如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交AC于点E，交BC于点D。求证：

3 BC²=2AB×CE

证明：

（1）连接AD

∵AB是直径

∴∠ADB=90º，即AD⊥BC

∵AB=AC

∴AD平分BC三线合一，即D是BC的中点

（2）

连接BE

∵AB是直径

∴∠AEB=90º

则∠BEC=∠ADC=90º

又∵∠BCE=∠ACD公共角

∴⊿BEC∽⊿ADC（AA）

（3）

∵⊿BEC∽⊿ADC

∴BC/AC=CE/CD

转化为BC×CD=AC×CE

∵CD=½BC，AB=AC

∴BC²=2AB×CE

1、三角形ABD为直角三角形，三角形ABC等腰三角形，所以BD=DC所以OD平行AC，得第一证

2、角AGC为60度，可证的三角形AGC为等边三角形。

很简单的，就是画图大啊

（1）证明：连接OD．

∵AB=AC，∴∠C=∠B． （1分）

∵OD=OB，∴∠B=∠1．

∴∠C=∠1． （2分）

∴OD∥AC，∴∠2=∠FDO． （3分）

∵DF⊥AC，∴∠2=90°，∴∠FDO=90°，

即FD⊥OD．

∴FD是圆O的切线． （4分）

（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°． （5分）

∵AC=AB，∴∠3=∠4． （6分）

∴ ED^= DB^，∵ AE^= DE^，∴ DE^= DB^= AE^． （7分）

∴∠B=2∠4，∴∠B=60°，∠5=120°，

∴△ABC是等边三角形，∠C=60°． （8分）

在Rt△CFD中，sinC= DFCD，CD= 2sin60°= 232= 433，

∴DB= 433，AB=BC= 833∴AO= 433． （9分）

∴ lAD^= nπR180= 839π． （10分）

解：（1）圆的切割线定理，求得圆的半径。

　　　CD的平方＝CACB

　　　（3R）的平方＝1（1+2R），解得R＝（1+根号10）/9

　　（2）阴影面积由弓形面积与三角形的面积组合而成，在动点变化的过程中，弓形面积保持不变，而三角形的面积由于同底等高也保持不变，所以阴影面积保持不变。

　　　　既然保持不变，那么选取最简单的特殊情况求取面积值，即阴影为扇形时，即Q点到圆心O。在直角三角形OCD中，角AOD的正切值为CD/OD＝3R/R＝3，则角AOD＝反正切值3所代表的角度＝arctg3=角BOE，则角DOE＝派-2arctg3

　　　　所以扇形DOE的面积S＝弧DER＝圆心角的弧度数半径的平方

　　　　　　　　　　　　　　＝（派-2arctg3）（1+根号10）的平方/81

阴影部分的面积是32CM²

S阴影=1/2 S圆O-S弓形ADB

图解

数据

∵△ABC为直角三角形

∴AB为圆o的直径 即OA=8

∴等腰直角三角形OAC的斜边AC=8根号2(根据等腰直角三角形边的比列1:1:根号2)

解答步骤

1/2S圆O= 1/2πR²

              =32π

   2S弓形ADB=1/4 S圆C-S△ACB

圆C的半径r=AC=8根号2

1/4 S圆C=1/4 πr²=32π

S△ACB=1/2ACBC=32

S弓形ADB=1/4 S圆C-S△ACB

             =32π-32

S阴影=1/2 S圆O-S弓形ADB

         =32π-32π+32

         =32CM²