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群定义1 称代数结构<S,>为半群(semigroups),如果 运算满足结合律.当半群<S,>含有关于 运算的么元,则称它为独异点(monoid),或含么半群.典型的半群:<I+,+>,<N,·>,< S,并置>定义2 称代数结构<G,>为群(groups),如果

(1)<G,>为一半群.

(2)<G,>中有么元e

(3)<G,>中每一元素都有逆元.

或者说,群是每个元素都可逆的独异点.群的载体常用字母G表示 ,因而字母G也常用于表示群.定义3 设 <G,>为一群.

(1)若 运算满足交换律,则称G为交换群或阿贝尔群(Abel group).阿贝尔群又称加群,常表示为<G,+ >(这里的 + 不是数加,而泛指可交换二元运算.回忆: 常被称为乘).加群的么元常用0来表示,常用-x来表示x的逆元

(2) G为有限集时,称G为有限群(finite group),此时G的元素个数也称G的阶(order);否则,称G为无限群(infinite group).例如: (1)<I, + >(整数集与数加运算)为一阿贝尔群(加群),数0为其么元< N,+ >不是群.因为所有非零自然数都没有逆元

(2)<Q+ ,·>(正有理数与数乘)为一阿贝尔群,1为其么元 <Q ,·>不是群,因为数0无逆元.

(3)<Nk,+k>为一k阶阿贝尔群, 数0为其么元

(4)设P为集合A上全体双射函数的集合,○为函数合成运算那麽 < P, ○ >为一群.A上恒等函数E A为其么元。< P, ○ >一般不是阿贝尔群环定义1 称代数结构<R,+,·>为环(ring),如果

(1)<R ,+>是阿贝尔群(或加群).

(2)<R ,·>是半群.

(5)乘运算对加运算可分配,即对任意元素a,b,c ∈R,有

a(b+c)= ab+ac , (b+c)a = ba+ca例如: (1)<I,+,·>(I为整数集,+,·为数加与数乘运算)为一环.

(2)所有整数分量的n ×n方阵集合Mn与矩阵加运算(+)及矩阵乘运算(�7�1)构成一环,即,< Mn ,+ , �7�1 > 为环.

(3)所有实系数多项式(以x为变元)的集合R[x]与多项式加,乘运算构成环,即< R[x],+,·>为环.

(4)<{0},+,·>(其中0为加法么元、乘法零元)为一环,称为零环。(其它环至少有两个元素.)

(5)<{0,e},+,·>(其中0为加法么元、乘法零元,e为乘法么元)为一环.定义2 环< R,+,·>中·运算满足交换律时,称 R为交换环(commutative rings),当·运算有么元时,称R为含么环(ring with unity).定义3 设< R,+,·>为环,若有非零元素 a,b满足 ab = 0,则称a,b为R的零因子(divisor of 0),并称R为含零因子环,否则称R为无零因子环.例如,<Mn,+,>是零因子环定义4 设< R,+,·>不是零环.称 R为整环(1ntegra1 domain),如果< R,+,·>是含么、交换、无零因子环.例如:<I,+,·>是整环,<N6,+ 6, �0�76>及< M2 ,+ , �7�1 >不是整环.注意<{0},+,·>也不是整环,它是零环.定义5 设< R,+,·>为环,称代数结构< S,+,·>为R的子环(subring),如果

(1) <S,+>为<R,+>的子群(正规子群).

(2) <S ,·>为<R ,·>的子半群. 显然,当<S,+,·>为<R,+,·>的子代数系统,并且S对(关于 + 的)求逆运算“-”封闭,那么<S,+,·>为<R,+,·>的子环另外,由于乘对加的分配律在<S,+,·>中沿袭下来,因此子环必定是环.

定义6 设<D,+,·>为环<R,+,·>的子环.称<D,+,·>为R的理想子环,简称理想(ideals),如果对任意的r∈R,d∈D,有rd∈D,dr∈D 当D=R或D={0}时,称< D,+,·>为< R,+,·>平凡理想定义7 代数结构< R[x],+,·>(+,·分别是R-多项式的加、乘运算)称为R-多项式环(ring of polynomial)

其中R[x]表示所有R上的多项式集合,容易证明R-多项式环确为一环,因为加运算满足结合律、交换律,它有么元f(x)=0(零多项式),每一f(X)�0�2R[x]都有加法逆元-f(x);而乘运算满足结合律、交换律,它有么元f(x= e (零次多项式e)域定义1 称< F,+,·>为域(fields),如果< F,+,·>为一环,且< F-{0},·>为阿贝尔群.由于群无零因子,因此域必定是整环.事实上,域也可定义为每个非零元素都有乘法逆元的整环.例如:<Q,+,·>为域,但<I,+,·>不是域,因为在整数集中整数没有乘法逆元.<N5,+ 5, �0�75>为域,1和4的逆元是4和1,2和3互为逆元但<N6,+6, �0�76>不是域,它甚至不是整环,同为它有零因子,例如2,3,它们没有乘法逆元.参考文献: http://596771237:8080/discrete/xxwb/jdck/cks/

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韶华小传及主要作品目录

韶华,原名周玉铭,河南省滑县庄子营村一个农民的儿子;只读过四年半书。

在身量才有步枪那么高的时候,参加了八路军。当过宣传队员,连队文化教员和随军记者。土地改革下了乡,抗美援朝过了江。在转入社会主义经济建设时期,到辽宁省的大伙房水库和清河水库,任职体验生活。新中国建立后,曾任《东北文艺》副主编,辽宁省委宣传部文艺处长,辽宁作家协会党组书记、副主席等职。1984年在全国第四次作家会员代表大会上,被推选为中国作家协会书记处书记。1996年和2001年在第五次和第六次中国作家协会会员代表大会上被推选为名誉委员。现为辽宁省作家协会顾问。主要作品有:《浪涛滚滚》、《燃烧的土地》、《过渡年代》(上、下卷)、《三角红黄白》、《寻找悲壮》,长篇报告文学《说假话年代》,短篇小说《你要小心》《身边人物志》《巨人的故事》等长篇小说和短篇小说集。

附:……

以上

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匪我思存,出生于湖北省 ,作家、编剧,中国作家协会会员,湖北省作家协会会员,中国作家协会第十届全国委员会委员。2004年连载近代言情小说《芙蓉簟》,2005年3月连载古代爱情小说《寂寞空庭春欲晚》,同年8月出版首部言情小说《裂锦》,2006年9月连载都市言情小说《佳期如梦》获得广泛关注。2014年12月26日加入湖北省作协  。2015年加入中国作家协会  。2016年1月19日获得湖北省作协颁布的湖北文学奖。2017年7月出版都市言情小说《爱如繁星》  。2018年7月21日,匪我思存成为湖北省作家协会第七届主席团副主席 。2021年12月16日,匪我思存成为中国作家协会第十届全国委员会委员  。2023年7月当选湖北省作家协会第八届主席团副主席。

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