什么是函数的极值点？

函数的极值点、驻点和拐点这些概念很多同学和老师都容易混淆。如何正确认识极值点、驻点、拐点其主要依据是定义及相关理解，只有理解透定义域定理，进而找到他们的本质差别，才不至于混为一谈。

驻点、极值点、拐点是微积分中不能绕过的知识点，要想完全掌握必须抓住核心定义，而不是去死记硬背一些推论。理解本质才能应对千变万化的题目。

1核心概念

驻点：是函数的一阶导数为0地点，另外驻点也称为稳定点，临界点

例如：y=x3，则f’(x)=3x2，令f’(x)=0，解得x=0，则x=0是函数y=x3地驻点

极值点：是函数的单调性发生变化的点，或是函数的局部极大值或极小值点(或者说当函数存在导数时，函数的极值点是其导函数的变号零点)

例如：y=x2，如图在x=0处，函数的单调性发生了变化，或者说x=0附近的区域，f(0)取得极小值，这两个均说明x=0是函数y=x2的极值点

备注：我们在求函数的极值时，通常令f(x)的一阶导数为0，但一阶导数为0地点不一定是极值点，例如y=x3，则f’(x)=3x2，令f’(x)=0，解得x=0，这时x=0不是函数的极值点，因为该函数在x=0处的单调性没有发生变化。

拐点：是函数二阶导数为0且三阶导数不为0地点

例如：

我们以f（x）=x3为例来看看什么是拐点，如图：在（0,0）处函数的凹凸性发生了变化，我们知道二阶导为正，原函数是凸函数，二阶导为负，原函数的凹函数。该函数是先凹后凸，因此（0,0）是函数的拐点。

备注：在拐点处，函数的凹凸性发生了改变，当二阶导数大于0，说明函数图像下凹；如果二阶导数小于0，说明函数图象上凸。

2区别和联系

① 零点，驻点，极值点指的都是函数y=f(x)的一个横坐标x0，而拐点指的是函数y=f(x)图像上的一个点(x0，f(x0))

② 驻点和极值点：可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点。例如上面举例的y=x3，x=0是函数f(x)的驻点，但它不是极值点。此外，函数在它的一阶导数不存在时，也可能取得极值，例如y=|x|，在x=0处导数不存在，但极值点是x=0，具体可见下面的图像。

③ 驻点和极值点与函数的一阶导数有关，拐点与函数的二阶导数和三阶导数有关。

3内容归纳

关于函数求极值的方法有如下几项：

导数求极值步骤：1先求导，2使导函数等于零，求出x值，3确定定义域，4画表格，5找出极值，注意极值是把导函数中的x值代入原函数。

导数求极值步骤

1求函数f'(x)的极值步骤

1、找到等式f'(x)=0的根

2、在等式的左右检查f'(x)值的符号。如果为负数，则f(x)在这个根得到最大值；如果为正数则f(x)在这个根得到最小值。

3、判断f'(x)无意义的点。首先可以找到f'(x)=0的根和f'(x)的无意义点。这些点被称为极点，然后根据定义来判断。

4、函数z=f(x,y)的极值的方法描述如下：

(1)解方程式fx(x,y)=0，fy(x,y)=0，求一个实数解，可以求所有的塞音；

(2)对于每个停止点(x0,y0)，找到二阶偏导数的值a,b,c；

(3)确定ac-b2的符号，并根据定理2的结论确定f(x0,y0)是一个最大值、最大值还是最小值。

运用导数公示和极限的方法进行推导。

若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点，那么函数f(x)在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值。

都对应着f(x)的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x)的导函数，记作：y'或者f′(x)。

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。

1、极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

2、函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

3、极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。

4、函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

　数学主要以函数为研究对象,而函数极值无论在初等数学还是在高等数学里都是函数部分的一个重要问题，下文是函数求极值的方法，希望对同学们有帮助！

　一、利用二次方程的判别式求极值

　在求某一类分式函数的极值时，若其分子或分母是关于x的二次式，可将其变为关于x的一元二次方程，根据x在实数范围内有解，由判别式求的。

　例1、求函数y=求函数极值的若干方法 的极值。

　解：将原函变形为关于x的二次方程

　(y-1)x 求函数极值的若干方法 -2yx-3y=0

　∵x∈R，且x≠3，x≠-1，

　∴上方程在实数范围内一定有解。

　△= (-2y) 求函数极值的若干方法 -4 (-3y)(y-1)= 4y(4y-3)≥0

　解之得 y≤0 或 y≥ 求函数极值的若干方法

　这里虽然y无最大（小）值，但对应于y=0和y= 求函数极值的若干方法 的x分别为x=0和x=-3，

　所以当x=0时，y有极大值0，当x=-3时，y有极小值 求函数极值的若干方法 。

　例2、求函数y= 求函数极值的若干方法 的值域。

　解：将原函数变形得：y+yx 求函数极值的若干方法 =2x

　∵x∈R，∴△= 4-4y 求函数极值的若干方法 ≥0，解之得：-1≤y≤1

　∴函数y= 求函数极值的若干方法 值域为[-1，1]

　由上面两例可以看出，用二次方程的判别式求函数的极值时，实际上就是将y看作x的系数，利用函数的定义域非空，即方程有解，将问题转化为解一元二次不等式。但要注意的是：在变型过程中，可能会将x的取值范围扩大，但所求函数的极值一定在不等式的解集内，此时，要注意检验，即招2出y取极值时的x是否有意义，若无意义必须舍去，再重新考虑其极值。

　二、利用倒数关系求极值

　对于有些分式函数，当其分子不含变量时，可由分母的极值来求整个函数的极值。

　例3、求函数y=2- 求函数极值的若干方法 的最小值。

　解：∵x 求函数极值的若干方法 -2x+6 = (x-1) 求函数极值的若干方法 +5＞0

　∴函数的定义域为一切实数， 又由 x 求函数极值的若干方法 -2x+6=(x-1) 求函数极值的若干方法 +5 知

　当x=1时， 求函数极值的若干方法 取最小值 求函数极值的若干方法 ,

　∴ 求函数极值的若干方法 取最大值 求函数极值的若干方法 ,

　此时 y=2- 求函数极值的若干方法 取最小值 2- 求函数极值的若干方法 ,

　即 当x=1时，有y的最小值是 2- 求函数极值的若干方法 。

　三、利用重要不等式求极值

　对于一类各项积为定值，且每一项的符号相等的函数极值，可考虑用重要不等式解决。

　例4、求函数y=4x+ 求函数极值的若干方法 的极值。

　解：显然函数的定义域为不等于零的一切实数。

　(1) 当x＞0时，y = 4x+ 求函数极值的若干方法 ≥2 求函数极值的若干方法 =2 求函数极值的若干方法 =12

　∴当4x = 求函数极值的若干方法 时, 即x = 求函数极值的若干方法 时, y有极小值12

　(2)当x＜0时，令x = -t, 则t＞0 y = 4x+9/x = - (4t+ 求函数极值的若干方法 )≤-12

　∴当x = 求函数极值的若干方法 时，y有极大值-12 。

　在利用重要不等式解题时，一定要注意必须要求每一项均为正数，若均为负数时，可提取一个负号，使括号内每一项仍为正。上题中若只考虑第一种情况，就不完全了。

　例5、已知l＜0,m＜0，求函数y= 求函数极值的若干方法 在(0,+∞)上的最大值。

　分析：虽然x 求函数极值的若干方法 ·8x· 求函数极值的若干方法 =2 求函数极值的若干方法 为常数，但由x 求函数极值的若干方法 =8x= 求函数极值的若干方法 解不出实数x，即无实数解。故由y≥3 求函数极值的若干方法 =3·8=24得出y的最小值为24的结论是错误的，但如能把8x、64/x 求函数极值的若干方法 各分成相等的m项和n项，设法定出m、n、x，然后再求出y的最小值就行了。

　解：设y=x 求函数极值的若干方法 + 求函数极值的若干方法 + 求函数极值的若干方法 +……+ 求函数极值的若干方法 + 求函数极值的若干方法 + 求函数极值的若干方法 + ……+ 求函数极值的若干方法 ,

　(其中 求函数极值的若干方法 有m项， 求函数极值的若干方法 有n项)。

　即m= 求函数极值的若干方法 ，n= 求函数极值的若干方法 时（由x 求函数极值的若干方法 = 求函数极值的若干方法 ,x 求函数极值的若干方法 = 求函数极值的若干方法 得）,y有最小值,

　由2+ 求函数极值的若干方法 =3· 求函数极值的若干方法 (x 求函数极值的若干方法 ·x 求函数极值的若干方法 =x 求函数极值的若干方法 )得x 求函数极值的若干方法 +4x=96,解此方程的唯一正数解x=2,

　此时m = 4, n = 2当时，y的最小值为4+16+8=28（代回去求得）

　y≥7 求函数极值的若干方法 = 7· 求函数极值的若干方法 = 7·4=28

　四、利用换元法求极值

　有些无理函数，往往用以上方法无法求出极值，此时可试用换元法求之。

　例6求函数 y= 求函数极值的若干方法 -x 在区间[0,1]上的最大值。

　解：设 求函数极值的若干方法 = t，则0≤t≤1,且x = t 求函数极值的若干方法

　∴当t=求函数极值的若干方法 即x= 求函数极值的若干方法 时,y取最大值 求函数极值的若干方法

　这里利用了换元法将无理式变形为二次求解，它是求无理函数极值的常用方法，特别是对形如 y=kx+ 求函数极值的若干方法 的函数, 可令 t= 求函数极值的若干方法 化为关于的二次函数再利用配方法求得其极值。

　例7求函数y=x 求函数极值的若干方法 +1+2x(1-x 求函数极值的若干方法 )的最大值和最小值

　解：∵y的定义域为[-1，1]，故可令x=cosθ(0≤θ≤π),

　则 y= 求函数极值的若干方法

　= 求函数极值的若干方法 (其y=中求函数极值的若干方法 为锐角，且 求函数极值的若干方法 )

　∵-1≤sin(2θ+α)≤1,

　∴ 求函数极值的若干方法 ≤y≤ 求函数极值的若干方法

　当sin( 求函数极值的若干方法 ) = -1时, 求函数极值的若干方法

　故x = 求函数极值的若干方法

　当sin 求函数极值的若干方法 时，2 求函数极值的若干方法

　故x = 求函数极值的若干方法

　即当x =- 求函数极值的若干方法 时, 求函数极值的若干方法

　当x= 求函数极值的若干方法 时, 求函数极值的若干方法

　此题中抓住了函数的定义域[-1，1]为条件。从而将无理函数转化为三角函数来得以解决函数的极值问题。

　五、用解析法求极值

　形如y=求函数极值的若干方法 其中(f(x)、g(x)是关于的二次式，且二次项系数为1)的函

　极值，直接用纯代数法非常困难，因为要平方两次才能去掉根号。但若借助与解析法，将 求函数极值的若干方法 分别视作平面直角坐标系内两点的距离，利用平面图形性质，便可简捷求解。

　例8求函数y= 求函数极值的若干方法 的最小值，其中a、b、c均为正数，

　解：在直角坐标系内取点C (0, 求函数极值的若干方法 )、D (c,- 求函数极值的若干方法 )、M (x,0) 、B (c,0)

　则y = 求函数极值的若干方法 =∣CM∣+∣MD∣

　即为M到C、D两点的距离之和。

　由平面图形性质可知当且仅当C、M、D三点共线时距离之和最短，此时M在Mˊ位置上。

　由 △CO Mˊ∽△DBMˊ 得∣OM∣∶∣MˊB∣=∣OC∣∶∣BD∣

　即 求函数极值的若干方法 解之得 x=求函数极值的若干方法

　此时 求函数极值的若干方法 =∣CD∣= 求函数极值的若干方法

　例9求函数y= 求函数极值的若干方法 的值域。

　分析y= 求函数极值的若干方法 = 求函数极值的若干方法

　所以 求函数极值的若干方法 可看作平面直角坐标系内的点(x,0)到点求函数极值的若干方法 与点 求函数极值的若干方法 的距离之差。

　解: 在直角坐标系内取点A(- 求函数极值的若干方法 , 求函数极值的若干方法 )、点B( 求函数极值的若干方法 , 求函数极值的若干方法 )、点M(x,0)

　则y= 求函数极值的若干方法 =∣AM∣-∣BM∣

　即为△ABM的两边之差，由平面图形性质知：

　∣AM∣-∣BM∣＜∣AB∣=∣ 求函数极值的若干方法 ∣=1

　反之∣BM∣-∣AM∣＜∣AB∣= 1

　∴∣y∣＜1

　∴-1＜ y ＜1

　此法一般适用于为两个二次根式的和、差函数，且根号内为二次函数式，此时可通过配方将其变型为平面直角坐标系内两点之间的距离和与差来计算。这样既省去了平方计算的麻烦，又使式子具有明显的几何意义，从而更方便找出解题方法，将难度较大的问题转化为较简单的问题。在解此轴上的点到另两点的距离和或差，若求和的极值，则当三点共线时有最小值，即为这两点的距离，若为差，则无极值，此时差的绝对值小于这两点的距离，从而可求出函数值域。

　例10求函数y= 求函数极值的若干方法 的值域

　分析：此题既是分式函数，又是三角函数，往往用纯代数法不易达到目的，

　但如果将其看作是点 ( 求函数极值的若干方法 )与点(3,2)所在直线的斜率，就不难解决了。

　解：设xˊ= 求函数极值的若干方法 ,yˊ=求函数极值的若干方法 , 则 y= 求函数极值的若干方法

　即为平面直角坐标系内点( 求函数极值的若干方法 )与(3,2)所在直线的斜率，

　又(xˊ, yˊ)在圆 xˊ 求函数极值的若干方法 + yˊ 求函数极值的若干方法 = 1 上，

　故只要求出点(3,2)与圆上每一点连线的斜率范围即可。

　设过(3,2)且与圆 xˊ 求函数极值的若干方法 + yˊ 求函数极值的若干方法 = 1 相交的直线方程为

　yˊ-2=k (xˊ-3) , 即 kxˊ-yˊ- 3k+2 = 0

　由点到直线的距离公式知： 求函数极值的若干方法 = 1,

　即(-3k+2) 求函数极值的若干方法 =1+k 求函数极值的若干方法 ， 8k 求函数极值的若干方法 -12k+3 = 0

　∴k= 求函数极值的若干方法

　∴当 求函数极值的若干方法 ≤k≤ 求函数极值的若干方法 时，直线与圆相交

　即函数y=求函数极值的若干方法 的值域为[ 求函数极值的若干方法 , 求函数极值的若干方法 ]

　形如f(x) = 求函数极值的若干方法 函数的值域，可将其看作平面内点( 求函数极值的若干方法 , 求函数极值的若干方法 ),（-b,-d）的斜率来解决 ，而点（求函数极值的若干方法 ）必在二次曲线 求函数极值的若干方法 = 1上，再利用点(-b,-d)的直线与曲线相交的斜率取值范围来解决是一种简便易行的方法。从上例我们可以看出，上

　面函数关系也可看成是：求三元函数，多元函数的最大、最小值问题

　我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。 如下：

　a)：根据实际问题建立函数关系，确定其定义域；

　b)：求出驻点；

　c)：结合实际意义判定最大、最小值

　例题：在平面3x+4y-z=26上求一点，使它与坐标原点的距离最短。

　解答：a)：先建立函数关系,确定定义域

　求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方最小的问题但是P点位于所给的平面上，故z=3x+4y-26把它代入上式便得到我们所需的函数关系:

　-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞

　b)：求驻点

　解得唯一驻点x=3，y=4由于点P在所给平面上,故可知

　z=-1

　c)：结合实际意义判定最大、最小值在约束条件 3x+4y-z=26 下的最小值 ，一个多元函数在一个或几个约束条件下的极值称为条件极值。

　由问题的实际意义可知，原点与平面距离的最小值是客观存在的，且这个最小值就是极小值而函数仅有唯一的驻点所以，平面上与原点距离最短的点为P(3,4,-1)的若干方法 。

　拓展延续

　关于函数求极值的方法有如下几项：

　导数求极值步骤：

　1先求导，

　2使导函数等于零，求出x值，

　3确定定义域，

　4画表格，

　5找出极值，注意极值是把导函数中的x值代入原函数。

　导数求极值步骤：

　1求函数f'(x)的极值步骤

　1、找到等式f'(x)=0的根

　2、在等式的左右检查f'(x)值的符号。如果为负数，则f(x)在这个根得到最大值；如果为正数则f(x)在这个根得到最小值。

　3、判断f'(x)无意义的点。首先可以找到f'(x)=0的根和f'(x)的无意义点。这些点被称为极点，然后根据定义来判断。

　4、函数z=f(x,y)的极值的方法描述如下：

　(1)解方程式f(x)(x,y)=0，fy(x,y)=0，求一个实数解，可以求所有的塞音；

　(2)对于每个停止点(x0,y0)，找到二阶偏导数的值a,b,c；

　(3)确定ac-b2的符号，并根据定理2的结论确定f(x0,y0)是一个最大值、最大值还是最小值。

最值和极值是两个完全不同的概念，极值是在某一区间内内，只要在区间内存在某一点附近的单调性不同，就是极值。最值，是给定范围内最高点和最低点。极值可能是最值，但是最值不一定是极值。顺便告诉你一个很有用的数学结论，开区间的极值点一定是最值点。具体如下：

1、所有的极值，都符合dy/dx=0，也就是

y

‘

=

0；

2、极大值、极小值，有可能就是最大值、最小值，如

y

=

sinx，y

=

cos2x。

3、极大值、极小值，不一定是最大值、最小值。例如：y

=

x³

-

x

(-5

≤

x

≤

5)。

极大值在

x=-1

跟

x=0

之间，极小值在

x=0

跟

x=1

之间。

而最小值在

x=-5

处，Y最小=

-120；最大值在

x=5

处，Y最大=120

4、最大值、最小值处，可能有dy/dx=0，可能dy/dx≠0；极大值、极小值处，一点有dy/dx=0

5、

极大值、极小值，是由函数图像决定的；

6、最大值、最小值，可能是由函数图像决定，也可能是由我们给定的区间决定。

：

极值点是比其邻域的点都大或都小的点,只能在驻点（导数值为0）或不可导点取得在定义域内可以有多个极值点

最值是在定义域内最大或最小的点最多只有一个最大值点和一个最小值点

最值一定是在端点和极值点取得

1F（x、y）分别对x,y求偏导，目的是联立偏导方程，找出驻点。

2FxxFyy和FxyFyx的相对数值大小作为判断依据，目的就是，判断第一步中驻点是否为极值点。

二元（或都多元）极值的求法思想与一元完全类似，试回忆一元函数求极值：

1f'(x)=0,找出驻点。

2f''(x)判断，驻点是否为极值。  

设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 , 又  

f x ( x 0 , y 0 ) = 0 ,  

f y ( x 0 , y 0 ) = 0 ,  

令

f xx ( x 0 , y 0 ) = A ,

f xy ( x 0 , y 0 ) = B ,

f yy ( x 0 , y 0 ) = C ,

则 f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处是否取得极值的条件如下：

(1) AC - B^2 >0 时具有极值 , 且当 A <0 时有极大值 , 当 A >0 时有极小值 ;

(2) AC - B^2 <0 时没有极值 ;

(3) AC - B^2 = 0 时可能有极值 , 也可能没有极值

是否是极值需用其它方法，一般可结合图形判定

在函数 f ( x , y ) 的驻点处

如果 f xx × f yy - f xy ^2 >0 , 则函数具有极值 , 且

当 f xx <0 时有极大值 ,  

当 f xx >0 时有极小值。