要加 绝对值。

往下还有进一步的公式，但不写了，因为很多符号打不出来。而按照你的题目，只有这一种方法可解。我学的时候，这就是书上例题，而答案也是这么给的。

所以，这题对你来说有点难。好好学吧

平面几何知识点汇总（一）

知识点一 相交线和平行线

1定理与性质

对顶角的性质：对顶角相等。

2垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

3平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

4平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等。

性质2：两直线平行，内错角相等。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。

5平行线的判定：

判定1：同位角相等，两直线平行。

判定2：内错角相等，两直线平行。

判定3：同旁内角相等，两直线平行。

知识点二 三角形

一、三角形相关概念

1．三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形

要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．

2．三角形中的三种重要线段

（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．

（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．

二、三角形三边关系定理

①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．

②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．

注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可

三、三角形的稳定性

三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．

四、三角形的内角

结论1：三角形的内角和为180°．表示： 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°

结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．

注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角

如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）

②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．

如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．

五、三角形的外角

1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．

2．性质：

①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角

③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补

六、多边形

①多边形的对角线条对角线；②n边形的内角和为（n－2）×180°；③多边形的外角和为360°

知识点三 全等三角形

一、全等三角形

1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；

即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；

3、全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等。（SSS）

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)

4、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

二、轴对称图形

（一）基本定义

1轴对称图形

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴折叠后重合的点是对应点，叫做对称点

2线段的垂直平分线

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

3轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换

4等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角

5等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形

（二）性质

1如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线

2线段垂直平分钱的性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

3（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）

（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）

4等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合

（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴

（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等

（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。

（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边

5等边三角形的性质

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°

（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴

（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合

（三）有关判定

1与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

2如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）

3三个角都相等的三角形是等边三角形

4有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

知识点四 勾股定理

1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a2＋b2＝c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

勾：直角三角形较短的直角边

股：直角三角形较长的直角边

弦：斜边

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）

附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13

3 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

当一个小小的心念变成成为行为时，便能成了习惯;从而形成性格，而性格就决定你一生的成败。成功与不成功之间有时距离很短——只要后者再向前几步。我高一频道为莘莘学子整理了《高 一年级数学 《集合》知识点 总结 》，希望对你有所帮助!

高一数学 集合的基本运算知识点

一知识归纳：

1集合的有关概念。

1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集)其中每一个对象叫元素

注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(aA和aA，二者必居其一)、互异性(若aA，bA，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

2)集合的表示 方法 ：常用的有列举法、描述法和图文法

3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集：N，Z，Q，R，N

2子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集：若对x∈A都有x∈B，则AB(或AB);

2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或，且)

3)交集：A∩B={∈A且x∈B}

4)并集：A∪B={∈A或x∈B}

5)补集：CUA={A但x∈U}

注意：①A，若A≠，则A;

②若，，则;

③若且，则A=B(等集)

3弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1)与、的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。

4有关子集的几个等价关系

①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;

④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

5交、并集运算的性质

①A∩A=A，A∩=，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪=A，A∪B=B∪A;

③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;

6有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。

二例题讲解：

例1已知集合M={=m+,m∈Z},N={=,n∈Z},P={=,p∈Z}，则M,N,P满足关系

A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

分析一：从判断元素的共性与区别入手。

解答一：对于集合M：{=,m∈Z};对于集合N：{=,n∈Z}

对于集合P：{=,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以MN=P，故选B。

分析二：简单列举集合中的元素。

解答二：M={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

=∈N，∈N，∴MN，又=M，∴MN，

=P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以选B。

点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

变式：设集合，，则(B)

AM=NBMNCNMD

解：

当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B

例2定义集合AB={∈A且xB}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则AB的子集个数为

A)1B)2C)3D)4

分析：确定集合AB子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

解答：∵AB={∈A且xB}，∴AB={1,7}，有两个元素，故AB的子集共有22个。选D。

变式1：已知非空集合M{1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6a∈M，那么集合M的个数为

A)5个B)6个C)7个D)8个

变式2：已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A

解：由已知，集合中必须含有元素a,b

集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}

评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有个

例3已知集合A={2+px+q=0},B={24x+r=0},且A∩B={1},A∪B={2,1,3},求实数p,q,r的值。

解答：∵A∩B={1}∴1∈B∴124×1+r=0,r=3

∴B={24x+r=0}={1,3},∵A∪B={2,1,3},2B,∴2∈A

∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，

∴∴

变式：已知集合A={2+bx+c=0},B={2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,m的值

解：∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m2+6=0,m=-5

∴B={2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴

又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

例4已知集合A={x(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足：A∪B={>-2}，且A∩B={x1<>

分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。

解答：A={x-2<><-1或x>1}。由A∩B={x1-2}可知[-1,1]B，而(-∞,-2)∩B=ф。<-1或x>

<><-1或x>

综合以上各式有B={x-1≤x≤5}

变式1：若A={3+2x2-8x>0}，B={2+ax+b≤0},已知A∪B={>-4}，A∩B=Φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。

变式2：设M={2-2x-3=0},N={xax-1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的集合。

解答：M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM

①当时，ax-1=0无解，∴a=0②

综①②得：所求集合为{-1，0，}

例5已知集合，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。

分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用参数分离求解。

解答：(1)若，在内有有解

令当时，

所以a>-4,所以a的取值范围是

变式：若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。

解答：

点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

三随堂演练

选择题

1下列八个关系式①{0}=②=0③{}④{}⑤{0}

⑥0⑦{0}⑧{}其中正确的个数

(A)4(B)5(C)6(D)7

2集合{1，2，3}的真子集共有

(A)5个(B)6个(C)7个(D)8个

3集合A={x}B={}C={}又则有

(A)(a+b)A(B)(a+b)B(C)(a+b)C(D)(a+b)A、B、C任一个

4设A、B是全集U的两个子集，且AB，则下列式子成立的是

(A)CUACUB(B)CUACUB=U

(C)ACUB=(D)CUAB=

5已知集合A={}，B={}则A=

(A)R(B){}

(C){}(D){}

6下列语句：(1)0与{0}表示同一个集合;(2)由1，2，3组成的集合可表示为

{1，2，3}或{3，2，1};(3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1，1，2};(4)集合{}是有限集，正确的是

(A)只有(1)和(4)(B)只有(2)和(3)

(C)只有(2)(D)以上语句都不对

7设S、T是两个非空集合，且ST，TS，令X=S那么S∪X=

(A)X(B)T(C)Φ(D)S

8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式，则不等式ax2+bx+c0的解集为

(A)R(B)(C){}(D){}

填空题

9在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为

10若A={1,4,x},B={1,x2}且AB=B，则x=

11若A={x}B={x},全集U=R，则A=

12若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是

13设集合A={},B={x},且AB，则实数k的取值范围是。

14设全集U={x为小于20的非负奇数}，若A(CUB)={3，7，15}，(CUA)B={13，17，19}，又(CUA)(CUB)=，则AB=

解答题

15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},若AB={-3}，求实数a。

16(12分)设A=，B=，

其中xR,如果AB=B，求实数a的取值范围。

四习题答案

选择题

12345678

CCBCBCDD

填空题

9{(x,y)}100,11{x,或x3}12{}13{}14{1,5,9,11}

解答题

15a=-1

16提示：A={0，-4}，又AB=B，所以BA

(Ⅰ)B=时，4(a+1)2-4(a2-1)<0，得a<-1

(Ⅱ)B={0}或B={-4}时，0得a=-1

(Ⅲ)B={0，-4}，解得a=1

综上所述实数a=1或a-1

高一数学集合的基本运算知识点

集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：紧急～。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的～。3、 口号 等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托(Cantor，GFP，1845年—1918年，德国数学家先驱，是集合论的，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。

集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。

集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素(或简称为元)。

元素与集合的关系

元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

集合与集合之间的关系

某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。『说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集，写作AB。若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子集，一般写作AB。中学教材课本里将符号下加了一个≠符号(如右图)，不要混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』

集合的几种运算法则

并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以属于A且属于B的元差集表示

素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。那么因为A和B中都有1，5，所以A∩B={1，5}。再来看看，他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说A∪B={1，2，3，5}。图中的阴影部分就是A∩B。有趣的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减集合

1再相乘。48个。对称差集：设A，B为集合，A与B的对称差集AB定义为：AB=(A-B)∪(B-A)例如：A={a，b，c}，B={b，d}，则AB={a，c，d}对称差运算的另一种定义是：AB=(A∪B)-(A∩B)无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集：令N是正整数的全体，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一个正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差(集)。记作：AB={x│x∈A，x不属于B}。注：空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U，且x不属于A}空集也被认为是有限集合。例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。CuA={3，4}。在信息技术当中，常常把CuA写成~A。

集合元素的性质

1确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。2独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。3互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。4无序性：{a，b，c}{c，b，a}是同一个集合。5纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合A={x|x<2}，集合A中所有的元素都要符合x<2，这就是集合纯粹性。6完备性：仍用上面的例子，所有符合x<2的数都在集合A中，这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。

集合有以下性质

若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B

集合的表示方法

集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。

常用的有列举法和描述法。1列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}2描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0

4自然语言常用数集的符号：(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N;不包括0的自然数集合，记作N(2)非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作Z+;负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作Z-(3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)(6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德摩根律集合

Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a，b，c}，则card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求补律A∪CuA=UA∩CuA=Φ设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)～(BUC)=~B∩~C～(B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示复数集C实数集R正实数集R+负实数集R-整数集Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+负有理数集Q-不含0的有理数集Q

高一数学集合的基本运算知识点

并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以属于A且属于B的元差集表示

素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。那么因为A和B中都有1，5，所以A∩B={1，5}。再来看看，他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说A∪B={1，2，3，5}。图中的阴影部分就是A∩B。有趣的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减集合

1再相乘。48个。对称差集：设A，B为集合，A与B的对称差集AB定义为：AB=(A-B)∪(B-A)例如：A={a，b，c}，B={b，d}，则AB={a，c，d}对称差运算的另一种定义是：AB=(A∪B)-(A∩B)无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集：令N是正整数的全体，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一个正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差(集)。记作：A\B={x│x∈A，x不属于B}。注：空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U，且x不属于A}空集也被认为是有限集合。例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。CuA={3，4}。在信息技术当中，常常把CuA写成~A。

至于 学习方法 的讲究，每位同学可根据自己的基础、学习习惯、智力特点选择适合自己的学习方法，这里主要根据教材的特点提出几点供大家学习时参考。

l、要重视数学概念的理解。高一数学与初中数学的区别是概念多并且较抽象，学起来“味道”同以往很不一样，解题方法通常就来自概念本身。学习概念时，仅仅知道概念在字面上的含义是不够的，还须理解其隐含着的深层次的含义并掌握各种等价的表达方式。例如，为什么函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，而y=f(x)与x=f-1(y)却有相同的图象;又如，为什么当f(x-l)=f(1-x)时，函数y=f(x)的图象关于y轴对称，而y=f(x-l)与y=f(1-x)的图象却关于直线x=1对称，不透彻理解一个图象的对称性与两个图象的对称关系的区别，两者很容易混淆。

2、‘学习立体几何要有较好的空间想象能力，而培养空间想象能力的办法有二：一是勤画图;二是自制模型协助想象，如利用四直角三棱锥的模型对照习题多看，多想。但最终要达到不依赖模型也能想象的境界。

3、学习解析几何切忌把它学成代数、只计算不画图，正确的办法是边画图边计算，要能在画图中寻求计算途径。

4、在个人钻研的基础上，邀几个程度相当的同学一起讨论，这也是一种好的学习方法，这样做常可以把问题解决得更加透彻，对大家都有益。

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行列式的几何意义是什么呢？概括说来有两个解释：一个解释是行列式就是行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积；

本来是一个平面的二维向量，二维向量组成的是一个平行四边形。将坐标升为三维向量，就用三维行列式计算

一般的行列式，，A（a1，b1），B（a2，b2），C（a3，b3）

写成三维向量为

所以A（a1，b1）写成三维向量为（a1，b1，1）

所以B（a2，b2）写成三维向量为（a2，b2，1）

所以C（a3，b3）写成三维向量为（a3，b3，1）

然后按照行列式计算法则计算×05即可

你的例题可以这样计算

所以A（1，3）写成三维向量为（1，3，1）

所以B（-3，-5）写成三维向量为（-3，-5，1）

所以C（0，4）写成三维向量为（0，4，1）

所以S△=1/2×你所述的三维行列式

后面的第三个数据都是1，原因为：三阶矩阵求的是体积，当第三条边 即 高 为1时，体积的数据 和 底面面积的数据是一样大。

×05是因为三角形的 面积是 平行四边形面积的一半