函数的有界性的正数M是在实数集D内取的吗?

函数的有界性的正数M是在实数集D内取的吗?,第1张

函数的有界性定义:若存在两个常数m和M,使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界,其中m是它的下界,M是它的上界。

中文名
有界性

外文名
boundedness

所属学科
数理科学函数

分类
上界、下界

相关概念
有界、无界、

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定义
定义1
设函数在数集上有定义,如果存在常数,使得对任意,有

则称函数在数集上有界,否则称为无界。

例如,函数在其定义域内有界,这是因为对任意,总有。

再如,函数在其定义域内是无界的,这是因为对任意的实数,总存在点,显然,使得,然而,对任意实数,函数在定义域的子集上却是有界的,这是因为对任意,总有,于是便可取实数.使得。[1]

定义2
设函数在数集上有定义,如果存在常数,使得对任意,有

则称函数在数集上有上界.并称M为在A上的上界.如果存在常数m.使得对任意,有

则称函数在数集上有下界,并称m为在上的下界.

显然,若在A上有界,则在A必有上、下界.反之.若在A上有上、下界,则在A上必有界.

由定义1可知,在集合A上有界函数的图形在A上,应介于平行于x轴的两条直线之间,如图1所示[1].

图1

注意点
关于函数的有界性.应注意以下两点:

(1)函数在某区间上不是有界就是无界,二者必属其一;

(2)从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界(见图2).如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间,那么函数一定是无界的,如。

图2

例题解析
例1:讨论下列函数的有界性:

(1);

(2).

解:(1)由于对一切,都有故在上是有界函数。

(2)根据的图形(见图3)容易看出,不论正数M多么大,不等式不可能对一切均成立,因此在上是无界函数。

但如果在区间上讨论函数,因对一切,不等式成立,故在区间上是有界函数。[2]

例2:

证明:函数是有界函数。

证明:的定义域为,又

因此是有界函数。[2]

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