答案：会聚点在玻璃球后面150mm处；$第一面阿贝不变量Q1=1/300；第二面阿贝不变量Q2=-1/100。不同的折射面其值是不同的；而拉赫不变量由公式nuy=n'u'y'=J知，对各个面的每个空间是不变的。
阿贝不变量表征界面对某物点发出光线的偏折能力
阿贝正弦条件是说出射角的正弦比上入射角的正弦为常量ksin(cita)/kisin(citai)=M,表征无像差光学系统的空间带宽积为常量,也就是物空间放大的同时角谱空间带宽被压缩,这一性质由海森堡测不准原理决定
拉赫不变量即物高乘以光线角度乘以折射率为常量,如果考察边缘场点发出的边缘光线,它表征该光学系统的成像能力,
首先，透镜的物方空间和像方空间一般都在介质中，即n=n'，以下推导都是以此为基础的。角放大率γ定义为像方孔径角与物方孔径角的比值，即u'/u，轴向放大率β定义为像高与物高的比值，即y'/y，由拉赫不变量nyu=n'y'u'，得γ=(ny)/(n'y')，将β带入得γ=n/(n'β) 对于透镜，又因为n=n'，有γ=1/β 回到问题。因为主面是β=1的平面，主点就是主面与光轴的交点，因此也有β=1 同时可以看到，当β=1，有γ=1，正好满足对主点的定义（出射光线及入射光线与光轴的夹角不变）得证当n=n'，主点与节点重合
为了使成像问题变得更为简单, 可以求出实际光学系统的三对基点, 利用这些基点, 就可以 用一个等效的 光具组代替整个实际光学系统, 不必去考第三节 理想光具组成像有什么规律？
一、什么叫理想光具组？
能够成理想像的光学系统叫做理想光具组或理想光学系统，简称光组。
1理想光组能成完善像的条件是什么？
理想光组能完善像的条件是：能使物空间的同心光束转化为像空间的同心光束，也就是物空间一点经光组成的像仍是一点，即物空间与像空间是：点点对应；线线对应；面面对应。
2近轴（高斯）光学中所谓的理想光组跟应用光学中的理想光组有什么不同？
近轴光学中光组（如折射球面的组合或透镜组等）都是未经严格设计的光组，只在近轴区才能成完善的像，即成像范围及光束宽度均为无限小。
实际光组如摄影镜头成像，被摄对像总是有一定大小的，而且各物点的光束也要求有一定宽度。应用光学中，就将对任意大的范围，以任意大的光束成完善像的系统定义为理想光学系统。尽管应用光学中的光组，如摄影镜头，经过严格设计，但仍不能成完善的像。因此，应用光学中的理想光学系统也只是实际光组的近似。但是，可以利用理想光组成像的特点来比较和估计实际光学系统的成像质量。
在均匀介质中的理想光学系统，物空间及像空间的光线都是直线。物空间一点，在像空间仍然是一点。因此，物跟像的位置就可以用光线通过几何关系来确定。物像的这种几何关系叫做共线成像（或共线变换、共线光学）。
3共线光学理论的主要内容是什么？
共线光学理论主要内容如下：
①物空间每一点对应于像空间一点，而且，只有唯一的一点；此两点叫做物、像空间的共轭点；
②物空间中每一条直线对应于像空间的一条直线，这一对对应的线叫物像两空间的共轭线；
③如果物空间的任意点位于直线上，那么在像空间内的共轭点也必在该直线的共轭线上；
④物空间的任意平面对应于像空间的一平面。
二、理想光组的重要意义是什么？
在设计光学系统时，设计者必须首先心中有数，根据使用条件，提出具体要求。如物和像的位置、放大率、像的倒正、光学系统的纵向和横向尺寸等。上述要求，必须依据理想光组的理论进行运算以获得数据。
研究或分析一个现有的光学系统，如手头的一个摄影镜头，要确定其中每一个光学部件的作用，了解各部件间的相互关系等，也得应用理想光学系统理论。
三、理想光组的基点有哪些？
我们知道共线光学理论是物方与像方的点与点，线与线对应，主要是用光线通过几何关系来确定物和像的位置。物与像的几何关系，通常是采用通过几对具有特殊光学特性的典型光线，构成几何图形，再根据图形边角关系来确定物像位置及放大率（横向放大率和角放大率）。光组主光轴上存在三对共轭点：焦点、主点和节点，它们统称为基点。
1什么叫理想光组的焦点和焦平面？
一个光组无论是简单（如一个折射球面，一个薄透镜）还是复杂（如多个透镜组成的摄影镜头），只要把它看成是理想光组，就可以由一些基点和基面来决定物像的共轭关系。至于光组的详细情节，诸如像折射面的曲率、间距、构成透镜的光学材料都不用考虑，如图2-21所示。图2-21(a)所示为正光组（会聚光组）的情形，物方焦点在物空间，像方焦点在像空间；图(b)为负（发散）光组，物方焦点在像空间，像方焦点在物空间，各种入射光线，通过负光组后的出射光线都有所发散。图中只给出光组中最前和最后两个折射面及主光轴。跟主轴平行的入射光束（物点在物空间主轴上无限远处），经光组后的出射光束交像空间主轴上一点F’，F’叫光组的像方焦点（或第二焦点、后焦点）。过F’的垂轴平面叫光组像方焦平面（第二焦平面、后焦平面）；跟无穷远像点共轭的物点F，叫物方焦点（第一焦点、前焦点），过F的垂轴平面叫物方焦平面（前焦平面、第一焦平面），（如图(a)、(b)所示）。
F与F’不是共轭点，因物点置于F处，像并不成在F’点，反之变然。像方焦平面的共轭平面，是位于物方无限远处的垂轴平面。由物方无限远处射来的任何方向的平行光束，经光组后必会聚于像方焦平面上一点（副焦点）；物方焦平面跟像方无穷远处垂直于主轴的平面共轭，因此，自物方焦平面上任一点发出的光束经光组后，必平行于过该点的副光轴射出。上述焦平面的性质，画光路圈时经常用到。
2什么叫理想光组的主点和主平面？
①什么叫主点和主平面？
任何理想光组都存在一对横向放大率等于正一的共轭平面。属于物方的叫物方主平面，其轴上点叫物方主点（或叫第一主点，前主点）；属于像方的叫像方主平面，其轴上点叫像方主点。分别用H与H’表示前主点和后主点。图2-22(a)和(b)所示是凸透镜的主点和主平面的情形。从物方焦点F发出的光束经两次折射后与主光轴平行；平行于主光轴的光束经两次折射后通过像方焦点。在两图中分别将每对共轭线延长并相交，这些交点的轨迹是垂轴平面，便是主平面，它们与主轴的交点便是主点。
②为什么主平面是横向放大率等于正一的共轭面？
图2-23中，H1为双箭头两共轭线在物方主平面上的交点；H’1为单箭头两共轭线在像方主平面上的交点。由图2-22所示可见，无论是从F发出的光线，还是跟主光轴平行的入射光线。其入射高度（入射线跟物方主平面的交点到主轴的距离）是任意的；图2-22(a)中出射线恰是图(b)中的入射线；若两图中的入射高度相等时，其出射线的高度（出射线跟像方主平面的交点至主轴的距离）必相等。因此，图2-23所示的情形是完全可以实现的。此种情况下H1可以看作是两条入射光线的会聚点——物方主平面上的虚物点，H’1则可以看成是H1的虚像点。这对共轭点都在主轴同侧且距主轴的高度都相同，故横向放大率为正一。同理，H1H与H’1H’两线段也是共轭的，若将此图线绕至轴旋转一周，H1H与H’1H’所在的两个平面也是共轭的。
物方焦距及物距都是以物方主点H为坐标原点，在右为正，居左为负；像方量则以H’为坐标原点同样是右正左负。但是，物方量不能从H’算起；像方量也不能从H算起。
四、理想光组的物像有什么关系？
对理想光组已知物求其像，可用图解（作图）法和解析（代数）法：
1什么叫图解法？
根据光组的焦点和主点的性质，及物空间点、线、面的位置，用作图的方法求其共轭点、线、面的位置，叫做图解法求像。
(a)在理想成像的条件下，从一点发出的光束，经光组折射后必交于一点。因此，要确定像点位置，只须求出由物点发出的光束中的两条典型光线在像空间的共轭光线，则它们的交点就是所求的像点。如图2-24所示，系统的主点H及H’；焦点F及F’位置都是已知的，垂轴物体PQ的位置及大小也是已知的。求其像的位置及大小。首先过Q点作一平行于主光轴的光线QM交物方主平面于M点，根据焦点和主平面的性质，光线QM经光学系统折射后的出射光线M’P’必通过后焦点F’；再由Q点引一条通过物方焦点的光线，交前主面于N点，则其共轭光线N’Q’必跟主轴平行。两条折射线的交点Q’便是Q点的像点；过Q’点作垂轴线段Q’P’，就是PQ的像。
(b)若物点在主轴上，则上述两条典型光线重合为一条沿主轴传播的光线。因此，必须引一条任意方向的光线，要确定其出射线的方向则需要应用焦平面的性质。如图2-25(a)所示，用作图法求轴上点A的像点：过A作任一条入射线AM，可以认为此光线是由轴外无穷远物点发出的平行光束（斜射光束）中的一条，再过前焦点F作一辅助光线与其平行，这两条光线构成斜平行光束。它们应会聚于像方焦平面上一点。这一点可由辅助光线来决定，因辅助光线出射系统后，应平行于主光轴，与后焦平面交于B’，由此可确定出射线的方向，它跟主轴的交点A’便是所求的像点；也可以用图2-25(b)所示的方法求像点A’。
2什么叫解析法？
如果一个物体相对于光组的位置是已知的，用公式计算像的位置和大小的方法叫解析法。此种方法没有作图法求像方便、直观，但比较精确。由于所取坐标原点不同，也分牛顿公式和高斯公式两种。如图2-26所示。x为焦物距，它是以F点为原点，x’为焦像距，是以F’点为原点，符号都是左负右正。图中标的都是几何置（正值）。
(a)如何推导牛顿公式？
如上图所示，四个三角形：1、2、3、4。可有下式：
相对于牛顿公式的横向放大率为
(b)如何推导高斯公式？
如上图所示，S表示物点P至物方主点H的距离（物距），S’表示像点P’至像方主点H’的距离，S及S’的符号是以主点（H及H’（为坐标原点，仍然是左负右正。由图可知：x＝S-f；x’＝S’-f’，代入牛顿公式，整理得到高斯公式如下：
摄影镜头多数情况是在同种介质中使用，此时f＝-f’上式变为：
两边各加上f’，再将x’+f’＝s’及x+f＝s代入，并整理得：
以上高斯公式及其横向放大率均由牛顿公式推导而得；反之，牛顿公式也可以由高斯公式推导而得；或者它们都直接由光路图中边角关系推得。
任何型号的摄影镜头，只要将其看成是理想光组，求得基点后，就可按图2-26的方法作图求得像的位置。
五、联合光组的放大率为什么等于各部分放大率之积？
一个光学系统可以由一个部件或几个部件组成，每个部件可以由一个透镜和几个透镜组成。每个部件都可以单独看作一个光组。例如照相机的变焦镜头通常是由四部分组成：前固定组、变倍组、补偿组和后固定组。变焦镜头的放大率就等于四部分放大率之积。下边我们推导由三个部件组成的光学系统的放大率。若物长为y，通过三个部件成像的高度为：y’1、y’2、y’3。证明：
β＝β1β2β3 （2-24）(b)
因为第一光组的像是第二光组的物，即：
y2＝y’1
第二光组的像是第三光组的物，即：
y3＝y’2
第三光组的像也就是联合光组的像，即：
y’3＝y’
六、什么叫联合光组的光焦度？
光学系统的光焦度是光学系统的会聚本领或发散本领的数值表示，其数值的大小用n’/f’或n/f来量度，若用j表示光组的光焦度时则：
若光组置于空气则
普通摄影即适用式（2-27）所示情况。光学系统的光焦度为正表示它是正组，对光线有会聚作用；j为负表示光组是负组，对光线有发散作用。照相机镜头通常都是由正负光焦度的光组构成的联合光具组，这种联合光具组的光焦度一定为正。照相机的短焦距镜头（鱼眼镜头、广角镜头）具有大光焦度，它将使出射光束相对于入射光束有非常大的偏折作用。而望远系统（无焦系统），则对光束不起偏折作用（只改变光束孔径），光焦度为零，焦距为无限大。
七、理想光组对任意大小物体用任意宽光束成像的普通公式是什么？
在图2-27中，轴上物点P发出的光线PM与光轴成u角，交物方主平面于M点，入射高度为h。PM的共轭光线M’P’，交主平面于M’点，和光轴交角为u’。由直角三角形△PMH和△P’M’H’有
对于理想光组，上式对u（或y）、u’（或y’）取任何值时都成立，当然当u（或u’）趋于零时也成立：
和（2-6）式中拉氏不变量muy’＝n’u’y’相比可得：
若物方和像方介质相同则：
f＝-f’
将（2-29）代到（2-28）中则：
它是光组对任意大小物体用任意宽光束成像的普遍公式——拉赫公式。
八、什么叫角放大率？
如图2-27所示，过光轴上一对共轭点，任取一对共轭光线PM和P’M’，其与光轴的夹角分别为u与u’，这两角的正切之比，叫这对共轭点的角放大率，即：
将（2-28）式中的tgu’与tgu的关系代入得
如果光学系统在同种介质中，则
显然，角放大率与角u及u’无关，只跟物体的位置有关。在同一对共轭点上，所有共轭光线与光轴夹角的正切之比恒为常数。
九、什么叫光组的节点？
1何为光组的节点？
在光组主轴上存在一对角放大率等于正1的一对共轭点叫做光组的节点。属于物方的叫做物方节点，属于像方的叫做像方节点。分别以K与K’表示。角放在等于正一，说明通过节点的一对共轭线是平行的且方向相同如图2-28所示。
2如何确定节点的位置？
上述结果说明，物方节点距物方焦点的距离等于像方焦距值，如f’
如果光组处于同种介质中，节点跟主点重合。普通摄影时，镜头就是处于同种介质——空气中。如果是薄透镜，则前后主点和前后节点四点合而为一称为光心，以O表示，所以O点同时具有主点和节点的性质。
3如何用节点的性质画光路图？
以前我们用焦点和主点的性质可以用图解法求像。同样，用焦点和节点的性质也可以用图解法求像。如图2-29所示，当相机镜头置于空气中时，则主点跟节点重合，并设主点和焦点的位置是已知的，由二、用测节器测定光具组的基点 设有一束平行光入射于由两片薄透镜组成的光具组,光具组与平行光束共 轴,光线通过光具组后,会聚于白屏
首先，透镜的物方空间和像方空间一般都在介质中，即n=n'，以下推导都是以此为基础的。
角放大率γ定义为像方孔径角与物方孔径角的比值，即u'/u，轴向放大率β定义为像高与物高的比值，即y'/y，
由拉赫不变量nyu=n'y'u'，得γ=(ny)/(n'y')，将β带入得γ=n/(n'β)
对于透镜，又因为n=n'，有γ=1/β
回到问题。因为主面是β=1的平面，主点就是主面与光轴的交点，因此也有β=1
同时可以看到，当β=1，有γ=1，正好满足对主点的定义（出射光线及入射光线与光轴的夹角不变）
得证当n=n'，主点与节点重合
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