高斯定理中的积分怎么积分

高斯定理求出的是高斯面上的E，不是高斯面内的E。 从积分中提取E，是数学技巧，主要是利用高斯面的几何对称关系，把积分号消除。 常见的对称关系有三种：球面、圆柱面（取出侧面的E，底面的电通量为零）、一般的柱面（取出底面的E，侧面的电通量为零）、

高斯求积公式是变步长数值积分的一种，基本形式是计算[-1,1]上的定积分。下面简单说明一下思想（仅仅是说明，而非证明）：

假设现在要求 f(x)在[-1,1]上的积分值，只允许计算一次 f(x)的值，你会怎么做呢？显然我们会选取一点 x0,计算出 f(x0),然后用 A = f(x0) 2 作为近似值。现在问题是怎样选取 x0，使得结果尽可能精确呢？直觉告诉我们选取区间中点最合适，这也就是所谓的中点公式，也就是1点高斯求积公式。

如果选取个点作为计算节点，同样可以按公式：A = k1 f(x1) + k2 f(x2) + + kn f(xn) 来计算近似值，关键就是如何确定节点 xi 和系数 ki （i = 1,2,3,,n)

理论证明对于 n个节点的上述求积公式，最高有 2n - 1 次的代数精度，高斯公式就是使得上述公式具有 2n - 1次代数精度的积分公式。至于如何确定公式中的节点和系数，最常见的是利用勒让德多项式，具体的这里不方便说，你查查相关资料吧。

分别对x、y、z求偏导数后转化为一个三重积分后有，3∫∫∫ydxdydz 积分域为实心立方体。 到此可以直接用直角坐标积分这个三重积分得出结果。但是本人这里使用一个对称技巧。 

3∫∫∫ydxdydz=3∫∫∫[(y-1/2)+1/2] dxdydz =3∫∫∫(y-1/2) dxdydz +3∫∫∫（1/2） dxdydz =0 + 3∫∫∫（1/2） dxdydz =（3/2）×1 =3/2（1为这个单位立方体体积。

注意∫∫∫(y-1/2) dxdydz 因为这个立方体关于平面y-1/2=0对称，且y-1/2=0为奇次方，所以积分值为0）。

扩展资料：

高斯公式介绍：

1、基本概念：

首先，我们来看一下什么是高斯公式。

有一个定理如下：

设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有

或

这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cos α、cos β、cosγ 是Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦。其中的两个公式均叫做高斯公式。

2 应用：

在计算曲面积分时，可以利用高斯公式把曲面积分化成三重积分。

在应用时需要注意定理的适用条件。定理中有三个关键词：围成、具有一阶连续偏导数、外侧。在使用时，注意以下几点：

（1）先看看积分域是不是一个闭区域，如果不是，那么就需要补个面（一般是平面）。

（2）注意闭区域（无论是否是补面之后形成的）内是否在∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z处连续（即奇点），如果是奇点，还需要用补面来把奇点去掉。

（3）注意题目给定曲面的侧，到底是内侧还是外侧。

下图可以简明地列出这几个点：

补面①一般是补平面，补面②一般是球面、椭球面、半球面、半椭球面等。灵活运用就可以了。

分享一种解法，利用高斯分布/正态分布密度函数的性质和伽玛函数Γ(α)求解。设A=[1/(δ√π)]^(1/2)、积分(1)、(2)、(3)、(4)式分别用I1、I2、I3、I4表示。

∵X~N(μ,δ²)，其密度函数f(x)=(1/√2)A²e^[-(x-μ)²/(2δ²)]，∴E(X)=∫(-∞,∞)xf(x)=μ，D(X)=E(X²)-[E(X)]²=δ²，∴E(X²)=∫(-∞,∞)x²f(x)=μ²+δ²。

∴对I1，易得I1=A(√2)/A²E(X)=0； 对I2，易得I2=A(√2)/A²E(X²)=δ²(√2)/A； 对I3，易得I3=A(√2)/A²E(Xⁿ)。利用被积函数“xⁿf(x)” 的奇偶性质，n为奇数时，I3=0、n为偶数时，I3=[2A(δ√2)^(n+1)]Γ((n+1)/2)。

对I4，∵x²/(2δ²)+ikx=((x+iδ²k)²/(2δ²)+δ²k²/2，∴I4=[(√2)/A]e^(-δ²k²/2)。

供参考。

它给出了闭曲面积分和相应体积分的积分

变换关系，是矢量分析中的重要恒等式。

是研究场的重要公式之一。

公式为：∮f·ds=∫∫∫▽·fdv=∫∫∫div

fdv。其中

▽是倒三角算子（nabla算子）

量

若一个闭合曲面包围了电荷，则有如下关

系：

∮e·ds=q/ε0

这个定义式应用起来非常方便。