贝尔不等式的推导过程

继续发展爱因斯坦-波多斯基-罗森佯谬（简称为EPR佯谬）的论述 （但是选择采用自旋的例子，如同戴维·玻姆版本关于EPR佯谬的论述 ），贝尔精心设计出一个思想实验：从衰变生成的两颗处于单态（singlet state）的自旋1/2粒子会分别朝着相反方向移动，在与衰变地点相隔遥远的两个地点，分别三维坐标系测量两个粒子的自旋，每一次测量得到的结果是“向上自旋”（标计为“+”）或“向下自旋”（标计为“-”）。

假设角动量为零的母粒子衰变成两个粒子A和B，根据角动量守恒定律，一个光子必具有与另一个光子相同的偏振态，这可以用垂直于粒子路径的静止的测量装置，并在某共同方向（比方说向上）测量其偏振态来加以证实。事实上已发现：当粒子A通过其偏振片时，B也总是通过的，即：发现了100%的关联。反之，如果偏振片相互垂直安配，那么，每当A通过则B被挡阻，这时有100%的反关联。在通常的经典力学中，这也是正确的。测量结果如表格所示： 同向轴 θ=0° ： 第1对 第2对 第3对 第4对 总共n对 爱丽丝： + --+ 鲍伯： -+ + -相关系数:( +1 +1 +1 +1 ) / n= +1　　　　　　　　（100%一致）正交轴 θ=90° ： 第1对 第2对 第3对 第4对 总共n对 爱丽丝： + -+ -鲍伯： --+ + 相关系数:( +1 -1 -1 +1 ) / n= 0　　　　　　　　（50%一致）但是当二者不处于平行或垂直，在两个地点测量得到一致结果的概率，会因为两根直轴 a 与 b 之间的夹角角度 θ而变化。现在设定实验规则，如右图所示，假设爱丽丝与鲍伯分别独自在这两个地点测量，若在某一次测量，爱丽丝测量的结果为向上自旋，而鲍伯测量的结果为向下自旋，则称这两个结果一致，相关系数为+1，反之亦然；否则，若爱丽丝与鲍伯测量的结果都为向上自旋或都为向下自旋，则两个结果不一致，相关系数为-1。那么，假设 a 与 b 相互平行，则测量这些量子纠缠粒子永远会得到一致的结果（完全相关）；假设两根直轴相互垂直，则只有50%概率会得到一致的结果，得到不一致结果的概率也是50%。测量的结果可以这样表示：

在空间坐标系XYZ中： Ax Ay Az Bx By Bz 出现概率 + + + - - - N1 + + - - - + N2 + - + - + - N3 + - - - + + N4 - + + + - - N5 - + - + - + N6 - - + + + - N7 - - - + + + N8 假设Pxy的意义是粒子A在x方向上和粒子B在y方向上的相关系数，那么Pxy=-N1-N2+N3+N4+N5+N6-N7-N8

同理，Pzy=-N1+N2+N3-N4-N5+N6+N7-N8

Pxz=-N1+N2-N3+N4+N5-N6+N7-N8

|Pxz-Pzy|=|-2N3+2N4+2N5-2N6|=2|(N4+N5)-(N3+N6)|<=2[|(N4+N5)|+|(N3+N6)|]

因为所有出现的概率和为1，既N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7+N8=1 代入上式可得

|Pxz-Pzy|<=(N3+N4+N5+N6)+(1-N1-N2-N7-N8)

=>|Pxz-Pzy|<=1+Pxy

当然，这一推导是被简化了的。隐变量不一定是离散的，而可以定义为区间λ上的一个连续函数。除此之外，还有集合式、几何式等证明方法。 贝尔原始的证明方法利用了斯特恩-革拉赫装置中电子运动的性质与自旋态跃迁概率的性质，结合经典概率论证明。 除此之外，匈牙利物理学家F P 维格纳在1970年曾给出对贝尔不等式的“最简捷的”证明 。他的思路是：先导出两个Pr (sa = x, tb = y)的表达式，一个表现量子力学的特征，另一个表现定域隐变量理论的特征，然后把贝尔不等式的证明归结为证明这两个表达式不能同时成立。详细的证明方法可以在参考资料及扩展阅读文献中找到。

从上述推证中不难看出：贝尔不等式是由一元线性隐变量理论加定域性约束得到的，它表现了该理论对实验结果的限制情况。如果贝尔不等式成立，就意味着这种形式的隐变量理论也成立，则现有形式的量子力学就不完备。要是实验拒绝贝尔不等式，则表明量子力学的预言正确，或者是实验有利于量子力学。几十年来，人们就把贝尔不等式成立与否作为判断量子力学与隐变量理论孰是熟非的试金石。

在理论物理学中，贝尔不等式（Bell's inequality）是一个有关是否存在完备局域隐变量理论的不等式。实验表明贝尔不等式不成立，说明不存在关于局域隐变量的物理理论可以复制量子力学的每一个预测（即贝尔定理）。

在经典物理学中，此一不等式成立。在量子物理学中，此一不等式不成立，即不存在这样的理论，其数学形式为∣Pxz-Pzy∣≤1+Pxy

继续发展爱因斯坦-波多斯基-罗森佯谬（简称为EPR佯谬）的论述（但是选择采用自旋的例子，如同戴维·玻姆版本关于EPR佯谬的论述），贝尔精心设计出一个思想实验：从衰变生成的两颗处于单态（singlet state）的自旋1/2粒子会分别朝着相反方向移动，在与衰变地点相隔遥远的两个地点，分别三维坐标系测量两个粒子的自旋，每一次测量得到的结果是“向上自旋”（标计为“+”）或“向下自旋”（标计为“-”）。[2]

假设角动量为零的母粒子衰变成两个粒子A和B，根据角动量守恒定律，一个光子必具有与另一个光子相同的偏振态，这可以用垂直于粒子路径的静止的测量装置，并在某共同方向（比方说向上）测量其偏振态来加以证实。事实上已发现：当粒子A通过其偏振片时，B也总是通过的，即：发现了100%的关联。反之，如果偏振片相互垂直安配，那么，每当A通过则B被挡阻，这时有100%的反关联。在通常的经典力学中，这也是正确的。

但是当二者不处于平行或垂直，在两个地点测量得到一致结果的概率，会因为两根直轴 a 与 b 之间的夹角角度 θ而变化。现在设定实验规则，如右图所示，假设爱丽丝与鲍伯分别独自在这两个地点测量，若在某一次测量，爱丽丝测量的结果为向上自旋，而鲍伯测量的结果为向下自旋，则称这两个结果一致，相关系数为"+1"，反之亦然；否则，若爱丽丝与鲍伯测量的结果都为向上自旋或都为向下自旋，则两个结果不一致，相关系数为"-1"。那么，假设 a 与 b 相互平行，则测量这些量子纠缠粒子永远会得到一致的结果（完全相关）；假设两根直轴相互垂直，则只有50%概率会得到一致的结果，得到不一致结果的概率也是50%。

假设Pxy的意义是粒子A在x方向上和粒子B在y方向上测量到自旋相同的概率，那么Pxy=-N1-N2+N3+N4+N5+N6-N7-N8

同理，Pzy=-N1+N2+N3-N4-N5+N6+N7-N8

Pxz=-N1+N2-N3+N4+N5-N6+N7-N8

|Pxz-Pzy|=|-2N3+2N4+2N5-2N6|=2|(N4+N5)-(N3+N6)|<=2[|(N4+N5)|+|(N3+N6)|]

因为所有出现的概率和为1，即N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7+N8=1 代入上式可得

|Pxz-Pzy|<=(N3+N4+N5+N6)+(1-N1-N2-N7-N8)

所以|Pxz-Pzy|<=1+Pxy

当然，这一推导是被简化了的。隐变量不一定是离散的，而可以定义为区间λ上的一个连续函数。除此之外，还有集合式、几何式等证明方法。 贝尔原始的证明方法利用了斯特恩-革拉赫装置中电子运动的性质与自旋态跃迁概率的性质，结合经典概率论证明。除此之外，匈牙利物理学家F P 维格纳在1970年曾给出对贝尔不等式的“最简捷的”证明。

他的思路是：先导出两个Pr (sa = x, tb = y)的表达式，一个表现量子力学的特征，另一个表现定域隐变量理论的特征，然后把贝尔不等式的证明归结为证明这两个表达式不能同时成立。详细的证明方法可以在参考资料及扩展阅读文献中找到。

从上述推证中不难看出：贝尔不等式是由一元线性隐变量理论加定域性约束得到的，它表现了该理论对实验结果的限制情况。如果贝尔不等式成立，就意味着这种形式的隐变量理论也成立，则现有形式的量子力学就不完备。要是实验拒绝贝尔不等式，则表明量子力学的预言正确，或者是实验有利于量子力学。几十年来，人们就把贝尔不等式成立与否作为判断量子力学与隐变量理论孰是熟非的试金石。

近轴区：tan u=u,  tan u’=u’

拉赫不变量：nuy=n'y'u'

直角三角形AMH 和A'M'H'相似得：yfu=y'f'u'

相除，得 f'/f=-n'/n

同一介质，折射率相同，n'=n，即-f'=f

高斯公式f'/l'+f/l=1,变为，1/l'-1/l=1/f'

再由符号规则，-l、l'即分别为你说所的u，v

阿贝不变量表征界面对某物点发出光线的偏折能力

阿贝正弦条件是说出射角的正弦比上入射角的正弦为常量ksin(cita)/kisin(citai)=M,表征无像差光学系统的空间带宽积为常量,也就是物空间放大的同时角谱空间带宽被压缩,这一性质由海森堡测不准原理决定

拉赫不变量即物高乘以光线角度乘以折射率为常量,如果考察边缘场点发出的边缘光线,它表征该光学系统的成像能力,