泊松分布和指数分布的矩母函数

　　矩量母函数的定义为：

　　连续随机变量X的矩量母函数为：Mx(t)=E(exp(tx))=∫exp(tx)f(x)dx,其中积分下限为-∞，上限为+∞，f(x)为X的概率密度函数(Probability Density Function, 简称PDF)。

　　离散型随机变量X的矩量母函数为：Mx(t)=E(exp(tx))=∑exp(tx)p(x),其中连加号代表所有X的取值(-∞,+∞)连加，p(x)为X的概率分布函数(Probability Mass Function, 简称PMF)。

　　矩量母函数存在当且仅当上述积分(连加)极限存在。

　　性质：

　　以连续随机变量X为例，离散型随机变量可做相同变换

　　1由泰勒级数exp(x)=1+x+x^2/2!++x^n/n!+, Mx(t)=∫(1+tx+(tx)^2/2!++(tx)^n/n!+)f(x)dx=1+tM1+t^2/2!M2+t^n/n!Mn, 其中Mi是X的第i阶矩。

　　2Mx(-t)是双侧拉普拉斯变换(Laplace Transform)。

　　3不管概率分布是不是连续，矩量母函数都可以用黎曼-斯蒂尔吉斯积分给出：

　　Mx(t)=∫exp(tx)dF(x),其中F(x)是积累分布函数(Cumulative Distribution Function, 简称CDF)。积分下限为-∞，上限为+∞。

　　意义编辑

　　只要矩量母函数在t=0周围的开区间内存在，X的第i阶矩即为矩量母函数在0点的第i阶导数值。

　　即E(x^n)=d^n(Mx(t))/dt^n|t=0

　　证明：

子函数与母函数,你这个说法头一次听说，呵呵。

函数间只有调用与被调用关系，没有亲属关系。除了MAIN函数外，其他所有函数间都是平等关系。

一个函数在定义时，就会声明两大项内容：一、函数返回值类型；二、输入、输出参数及类型，如：

int func1( int x , char str ); //返回值为INT类型，参数有两个，一个整型，一个字符指针。

调用者在调用此函数时，就需要传参数。

void fun2( void ); //无返回值，无参数

调用者在调用此函数时，就不需要传参数。

在写程序时，我们使用一个函数前，一定要先查询到这个函数的具体定义（一般系统提供的函数在相应的头文件中都有说明），这样我们才能正确的使用C函数。

这种题目一般都是技巧利用数列差

a（n+1）-a（n）

=3a（n）-3a（n-1）+4

=3（a（n）-a（n-1））+4

所以

3a（n）+4n-5-a（n）

=3（a（n）-a（n-1））+4

=3²（a（n-1）-a（n-2））+34+4

=3∧（n-1）（a（2）-a（1））+4（3∧（n-2）+。。。+1）

=3∧（n-1）+ 4（3∧（n-1）-1）/（3-1）

=3∧（n-1）+ 2（3∧（n-1）-1）

=3∧n -2

2a（n）+4n-5=3∧n -2

a（n）=（3∧n -4n+3）/2

随机变量X的矩量母函数的定义为：

连续随机变量X的矩量母函数为：Mx(t)=E(exp(tx))=∫exp(tx)f(x)dx,其中积分下限为-∞，上限为+∞，f(x)为X的概率密度函数(Probability Density Function, 简称PDF)。

离散型随机变量X的矩量母函数为：Mx(t)=E(exp(tx))=∑exp(tx)p(x),其中连加号代表所有X的取值(-∞,+∞)连加，p(x)为X的概率分布函数(Probability Mass Function, 简称PMF)。

矩量母函数存在当且仅当上述积分(连加)极限存在。

可以构造一个母函数f(x)=(x+1)^m × (x+1)^n

考察它的w次项系数，另g(x)=(x+1)^m，h(x)=(x+1)^n

那么它的w次项系数应该是∑(k=0,w)C(m,k)C(n,w-k)

（也就是 ∑(k=0,w)（g(x)的k次项系数)(h(x)的(w-k)次项系数） ）

而又因为f(x)=(x+1)^m × (x+1)^n=(x+1)^(m+n)

所以f(x)的w次项系数又等于C(m+n,w)

母函数方法是证明组合恒等式的一个重要手段，用母函数证明组合恒等式的时候常常适当选择一个母函数，用两种不同方式展成两个幂级数

希望能帮到你，望采纳。

有什么问题的话可以追问

用线性叠加原理

a(n) = 12 a(n−2) − 16 a(n−3)

的解 a(n)=a 2^n+b 2^n n+c 4^n

a(n) = 12 a(n−2) − 16 a(n−3) + 9 · 2^(n+1)

的解 a(n)=2^n（a +b n+c n^2) 代入确定a1,b1,c1

a(n) = 12 a(n−2) − 16 a(n−3) + 25n

的解为 a(n)=a n 代入确定 a2=5

总结

a(n)=a 2^n+b 2^n n+c 4^n+2^n（a1 +b1 n+c1 n^2) +a2 n