数学四边形证明题:三点一线和平行

数学四边形证明题:三点一线和平行,第1张

推荐使用面积

简便起见, 在等式中就用△ABC来表示△ABC的面积

首先借用你的图看一个面积法的基本图形

△ABC与△ADC有公共的底边AC, 因此面积比等于AC边上的高之比,

即B, D到AC的距离比, 进而等于BO:DO

于是得到结论: △ABC:△ABC = BO:DO

这个图形有一些变化, 比如B, D在AC的同侧, 或者A, C在BD的同侧, 结论都是成立的

以下多次用到这个图形, 就不特别注明了

(1) 用同一法, 连GH, 分别交AC, BD于O1, O2, 证明O1 = O2

只要证明GO1:HO1 = GO2:HO2

GO1:HO1 = △AGC:△AHC

而△AGC:△AGB = CF:BF, △AHC:△DHC = AE:DE

代入得GO1:HO1 = CF/BF·△AGB /(AE/DE·△DHC) = CF/BF·DE/AE·△AGB /△DHC

另一方面, GO2:HO2 = △BGD:△BHD

而△BGD:△AGB = DE:AE, △BHD:△DHC = BF:CF

代入得GO2:HO2 = DE/AE·△AGB /(BF/CF·△DHC) = CF/BF·DE/AE·△AGB /△DHC

因此GO1:HO1 = GO2:HO2, O1 = O2 = O, 证毕

注: 这个结论是Pappus定理

(2) 没有其它条件的话, 这一问的结论是不对的, 见下图

MN明显与PQ不平行

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