高斯积分的计算

设  ，做变量替换： ，则：

伽玛函数的定义为  ，通过分部积分可得：

，则：

由（二）中伽玛函数的结果可得，其中 ：

，做变量替换： ，则：

即积分值等于从1开始的前   个奇数的乘积除以   的   倍。

计算完毕。

高斯定理求出的是高斯面上的E，不是高斯面内的E。 从积分中提取E，是数学技巧，主要是利用高斯面的几何对称关系，把积分号消除。 常见的对称关系有三种：球面、圆柱面（取出侧面的E，底面的电通量为零）、一般的柱面（取出底面的E，侧面的电通量为零）、

标准是，

使得整个封闭曲面统一为外侧或者统一为内侧

例如，

如果已有上半球面z=√1-xx-yy是上侧，

则添补的平面z=0应该取下侧，

使得整个封闭曲面是外侧。

如果该上半球面原题给的是下侧，

则添补的平面z=0应该取上侧，

以保证整个封闭曲面是内侧。

高斯点跟积分区间、被积函数是无关的。

现在来说一下个人的观点，学了太久没用了也不知道说的对不对，仅供你参考吧。

高斯点，是指有限元中的积分点。因为这些点的收敛性好，精度高。在单元内，采用形函数来表述单元内变量的分布规律。而节点值是在节点处的对应物理量。故只需要计算根据特定积分点的值(在自然坐标系下是固定的，这些点也叫高斯点、积分点)因为形函数只有单元有关，所以积分点也只与单元形状 有关。

积分点作用是构造规则形状单元与曲边(曲面)单元的转化的变换函数，积分点的选取多少和选取的位置直接关系到这种“映射”。

一般是先求解出高斯点出的应力，然后通过平均化的技术平均到每个节点上，高斯点处的应力精度最高，节点最差。

不知道这样的解释对不对，我自己也挺晕的。

分享一种解法，利用高斯分布/正态分布密度函数的性质和伽玛函数Γ(α)求解。设A=[1/(δ√π)]^(1/2)、积分(1)、(2)、(3)、(4)式分别用I1、I2、I3、I4表示。

∵X~N(μ,δ²)，其密度函数f(x)=(1/√2)A²e^[-(x-μ)²/(2δ²)]，∴E(X)=∫(-∞,∞)xf(x)=μ，D(X)=E(X²)-[E(X)]²=δ²，∴E(X²)=∫(-∞,∞)x²f(x)=μ²+δ²。

∴对I1，易得I1=A(√2)/A²E(X)=0； 对I2，易得I2=A(√2)/A²E(X²)=δ²(√2)/A； 对I3，易得I3=A(√2)/A²E(Xⁿ)。利用被积函数“xⁿf(x)” 的奇偶性质，n为奇数时，I3=0、n为偶数时，I3=[2A(δ√2)^(n+1)]Γ((n+1)/2)。

对I4，∵x²/(2δ²)+ikx=((x+iδ²k)²/(2δ²)+δ²k²/2，∴I4=[(√2)/A]e^(-δ²k²/2)。

供参考。