已知点o为三角形ABC外接圆的圆心,且向量OA+向量OB+向量OC=0,则三角形ABC的角A为

已知点o为三角形ABC外接圆的圆心,且向量OA+向量OB+向量OC=0,则三角形ABC的角A为,第1张

连接AO,BO

OA=OC+CA

OA+OB+CO=0

所以OC+CA+OB+CO=0

CA+OB=0

所以|CA|=|BO|

同理|CB|=|AO|

又|AO|=|BO|=|CO|

所以△AOC和△BOC都是等边三角形

所以∠C=60°+60°=120°

底角为(180-120)/2=30°

首先,先把△OAC旋转60°,使AC与AB重合,则O落在O'处,易知△AOO'是边长为4的等边三角形,那么∠AOO'=60°,易证△BOO'为直角三角形(BO=3,OO'=4,BO'=5),那么∠BOO'=90°,所以∠BOC=150°

∵CD⊥AB,BE⊥AC

∴∠ADO=∠AEO=90°

∵∠1=∠2

OA=OA

∴△AOD≌△AOE(AAS)

∴OD=OE

∵∠BOD=∠COE

∠BOO=∠CEO=90°

∴△BOD≌△COE(ASA)

∴OB=OC

解答:解:由题意可知,∠1+∠2=∠3+∠2=60°,

∴∠1=∠3,

又∵OB=O′B,AB=BC,

在△BO′A和△BOC中,

OB=O′B
∠1=∠3
AB=BC

∴△BO′A≌△BOC(SAS),

又∵∠OBO′=60°,

∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到,

结论①正确;

如图①,连接OO′,

∵OB=O′B,且∠OBO′=60°,

∴△OBO′是等边三角形,

∴OO′=OB=4.

故结论②正确;

∵△BO′A≌△BOC,∴O′A=5.

在△AOO′中,三边长为3,4,5,这是一组勾股数,

∴△AOO′是直角三角形,∠AOO′=90°,

∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°,

故结论③正确;

S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=

1
2
×3×4+
3
×42=6+4
3

故结论④错误;

如图②所示,将△AOB绕点A逆时针旋转60°,使得AB与AC重合,点O旋转至O″点.

易知△AOO″是边长为3的等边三角形,△COO″是边长为3、4、5的直角三角形,

则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=

1
2
×3×4+
3
4
×32=6+
9
4

故结论⑤正确.

综上所述,正确的结论为:①②③⑤.

故答案为:①②③⑤.

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原文地址:https://pinsoso.cn/meirong/1042461.html

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