函数极限

1、唯一性；

2、 局部 有界性；

极限附近有界

3、 局部 保号性

 保正保负，不保零

 去极限等： 足够大，

 加极限等：n足够大

x-> ,f(x)->0,g(x)->0,比较f( )和g( )，可以通过算出 的大小来比较。

if = 0，称f(x)是g(x)的==高阶无穷小==（f(x)快），记作f=o(g)，所以== =0 ==

          = ，称f(x)是g(x)的低阶无穷小（f(x)慢）

          =C 0，称f(x)是g(x)的同阶无穷小（f(x)和g(x)的速度差不多）

          =1，称f(x)是g(x)的==等价无穷小==（f(x)和g(x)一样快）

等价无穷小 同阶无穷小

吸收律：吸收高阶，==保留低阶==。要求几个项都趋近于无穷小。

egx ~x

（1）无穷小和无穷大互为倒数

（2）无穷大 无界

同类比阶： ~ 即

异类比阶： （远远小于）

     只与函数类型有关

（1）划掉加减中的常数

（2）幂函数，保高幂数

（3）对指幂，均为无穷时，保右

极限：未定式（ ， ， ）

   已定式：除以上7中未定式的极限，直接把点带入计算即可

替换定理：只能用于乘除的替换。

  若f~g,则

sinx ~ x   arcsinx ~ x   tanx ~ x   arctanx ~ x

-1 ~ x    ln(1+x) ~ x   -1 ~    1-cosx ~    x-sinx~

ps: -1 ~ x( -1 ~ xlna):  so  -1 ~ xlna

极限存在，limf=A，limg=B

lim(f+g)=A+B

lim(f-g)=A-B

lim(f g)=A B

lim =

乘除非零提前代

加减存在（极限）提前拆

若

 1、

 2、 的某 去心领域 内，f(x),g(x)均可导且

  PS:f(x)在 有倒数不等于f(x)在 的去心领域内可导

 3、

可以用于等价替换，不用管是乘除还是加减

f(x)在 处的n阶泰勒展开公式：

 

  ：皮亚诺余项（误差）

即f(x)在x=0处展开的泰勒公式

 

eg

有规律：

没规律：

展开原则：相消不为0的最小展开

若A-B为无穷小，则将A-B用泰勒展化为等价无穷小

== 常见： ==

~     ~

~     ~

~     ~

展开原则：上下同阶

中的0不能提前代

抓大头仅适用于 型且不能抓成0（抓大头：无穷大的性质）

型中的1不能提前代

1、等价无穷小

2、泰勒展开

3、

1、洛必达

2、抓大头

1、乘化除

  

  

==2、等价无穷小替换==

3、函数增长速度（对指幂）

==4、 ==

减化除：

1、分数通分

2、二次根式有理化（三次根式可用拉格朗日中值定理）

3、换元（ ：倒代换 或 ：指数换元）

幂指函数：形如 （f(x)>0）

幂指化指公式：

1、lim glnf=A

2、

1、凑

2、算 ，然后得

单侧极限的情形：

1、分段函数：分段点左右两侧的解析式不同

2、arctan ， 的极限不同要分开讨论，eg：

3、 ， 的极限不同要分开讨论，eg：

极限结果：

1、A(常数)

2、

3、极限震荡不存在(sin 、cos )

 sin 、cos :有界变量；极限震荡不存在

4、左右极限不相等，极限不存在( )

1大部分直接带入数值计算即可。

2不定式有洛必达法则。

3不定式还有泰勒公式。

4等价无穷小。

5换元法。

6取对数法。

7夹逼准则法。

8其它方法。

可以。

0/0型极限=1的例子，重要极限limsinx/x=1（x→0）

∞/∞型极限=1的例子，lim(x+1)/x=1（x→+∞）

注：可以运用罗比塔法则求0/0型、∞/∞型极限。

扩展资料：

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限

4、利用无穷小的性质求极限

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限

7、利用两个重要极限公式求极限

8、利用左、右极限求极限，（常是针对求在一个间断点处的极限值）

9、洛必达法则求极限

函数在点的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么常数A就叫做函数当时的极限。

函数极限的四则运算法则：

1、特别注意参与运算的函数是同一变化过程中极限都存在。

2、作为分母的函数在去心邻域内函数值和极限值都不能等于零。

3、乘以一个非零常数不改变函数的敛散性。

4、参与运算的函数个数为有限个。

函数极限的求法：

1、用极限定义。

此种方法在昨天发布的内容中有详细介绍，本讲不作为主要内容。

2、利用极限的四则运算。

这是重点，重点讲解对于0-0型，0/0型，∞-∞型,∞/∞型的极限的求法。

3、利用无穷小量的性质。

4、等价无穷小代换。

一、利用极限四则运算法则求极限

函数极限的四则运算法则：设有函数，若在自变量f（x），g（x）的同一变化过程中，有limf（x）=A，limg（x）=B，则

lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B

lim［f（x）・g（x）］=limf（x）・limg（x）=A・B

lim==（B≠0）

（类似的有数列极限四则运算法则）现以讨论函数为例。

对于和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，但使用这些法则，往往要根据具体的函数特点，先对函数做某些恒等变形或化简，再使用极限的四则运算法则。方法有：

1直接代入法

对于初等函数f（x）的极限f（x），若f（x）在x点处的函数值f（x）存在，则f（x）=f（x）。

直接代入法的本质就是只要将x=x代入函数表达式，若有意义，其极限就是该函数值。

2无穷大与无穷小的转换法

在相同的变化过程中，若变量不取零值，则变量为无穷大量圳它的倒数为无穷小量。对于某些特殊极限可运用无穷大与无穷小的互为倒数关系解决。

（1）当分母的极限是“0”，而分子的极限不是“0”时，不能直接用极限的商的运算法则，而应利用无穷大与无穷小的互为倒数的关系，先求其的极限，从而得出f（x）的极限。

（2）当分母的极限为∞，分子是常量时，则f（x）极限为0。

3除以适当无穷大法

对于极限是“”型，不能直接用极限的商的运算法则，必须先将分母和分子同时除以一个适当的无穷大量x。

4有理化法

适用于带根式的极限。

二、利用夹逼准则求极限

函数极限的夹逼定理：设函数f（x），g（x），h（x），在x的某一去心邻域内（或|x|＞N）有定义，若①f（x）≤g（x）≤h（x）；②f（x）=h（x）=A（或f（x）=h（x）=A），则g（x）（或g（x））存在，且g（x）=A（或g（x）=A）。（类似的可以得数列极限的夹逼定理）

利用夹逼准则关键在于选用合适的不等式。

三、利用单调有界准则求极限

单调有界准则：单调有界数列必有极限。首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程，可求出极限。

四、利用等价无穷小代换求极限

常见等价无穷小量的例子有：当x→0时，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x；e-1～x；ln（1+x）～x；arcsinx～x；arctanx～x；（1+x）-1～x。

等价无穷小的代换定理：设α（x），α′（x），β（x）和β′（x）都是自变量x在同一变化过程中的无穷小，且α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），lim存在，则lim=lim。

五、利用无穷小量性质求极限

在无穷小量性质中，特别是利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量的性质求极限。

六、利用两个重要极限求极限

使用两个重要极限=1和（1+)=e求极限时，关键在于对所给的函数或数列作适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。

七、利用洛必达法则求极限

如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与g（x）都趋于零或趋于无穷小，则可能存在，也可能不存在，通常将这类极限分别称为“”型或“”型未定式，对于该类极限一般不能运用极限运算法则，但可以利用洛必达法则求极限。

设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数

（无论它多么小），总存在正数

使得当x满足不等式

时，对应的函数值f(x)都满足不等式

那么常数A就叫做函数f(x)当

时的极限，记作

扩展资料

函数极限的四则运算法则

设f(x)和g(x)在自变量的同一变化过程中极限存在，则它们的和、差、积、商(作为分母的函数及其极限值不等于0)的极限也存在，并且极限值等于极限的和、差、积、商。非零常数乘以函数不改变函数极限的存在性。

相关定理：夹逼定理

设L(x)、f(x)、R(x)在自变量变化过程中的某去心邻域或某无穷邻域内满足L(x)≤f(x)≤R(x)，且L(x)、R(x)在自变量的该变化过程中极限存在且相等，则f(x)在该自变量的变化过程中极限也存在并且相等。

求函数的极限，需要分析函数在极限点处的行为。这可以通过使用定义、极限定义、或者某些特殊函数的性质来完成。

例如，对于函数 f(x)，假设我们想要求出它在 x=a 处的极限。我们可以使用以下方法：

定义法：对于任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得当 0 < |x - a| < δ 时，|f(x) - L| < ε。这意味着，当 x 足够接近 a 时，f(x) 就会足够接近 L。

极限定义：当 x 足够接近 a 时，f(x) 就会足够接近 L。这是极限的定义，但是它并不告诉我们如何去计算极限。

特殊函数的性质：对于一些常见的函数，例如幂函数、对数函数、三角函数等，我们可以使用它们的性质来求解极限。

例如，对于函数 f(x)=x^2，我们可以使用定义法求出它在 x=0 处的极限：

设 L=0，对于任意 ε > 0，我们可以设 δ=ε。

当 0 < |x - 0| < δ 时，|f(x) - L| = |x^2 - 0| = |x^2| = x^2。

由于 x^2 > 0，所以 x^2 < ε，当 x 足够接近 0 时，f(x) 就会足够接近