∫arctan(e^x)/e^x
a=e^x
x=lna
dx=da/a
所以原式=∫arctanada/a²
=-∫arctanad(1/a)
=-arctana/a+∫1/adarctana
=-arctana/a+∫1/ada/(1+a²)
∫1/ada/(1+a²)
=∫(1+a²-a²)/a(a²+1)da
=∫[1/a-a/(a²+1)]da
=∫1/ada-∫a/(a²+1)da
=lna-1/2∫d(a²+1)/(a²+1)
=lna-1/2ln(a²+1)+C
所以原式=-arctana/a+lna-1/2ln(a²+1)+C
=-arctan(e^x)/e^x+x-1/2ln(e^2x+1)+C
吾之右手乃米迦勒
吾之左手乃尤里菲尔
吾之前方乃拉斐尔
吾之身后乃加百列
（以上是四大天使）
Le Olam Amen（希伯来语中的 永远 阿门）
将Demiurge的愤怒（Demiurge：柏拉图作品中的造物主）
圣女卡娜·沉默的王啊
zazasu zazasu nasatanada zazasu （オノリウスの教书中打开地狱之门的咒语）
最后一句能力有限实在翻译不能……
这是ニノン・ベアール(Ninon Beart)的技能咒语吧
1、
令x=3tana
dx=3sec²ada
x²+9=9sec²a
原式=∫3seca×3sec²ada
=9∫sec³ada
∫sec³ada
=∫secadtana
=secatana-∫tanadseca
=secatana-∫secatan²ada
=secatana-∫seca(sec²a-1)da
=secatana-∫sec³ada+∫secada
=secatana-∫sec³ada+ln|seca+tana|
所以2∫sec³ada=secatana+ln|seca+tana|
9∫sec³ada=9(secatana+ln|seca+tana|)/2
x=4
tana=4/3
sec²a=1+16/9=25/9
seca=5/3
x=0
tana=0
seca=1
原式=(20+9ln3)/2
2、
原式=1/2∫e^(-x²/2)d(x²)
=-∫e^(-x²/2)d(-x²/2)
=-e^(-x²/2)(0→1)
=-e^(-1/2)+1/4e^0
=1-1/(√e)
3、
1+sinx
=sin²(x/2)+cos²(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2)
=[sin(x/2)+cos(x/2)]²
=[√2sin(x/2+π/4)]²
=2sin²(x/2+π/4)
所以1/(1+sinx)=1/2csc²(x/2+π/4)
所以原式=∫1/2csc²(x/2+π/4)dx
=-∫-csc²(x/2+π/4)d(x/2+π/4)
=-cot(x/2+π/4)
=-cotπ/2+cotπ/4
=1
a=e^x
x=lna
dx=da/a
所以原式=∫arctanada/a²
=-∫arctanad(1/a)
=-arctana/a+∫1/adarctana
=-arctana/a+∫1/ada/(1+a²)
∫1/ada/(1+a²)
=∫(1+a²-a²)/a(a²+1)da
=∫[1/a-a/(a²+1)]da
=∫1/ada-∫a/(a²+1)da
=lna-1/2∫d(a²+1)/(a²+1)
=lna-1/2ln(a²+1)+C
所以原式=-arctana/a+lna-1/2ln(a²+1)+C
=-arctan(e^x)/e^x+x-1/2ln(e^2x+1)+C
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