如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE=CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE=AF．（初二

解答：证明：连接BD，作CH⊥DE于H，

∵正方形ABCD，

∴∠DGC=90°，GC=DG，

∵AC∥DE，CH⊥DE，

∴∠DHC=∠GCH=∠DGC=90°，

∴四边形CGDH是正方形．

由AC=CE=2GC=2CH，

∴∠CEH=30°，

∴∠CAE=∠CEA=∠AED=15°，

又∵∠FAE=90°+45°+15°=150°，

∴∠F=180°-150°-15°=15°，

∴∠F=∠AEF，

∴AE=AF．

解答：解：设正方形的边长为a，则S□ABCD=a2，

∵AE=BF=CG=DH=

1

3

AB，

∴AE=BF=CG=DH=

1

3

a，

∴AF=

a2+( 1 3 a)2

=

10

3

a，

∵∠DAE=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°，

∴Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA，

∴S△AED=

1

2

×

1

3

aa=

1

6

a2．

∵Rt△AED≌Rt△BFA，

∴∠EAL=∠ADE，∠AEL=∠BFN，

∴∠ALE=∠DAE=90°，

∴△AEL是直角三角形，

∵∠EAL=∠EAL，∠ALE=∠ABF=90°，

∴Rt△AEL∽Rt△AFB，

∴

AL

AB

=

AE

AF

=

EL

BF

，即

AL

a

=

1 3 a

10 a 3

=

EL

1 3 a

，

解得，AL=

10

10

a，EL=

10 a

30

，

∴S△AEL=

1

2

ALEL=

1

2

×

10

10

a×

10 a

30

=

a2

60

，

同理可得，S△AEL=S△BNF=S△CKG=S△DHJ=

a2

60

，

∴S阴影=S正方形ABCD-4S△AED+4S△AEL=a2-4S△AED+4S△AEL=a2-4×

1

6

a2+4×

a2

60

=

2

5

a2，

∴阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为

2

5

a2：a2=

2

5

．

∵∠DHC=90°，

∴∠AHD+∠CHB=90°，

∵DA⊥AB，

∴∠D+∠AHD=90°，

∴∠D=∠CHB，

在△ADH和△BHC中，

∠D＝∠CHB ∠A＝∠B＝90° DH＝CH

，

∴△ADH≌△BHC（AAS），

∴AD=BH=15千米，AH=BC，

∵A，B两站相距25千米，

∴AB=25千米，

∴AH=AB-BH=25-15=10千米，

∴学校C到公路的距离是10千米．

答：H应建在距离A站10千米处，学校C到公路的距离是10千米．

（2）因为BD垂直AC，AB=BC

所以AD=CD=1/2AC

因为 BD垂直AC，CE垂直AB

所以∠BDA=∠BDC=∠CEB=90°

因为∠DCE+∠DHC=90°（H就是BD与CE的交点）

∠ABD+∠EHB=90°

又因为∠EHB=∠DHC

所以∠DCE=∠ABD

所以△CDH相似△BAD

所以DA/DH=DB/CD

又因为AD=CD

所以DA/DH=DB/DA

所以DA×DA=DB×DH

望采纳！

第一小题，我看到有人回答了，四对。

您好，phsky1110为您解答，很高兴为您服务。

第一小问：三角形EHB相似于三角形DHC（AA）

三角形ABD相似于三角形CBD（AA）

还有诸多字母型，请您自己寻找。

第二小问：连结AH，三角形AHD全等于三角形DHC

所以三角形AHD相似于三角形ABD

根据AD/HD=BD/AD

所以DA²=DH×DB。证毕。

phsky1110很高兴为您解答，请采纳，谢谢。