在平面直角坐标系XOY中，已知A（1，1）在Y轴上确定一点P，使三角形AOP为等腰三角形，则符合条件的有几个？

确定了二点A(1,1),O(0,0)后，等腰三角形AOP首先分两种情况考虑：

1）AO为等腰三角形的底边

那么作AO的垂直平分线交y轴于点P，只有一个交点在Y轴的正轴，P为（01）

2）AO为等腰三角形的一腰

那么以A为圆心，AO为半径作弧与Y轴相交，交点是P（0，2）

或者，以O为圆心，OA为半径作弧，与Y轴相交，

交点有二个，即 （0，-√2）和（0，√2）

因此，这样的点共有4个

如果，把与X轴的交点也考虑在内，同样也有4个交点

AOPY氨基酸海盐轻盈洗发水具有控油、蓬松、增密、香味浓郁、泡沫丰富易搓开、持久香气、细腻泡沫、滋养去屑、顺滑蓬松等优点。它采用氨基酸成分，温和清洁，适合油性头发、头发易脱、需要去油去屑、需要滋养头发、喜欢氨基酸洗发、喜欢浓郁香味的人使用。

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解：直线l经过A(40)和B(04)设其解析式为y=kx+b

把(40)和B(04)代入y=kx+b 解得 k=-1 b=4

所以y=-x+4

设P点坐标为（x，y）因为 P点在第一象限，所以 x>0 y>0

由 △AOP的面积为4 得：4y/2=4 y=2

把 y=2代入 y=-x+4 得 x=2

所以P点坐标为（2，2）

把P点坐标（2，2）代人y=ax^ 解得 a=1/2

所以抛物线的解析式:y=1/2a^

1、设直线l的解析式为y=kx+b

因为S△AOP=1/2×AO×OP=8

所以OP=16/4=4

将A（0，4）、P（4，0）代入解析式，解得

k=-1，b=4

所以解析式为y=-x+4

2、根据A、B点的坐标（4，0）（2，h），解得正方形边长为a=√（h+4）

设AB直线的解析式为y=kx+b，可得

0=4k+b

h=2k+b

解得k=-05h，b=2h

所以AB的解析式为y=-05hx+2h

tg∠FAN=tg（90°－∠BAM)=ctg∠BAM=2/h

A的坐标为(4,0)

所以AD的解析式为y=2/hx－8/h

因为AM=AD/cos∠DAM=AD/cos（90°－∠BAM）=a/sin∠BAM=a/（h/a）=a^2/h=(h+4)/h

所以OM=AM－AO=(h+4)/h－4

M的坐标为（4/h－3，0）

CD∥AB，其斜率相同，所以CD的解析式为

y=-05hx+2/h－15

解AD、CD的直线方程，解得

x=（20－3h）/（4－h^2)

y=(6h－8h^2－8)/(h^3－4h)

即D点的坐标为（（20－3h）/（4－h^2)，(6h－8h^2－8)/(h^3－4h)）

3、因为BC∥AD，其斜率相同

设BC的解析式为y=2/hx+b

将B（2，h）P（0，4）的坐标代入，解得

h=2+2√2，b=4

所以CD的解析式为y=-05hx+2/h－15=-05（2+2√2）x+2/（2+2√2）

y=-（√2+1）x+√2－1

x=0时，其和y轴的交点为（0，√2－1）