个性化小车（创意小汽车）

个性化小车

20多万的预算买车，很多人会闭着眼选择很多合资中型SUV或中级轿车，或者入门的豪华品牌。事实上，随着90后成为汽车消费主力、00后跑步进场，以上这些购车习惯已经逐渐被颠覆，当下的年轻人多了对个性的追求。好在，当前的国内市场百花齐放，精致个性的车型不胜枚举，今天，我们就来为大家推荐几款个性化的纯电动车。

欧拉闪电猫

售价：1998-2698万元

欧拉闪电猫定位于纯电轿跑，所以它有一个非常追求流线型的“身材”，风阻系数也达到了022Cd。前脸采用姿态较低的封闭式设计，视觉上拉伸了车头的长度，让整个车型变得修长和优雅。侧面从车头翼子板延伸至后门上的折线很好地展现了车型的动态和气质。

从车尾的角度，我们能更直观看到新车夸张的溜背线条，大尺寸的后风挡、圆润的尾部，加上小尺寸掀背的造型都让它看起来有着浓郁的轿跑味道，比较有意思的是尾灯虽然和前大灯相互呼应，但灯组造型好像被拉伸过一般，变得修长。中部的位置为自适应式电动尾翼，可根据行车状态开启或闭合。

内饰部分，闪电猫将复古设计与科技感很好的结合，内部整体采用T型对称设计，配备三幅式方向盘、三连炮筒式的全液晶仪表盘，中控台中央配备有悬浮式设计的多媒体显示屏，内置高通8155智能座舱芯片，下方则保留了一定物理按键与旋钮，方便车内人员的操作。

动力方面，闪电猫将会提供单电机两驱及双电机四驱共计三个版本，其中单电机最大功率150kW；双电机四驱最大功率300kW，峰值扭矩680N·m，官方公布其0-100km/h加速时间为43秒。续航方面，长续航版CLTC工况下最高续航可达705km，双电机四驱CLTC续航里程为600km。落实到实际体验上，它的行驶稳定性、舒适性都十分不错，调校风格偏舒适；其加速踏板和刹车的调校都很不错。此外它的NVH性能比较优秀。

广汽本田-e：NP1极湃1

售价：175-218万元

极湃1诞生自全新开发的e：Architecture架构，并不是油改电，而是一台正儿八级的新能源纯电车。外观以全新一代缤智和e:Prototype原型车为蓝本，设计感对比以往的本田车型有着明显突破。并且作为新世代的本田车，极湃1在造型设计上也运用了更多代表潮流的扁平化处理，诸如前脸处发光的“H”logo、平直干练的车身腰线、车尾扁平化的“honda”字母logo等等细节之处都在彰显精致范。

内饰的设计风格同样会改变你对本田车型的印象，整个中控取消了大量的物理按键，取而代之的是两块屏幕，尤其是那块152英寸的竖立布置的中控屏，是整个中控设计最抢人眼球的设计，搭载HondaCONNECT30智导互联系统，提供AI语音助理、车家互联、OTA升级等功能，让整车的智能体验得到提升。

动力方面，极湃1提供两种功率的电机版本，分别是最大功率为150kW，峰值扭矩310牛·米的高功率版本，和最大功率134kW，峰值扭矩310牛·米的低功率版本，对应的CLTC续航里程分别为510公里和420公里，全系车型均装备三元锂电池。实际体验来看，得益于电动机瞬间释放扭矩的特性，极湃1的动力输出和踏板反馈之间毫无虚位，开起来轻松惬意，它的操控同样也是让人很开心的存在。

smart精灵#1

售价：1942-2790万元

smart精灵#1是吉利与奔驰合作，基于SEA浩瀚平台打造而来，外观设计则由奔驰主导。圆润的造型搭配简约风格非常符合精致小车的定位，为了增加个性，车辆提供了11种车身颜色、3种车顶颜色的多种搭配。此外，车辆配有无框车门，B柱位置上还镶嵌了一个“STYLEDBYBenz”的铭牌LOGO，以此展现新车的调性。

内饰的整体设计也是以简洁、科技为主打。圆矩形的空调出风口搭配造型融入复古风格的三辐式多功能方向盘，再配合64色氛围灯、双色内饰和简洁的座舱布局，让新车展现出了十足的科技感与未来感。

动力方面，smart精灵#1采用后置电机+后轮驱动，最大功率可达272马力，峰值扭矩343牛·米，0-100km/h加速时间为67秒，最高车速180km/h。新车搭载容量66kWh的三元锂电池，72kW交流慢充情况下10%-80%充电需要75小时，使用150kW直流快充可将充电时间缩短至30分钟内，CLTC工况下最大续航里程为560公里。实际体验上，smart精灵#1在动态层面呈现给我们的体感是紧致的，也恰是这种紧致让它多少能和驾驶乐趣沾上点边，它并不追求纯电车型一味的傻快，这算是惊喜。

写在最后

三款车型，三个不同的品牌，不知道精致个性的你有没有喜欢的呢？欢迎在下方评论区，留下你最中意的车型。

本文来自易车号作者无马汽车，版权归作者所有,任何形式转载请联系作者。内容仅代表作者观点，与易车无关

创意小汽车

hi，大家好，树姐姐今天跟大家分享跟宝宝一起动手，用废旧的纸管和瓶盖做个能跑的小汽车。

本作品由车身，车轴，车轮三部分组成，做法非常简单。在使用热熔胶枪的家长和孩子一定要注意安全。

所需材料：彩纸，纸管，矿泉水瓶盖4个，木棒，双面胶，热熔胶枪，剪刀等。

第一步：制作车轴，裁剪一张比木棒长度短的彩纸，卷成小纸管，如下图所示，注意卷完之后，木棒要能活动。

第二步：车身制作，裁好适合纸管的的彩纸，将纸管包裹住，然后发挥自己的想象来装饰车身。

第三步：车轮制作，将热熔胶滴于瓶盖中心，小木棍放置其中，待胶干后，套入小纸管，另外一个瓶盖中心也滴入热熔胶，然后将木棒的另外一端粘上，同样的方式，制作两个，车轮制作完毕，效果如下图所示。

第四步：将车轴上滴上热熔胶，然后将DIY好的车身粘上即成。如下图所示

亲子手工的好处：

1、对于孩子既锻炼孩子的动手能力，又使孩子的创作思维、个性得以最大限度地发挥。让孩子在从虚到实的过程中发展孩子的观察力、记忆力、想象力、创造力等。

2、对于家长，在亲子手工的制作过程中，更是能锻炼父母的耐心，并且让孩子学会与人配合，通过合作，会让孩子更懂得与人沟通，换位思考。3、手工制作更能丰富孩子的生活。个人觉得比各种补习班要更好。现在有大部分手工渐渐被机器取代，对于孩子，树姐姐觉得最重要的不是坐以享用，而是要了解创造的过程，体验创造的乐趣。

这个小汽车做好之后，树姐姐跟靓仔玩的可开心了，我们两个一起比赛，看谁的小汽车跑的远。如果大家想让自己的孩子少玩手机，少看电视，那就跟树姐姐一起来动手。树姐姐会继续努力做出更多好多手工作品跟大家一起分享。

如果你也喜欢手工，或者想尝试做手工，那就请关注树姐姐吧。

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汽车个性化定制

发动机、变速箱、转向等

所谓个性定制,严格意义上是指厂家在生产的中国标配车型的基础上提供一些增配设施,供消费者选择。在个性模式下，驾驶者按照自己喜好定制相关车载系统参数，发动机、变速箱、转向、安全带收紧等选项都可随心设置。

为轿车设计个性化方案

1：燃料，发明一种环保低碳型双燃料汽车，以充电为主，汽油为辅，路途上电量耗尽了可以用油来解燃眉之急。

2：车的外观设计成各种动物的形状，一眼望去路上是动物的王国，想想也觉得美好。

3：鸣笛声可以温和一些，不至于让路人听起来心烦意乱。

4：车里设计一个宝宝专用可移动椅子。

5：使用纳米技术，让汽车的外表一尘不染，永久干净如初。

乘用车在其设计和技术特性上主要用于载运乘客及其随身行李和临时物品，包括驾驶员座位在内，乘用车最多不超过9个座位。

乘用车分为以下11种车型。主要有：普通乘用车、活顶乘用车、高级乘用车、小型乘用车、敞篷车、舱背乘用车、旅行车、多用途乘用车、短头乘用车、越野乘用车、专用乘用车。

商用车在设计和技术特性上用于运送人员和货物，并且可以牵引挂车，但乘用车不包括在内。主要有：客车、半挂牵引车、货车。

轿车个性化定制方案

说起宾利汽车，大家都不陌生。但是说起宾利Mulliner高级定制，估计很多人都会疑惑了，宾利本来就是定制车型啊，这个Mulliner高级定制究竟是什么意思呢？

其实就跟服装界的定制和高级定制的关系一样。

在服装界，高级定制是品牌价值的最高体现，代表着时装的最高境界；在法国，服装高定的命名是不能自封的，而是必须达到严苛的标准，才能获得法国高级时装协会的认可。而且这个高级定制品牌的申请标准也是极其严格的：

1所有时装及配饰均为私人客户设计制造，按订单生产，纯手工完成；

2必须在巴黎有工作室，至少有15个专职人员，常年雇用3个以上的专职模特；

3每年参加法国高级时装协会举办的两次时装发布；每次发布作品不少于35套，其中包括日装和晚礼服；

4每年至少对顾客做45次不公开的新装展示。

一般，一件高级定制服装的制作时间需要8天左右，如果附加刺绣、珠宝镶嵌等复杂工艺，会延长到40天甚至更长时间。所以，高级定制服装的价格往往是不菲的，几十万、上百万都是小case。所以，全球只有不到1500位高定客户。据说每年真正购买“高定”服装的人全球也只有500人左右！

相比高级定制，定制就“亲民”的多了，就是普遍意义上的定制，不过根据品牌也有价格的区分，定制因为能够满足不同消费者的个性化需求，所以在时尚界也很流行。

宾利Mulliner·梦想定制专家

在了解完时尚界的定制和高级定制的关系之后，我们再来看看宾利的Mulliner高级定制。

宾利把宾利Mulliner称为“梦想定制专家”，是在宾利定制的基础上，再进行高度定制，专属定制的水平非常高。能悬挂Mulliner专属标志的宾利车，只占到宾利年产量的2%，特别稀有，而且最关键的是经过Mulliner深度定制的车型，往往要比同款宾利贵上数倍，并且每款定制车型一般在进行生产之前就已经有主人了。

就拿今年3月亮相的宾利MullinerBacalar来说，这12台车型全部都“名花有主”了，就是说这12台还没生产出来的车，已经全被卖光了，有钱人的世界我们不懂。当然对于售出这件事情也不难理解，专属定制的车型一定是先有车主再有车嘛。

宾利MullinerBacalar限量打造12台，均由宾利汽车英国克鲁总部工厂Mulliner部门的专家根据每一位客户的具体需求进行设计、工程研发和手工匠造的，是到目前为止最专属的、高度定制化的宾利车型之一。

看到这里女生们应该也不难理解这个宾利的高级定制的意思了吧。其实跟高级定制服装一样都是一物一人，稀有、个性、专属。但是汽车的高级定制比服装要复杂，因为从外观、内饰、用料、科技配置、安全、动力等等都要专属定制也不是一件容易的事情。

宾利Mulliner·历史

宾利汽车Mulliner部门的历史可以追溯到16世纪，早期Mulliner家族以制造马鞍为业，这点跟Hermès爱马仕的起源相同，不过机缘巧合一个去了时尚界，一个进了汽车圈。1760年Mulliner受英国皇家邮政委托，为其制造四轮马车，从此Mulliner家族声名鹊起。Mulliner成为当时最为优秀的专业车身制造商，19世纪，Mulliner家族开始手工打造新式“无马马车”，就是早期的内燃机车，并在一战爆发前转型为汽车车身制造商。

Mulliner与宾利汽车的渊源可以回溯到宾利汽车公司创立之初。当时，创始人WO宾利先生亲自委托Mulliner为赫赫有名的EXP1定做车身。此后，Mulliner与宾利汽车的合作关系越来越紧密。

1952年，Mulliner为划时代的宾利R-TypeContinental打造了流线型车身。1959年，Mulliner正式并入宾利。Mulliner如今已更名为宾利Mulliner，作为宾利汽车公司个人定制业务部门，它已成为宾利汽车的重要组成部分。

宾利Mulliner·技艺

“宾利的设计，代表的不是时尚，而是一种永恒的情感。我们的车主是成功人士，他们购买、设计一台专属的宾利，不仅仅是因为需要一辆车代步，而是对自己成功的褒奖与认可。”1959年至今，位于克鲁的Mulliner工厂一直为宾利打造独一无二而又极具前瞻性的汽车定制精品。不同于任何汽车定制，宾利Mulliner是用极致的定制方式，重新定义汽车。

专属无限定的车身定制化服务

宾利Mulliner提供的专属的定制服务，其实就是只有你想不到没有他做不到，Mulliner为汽车由内至外提供了内饰及造型上的无穷选择。从汽车漆面到皮革内饰，从木饰面板到明亮内饰，宾利Mulliner会按照客户的选择进行定制，在颜色方面，也会制定各种配色方案，最终打造一款与众不同的汽车。就像为客户量体裁衣一样，宾利Mulliner为车主提供的也是极致的汽车个性化定制体验。在定制过程中，车主也有机会被邀请到位于英国克鲁的Mulliner工作室，与设计师与技师一起设计自己的汽车。

英国球星贝克汉姆就曾委托Mulliner在他送给爱妻的礼物宾利欧陆GT中，设计了一个写着维多利亚名字的化妆箱；来自中国的一位客户还曾定制一辆Hello-Kitty主题的宾利欧陆GT轿车，作为礼物送给自己的妻子。

Mulliner还为定制车辆准备了400多种车身颜色，用户可随意选取最符合自己心意的一种或多种，如果依旧不满意，那么Mulliner还可为您创建专属于您的车身色彩。曾经有一位顾客给宾利总部邮寄了一些花瓣，收到邮件时，花瓣已经干枯，但Mulliner团队从花瓣尖上残留的颜色中提取相应颜色，最终成功设计出装潢皮革的特别色度。

近几年，Mulliner还应客户需求为宾利汽车定制了等离子屏、装甲、加宽轮距、一次性内饰设计、降低的旋转座椅、能够保湿的雪茄盒、私人屏幕、带倾角的座椅、酒柜、融入互联网和通信功能的移动终端等等。总而言之，在Mulliner工作室，车主绝不会听到“不可能”这个词。

“手工制造”不是口号

宾利专属定制团队由设计师、大师级工匠、木饰技师、冶金专家、皮革技师、刺绣工匠及汽车安全顾问组成，他们不仅精通汽车经典与现代设计，还在各自专攻的领域内拥有无人能出其右的工艺技术。这支顶级技师团队，是宾利Mulliner完全可以实现用户一切天马行空的创意定制需求的基础。

宾利木饰定制部门的员工需要花费四年时间，才能完全掌握17道不同的工序。宾利是唯一一个在车内饰面板上体现出镜像效果的汽车制造商。在克鲁工厂的木饰车间内，选备好的木饰材质被切割成06毫米的薄片送至宾利工匠师手中。切割好的四片薄板首尾相接，就可以在仪表盘的中线上形成对称图案，使整个内饰的纹路流动统一起来，产生镜像效果。

我们以宾利慕尚车型为例，为了让车身看起来毫无拼接痕迹，打造一台慕尚车型需要花费400个小时。在使用硅铜技术进行车体焊接后，工匠们还需要80到90个小时，用砂纸进行手工打磨，进一步雕琢慕尚的外观。

在打造慕尚的过程中，内饰的手工制作环节就要花费整个制造流程几乎一半的时间。每一个方向盘需要5个小时、620针的手工缝制，需耗费10英尺的缝纫线。更不用说座椅和各种内饰板了。

车厢内饰中皮质部分的打造也很重要，所有精选的内饰牛皮会在意大利米兰被涂上28种不同颜色，有经验的技师还会在一整张牛皮上用橘色标明皮革损坏之处、用白色标明皱褶的地方，这些数据都会被录入电脑从而指挥切割机进行皮质切割。在如此苛刻的标准之下，一辆欧陆GT车厢内需要10到12张牛皮，而一辆欧陆飞驰则需要12到14张牛皮，对于车厢顶部坚持用整张牛皮打造的慕尚则需要17张。

宾利Mulliner·经典代表作

宾利Mulliner的经典作品不少，但是最让人印象深刻的除了上面介绍的宾利MullinerBacalar，就属英国女王定制款和宾利经典车型的复刻款了。

宾利MullinerStateLimousine

宾利Mulliner的经典代表作之一，就是专门为英女王打造的StateLimousine，该车曾先后出现在英女王伊丽莎白二世登基50周年大典及威廉王子的婚庆大典上。StateLimousine只生产了两台，英女王、丈夫菲利普亲王以及女王首席司机均参与了该车的设计过程。这台车比宾利雅致R型加长了近一米，车内空间更加宽敞，车门开启的方式特别采用对开门式设计，车顶加高，方便女王下车前在车内站立。深紫色代表着皇室的低调与奢华，6升V8发动机，可以随意调节高度的电动后排座椅，这些贴心又特别的设计使女王对这款车极为喜爱。

宾利Corniche

这台由Mulliner部门重塑的非凡座驾是现存唯一一台宾利Corniche车型。

该车型作为当时全新宾利MarkV车型的高性能版本，承载了一系列技术革新，曾计划于1939年10月正式发布。

宾利Corniche车型于2019年9月在伦敦布莱尼姆宫举办的SalonPrivé车展上首次公开亮相。

宾利Blower延续版车型

这是宾利汽车个性化定制部门Mulliner的专家团队，基于TimBirkin爵士的4升Blower赛车，打造全新延续版车型，12台全新宾利Blower延续版车型承袭经典气韵，以纪念宾利车队。

作为宾利Blower赛车的延续版车型，全新Blower车型配备四缸、16气门发动机，铝制曲轴箱、铸铁缸套，以及不可拆卸的铸铁气缸盖。机械增压器精准复刻了AmherstVilliersMarkIV型罗茨增压器，可确保排量为44升的发动机在4200转/分下输出240制动马力。全新宾利Blower的车身结构采用钢框架，配备半椭圆形板簧悬架，以及复刻版BentleyDraper减振器。底盘配备经过重新打造的Bentley-Perrot机械制动器，该制动装置长约40厘米，并配备蜗杆与扇形转向系统。

一款车究竟能够定制到什么程度，宾利Mulliner给了我们答案。宾利Mulliner一般不会拒绝客户的需求，如果要求很特别，可能定制时间就会相应的长一些。但是宾利Mulliner的前提是客户安全永远第一以及选用的材料不能违反环保原则，如果违反环保原则，那就不得不拒绝。

本文来源于汽车之家车家号作者，不代表汽车之家的观点立场。

提起女性 汽车 品牌，第一个想到的品牌可能是MINI，而提起女性电动 汽车 品牌，第一个想到的，一定是欧拉。

从欧拉旗下的产品命名即可看出，这是一个针对女性用户的 汽车 品牌，黑猫，白猫，好猫等等。如今，欧拉猫系列家族要再增一员，欧拉闪电猫。

4月19日，上海车展首日，欧拉发布家族新成员，闪电猫。

这是一款拥有超跑外形的电动 汽车 ，其0-100加速时间仅35秒，也正因为较短的加速时间，因此该车才被命名为闪电猫。

同时，在车展上欧拉品牌也正式官宣，要成为全球最爱女人的第一 汽车 品牌。

1

可进化 汽车

欧拉不是第一个主打女性用车的品牌，但至少是目前最成功的主打女性消费者的电动 汽车 品牌。

欧拉旗下车型，在产品打造方面，其初始状态并非最适宜女性消费者的状态，但欧拉针对女性消费者的喜好，对产品设计、功能与配置进行频繁迭代，以满足女性对于 汽车 的审美与功能需求。

欧拉闪电猫的出现，就是这一迭代过程的最新作品。

在外观设计上，闪电猫相比欧拉前序车型，融入了更多的经典设计元素，例如溜背的外观造型，类似“青蛙眼”的星云之眼大灯等，在车身线条方面，相比欧拉好猫更被消费者所喜欢。

闪电猫的内饰与外观一样，不会让女性失望，依旧是复古简约风格，，通过“T”字形设计与中控液晶屏相得益彰。仪表盘设计风格，是颇为可爱的圆形设计，可爱而又不失东安。

欧拉站台上的另一款概念车朋克猫，相信更能取悦女性的芳心。

这款名为朋克猫的概念车，外观造型更为复古，整体外观设计风格甚至可以回溯至上世纪二三十年代，配以圆形后视镜设计，在审美方面更为符合女性消费者的胃口。

欧拉朋克猫的内饰设计灵感，同样源自上世纪的复古风格，通过镀金与翻毛皮材质的运用，在正式内饰质感氛围营造上，达到自主品牌新高度。

欧拉品牌针对女性消费者的设计，不仅体现在外观内饰层面，在功能层面上，同样在进行迭代升级。

欧拉希望为女性车主提供一款能满足“公主”梦的车型。

在发布会现场，欧拉品牌营销总监余飞说“女孩子夜晚做着穿上水晶鞋、登上南瓜车的公主梦，白天开着平平无奇的车，公主梦荡然无存。”而欧拉朋克猫的出现，可以帮助女性追回在时光洪流中丢失的感动与回忆，让公主梦在现实生活中得以延续。

在功能上，欧拉打造一些了“公主功能”。

女车主天冷时，可以开启 “公主温度”, 座椅和方向盘自动加热，空调自动调温。

女车主疲惫时，可以启动“公主座椅”，座椅自动放平、车机系统自动播放音乐。

女车主补妆时，可以启动“公主魔镜”，化妆镜开启环形LED补光灯，随时补妆。

进化可迭代，是欧拉品牌能成为女性电动 汽车 品牌的重要原因。欧拉 汽车 旗下的各款车型在逐步进化迭代后，在销量和运营层面上，也取得了不错的成绩。

2

月销破万

刚刚过去的3月，欧拉销量近13万台。

这是余飞在欧拉车展发布会上公布的信息。

成立不过3年的欧拉品牌，最近一年时间的销量增长率着实吓人，2021年3月单月销量已经2020年1月时销量的51倍。

2021年第一季度，欧拉品牌 汽车 销量超过3万台，即使受到春节的影响，但欧拉依旧在第一季季度达到月销1万台的水平。

但欧拉的野心，并不止于此。

余飞说，到2023年，欧拉的销量要突破100万台。同时，欧拉 汽车 也将进入到欧盟、东盟、印度等区域市场。

随着本次发布会上闪电猫、朋克猫等车型在未来逐步进入市场，以及从兄弟车企中换标而来的未命名纯电SUV车型推出，可以产出欧拉在后续产品层面上的，确实有着长远思考。

通过产品的不断进化迭代，欧拉品牌在女性品牌塑造方面，已经取得突破，并小有成就，销量层面上也进入到稳步上升状态之中。

随着新产品的逐步推出，欧拉在女性消费大潮中，能否稳住女性电动 汽车 品牌形象，甚至取代合资品牌，成为女性 汽车 的代名词，值得期待。

——END——

还记得质数吧？这是一个3000年前的问题：

2、3、5、7 、11、13 、17 、19 、23 、29、 p。p是什么？31。下一个p是什么？这是37。后面的p呢？41。然后呢？43。但是，你怎么知道接下来会发生什么？

给出一个预测下一个质数将是什么的公式（在任何给定的数字序列中），那么你的名字将永远和最伟大人联系在一起，类似于牛顿，爱因斯坦和哥德尔。

介绍

历史上许多数学巨人都研究过质数的性质。从欧几里得第一次证明素数有无限多个，到将素数与 ζ函数联系起来的欧拉乘积公式。从高斯和勒让德的素数定理公式到哈达玛德和德拉瓦莱普桑。伯恩哈德·黎曼仍然是在质数理论中取得最大突破的数学家。他的全部工作都包含在1859年发表的一篇8页的论文中，这篇论文对素数的分布做出了新的、前所未有的阐述，至今被认为是数论中最重要的论文之一。

自发表以来，黎曼的论文一直是质数理论的主要焦点，也是1896年质数定理证明的主要原因。此后又发现了一些新的证明，包括塞尔伯格的基本证明。然而，黎曼关于 ζ函数根的假说仍然是一个谜。

有多少质数？

让我们从简单的开始。我们都知道一个数要么是质数，要么是合数。所有合数都是由质数组成的，并且可以分解为质数乘积。公元前300年，欧几里得(就证明了它们的数量是无限的。证明过程非常经典，本篇文章就不再赘述。

为什么质数这么难理解？

即使对素数的算术性质进行了大量的研究，人们仍然对其知之甚少。科学界对我们缺乏理解质数行为的能力非常自信，以至于大数的因式分解是加密理论的基础之一。以下是一种看待它的方式。

我们很了解合数，它们是由素数组成的，很容易地写出一个公式来预测合数。最著名的例子是公元前200年的“埃拉托斯尼筛子”。它所做的，就是简单地标记每个质数的倍数直到一个限定。取质数2，标记4、6、8、10，以此类推。接着，取3，标记6、9、12、15，以此类推。剩下的只有质数。虽然很容易理解，但埃拉托斯提尼的筛子不是很有效。

有一个函数极大地简化了工作，那就是6n +/- 1。这个简单的函数取出除2和3之外的所有素数。代入n = 1、2、3、4、5、6、7，结果是，5、7、11、13、17、19 、23 25、29、31、35、37、41、43。函数生成的唯一非素数是25和35，它们分别可以被因式分解成5 x 5和5 x 7。下一个非素数是，49 = 7 x 7, 55 = 5 x 11等等。

为了直观地说明这一点，我使用了一种我称之为“组合阶梯”的东西，这是一种简单的方法，可以看到函数生成的合数是如何为每个质数布局和组合的。在下图的前三列中，你可以清楚地看到质数5、7和11，它们各自的组合阶梯达到并包括91。第四列的混乱显示了筛子是如何除去除了质数之外的所有数的，这很好地说明了为什么质数如此难以理解。

基本概念

那么这些和黎曼假说有什么关系呢？简单地说，为了更多地了解质数，19世纪的数学家们不再试图绝对肯定地预测质数的位置，而是开始把质数作为一个整体来研究。这种分析方法是黎曼的拿手之处，也是他著名的假说产生的地方。然而，在我解释它之前，有必要熟悉一些基本的概念。

调和级数

调和级数是一个无穷数列，最早由尼古拉斯·奥雷斯姆在14世纪进行研究的。它的名字与音乐中的和声的概念有关。该系列的内容如下：

无穷次调和级数的第一项

这个和被奥瑞斯姆证明是发散的。

ζ函数

调和级数是ζ函数的特例。对于r和n两个实数，给出了如下函数：

代入n = 1，得到一个发散的调和级数。然而，对于所有n > 1，级数是收敛的。

欧拉积公式

欧拉证明了ζ函数与质数之间的第一个联系，对于n和p两个自然数，其中p是质数：

欧拉积公式，其中n， p都大于零且p是质数

这个表达最早出现在1737年的一篇题为《关于无穷级数的观察》的论文中。这个表达式表明，ζ函数的和等于：

这种惊人的联系奠定了现代质数理论的基础，从这一点开始，用ζ函数ζ（s）作为研究质数的一种方法。

欧拉积公式的证明

欧拉从一般的ζ函数开始

首先，两边同时乘以第二项：

然后从ζ函数中减去结果表达式：

重复这个过程，然后两边乘以第三项：

然后用函数减去结果的表达式：

重复这个过程直到无穷大，最后只剩下表达式：

欧拉构造的是一个筛子，很像埃拉托色尼的筛子。他把非质数从函数中过滤掉了。

然后将表达式除以所有素数倒数项，得到：

函数与质数的函数关系

简化后得到：

欧拉积公式，表示素数和函数之间联系的恒等式

代入s = 1，求无穷次调和级数，再一次证明素数有无穷多个。

默比乌斯函数

奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯后来重写了欧拉积公式，创造了一个新的和。除了包含素数的倒数，莫比乌斯函数还包含所有素数因子的奇数和偶数乘积的自然数。他的级数中剩下的数是那些除以某个质数平方的数。其和，用μ(n)表示为：

莫比乌斯函数，欧拉乘积公式的修改版本，定义为所有自然数

和包含以下的倒数：

每一个质数；

每一个自然数，它是由奇数个不同素数的乘积，前面加一个减号；

每一个自然数，它是偶数和不同素数的乘积，前面加一个加号。

以下

以下是第一项：

这个和不包含可以除以某个素数平方的数的倒数，例如4、8、9等等。

莫比乌斯函数μ(n)只接受三个可能的值：

莫比乌斯函数μ(n)的三个可能值

虽然最初由莫比乌斯正式定义，早在莫比乌斯定义的30多年前，高斯就在一篇旁注中对这个古怪的总和进行了深入的研究，他写道：

素数p的所有原始根的和是≡0，或≡±1，如果数是偶数，符号是正的，如果数是奇数，符号是负的。

素数计数函数

回到质数。为了理解质数在数轴上的分布情况。由高斯引入的质数计数函数π（x）就是这样做的，它给出了小于或等于给定实数的质数的数量。由于没有找到质数公式，我们只知道质数计数公式是一个图。下图显示了x = 200时的函数。

质数计数函数π(x)，x 取到200。

素数定理

质数定理也由高斯和勒让德独立发表：

用当x趋于无穷时，质数计数函数π（x）将逼近函数x/ln（x），两者之间的比率将接近1。当x = 1000时，两个函数如下图所示：

在概率方面，质数定理指出，如果你随机选择一个自然数x，这个数成为质数的概率P（x）大约是1 / ln（x）。这意味着前x个整数中连续素数之间的平均差约为ln（x）。

对数积分函数

函数Li（x）定义为除x = 1外的所有正实数。它由2到x的积分定义：

对数积分函数的积分表示

将这个函数与质数计数函数和质数定理的公式画在一起，我们可以看到Li（x）实际上是一个比x/ln（x）更好的近似：

对数积分函数Li（x），素数计数函数π（x）和x/ln（x）一起绘制。

这是一个多么好的近似值，如果我们做一个x值的表，可以看出：

在给定的十次幂以内的素数数目以及这两种估计的相应误差项

从这里可以很容易地看出，对数积分函数的近似值远远优于质数定理中的函数，仅在x = 10的14次“超调”了314,890个质数。然而，这两个函数都收敛于质数计数函数π（x）。Li（x）要快得多，但当x趋于无穷时，质数计数函数与Li（x）和x/ln（x）之间的比值趋于1。可视化为：

方时

γ函数

自从丹尼尔·伯努利和克里斯蒂安·哥德巴赫在1720年代研究了将阶乘函数扩展到非整数参数的问题以来，γ函数 Γ（z）一直是一个重要的研究对象。它是阶乘函数n！向下移动1：

它的图形很奇怪：

γ函数Γ（z）被定义为z大于零的所有复值。复数使数学家和工程师能够计算和解决普通实数无法解决的问题。从视觉上看，复数将传统的一维“数轴”扩展为二维的“数平面”，称为复数平面，复数的实部绘制在x轴上，虚部绘制在y轴上。

为了能够使用γ函数Γ（z），它通常被重写为这种形式：

利用这个等式，我们可以得到z < 0的值。然而，它没有给出负整数的值，因为它们没有定义（从技术上讲，它们是奇点）。

ζ和γ

ζ函数和γ函数之间的联系由以下积分给出：

波恩哈德·黎曼

我们已经掌握了必要的基础知识，我们终于可以开始把质数和黎曼假设联系起来了。

德国数学家伯恩哈德·黎曼于1826年出生于布雷斯伦茨。作为高斯的学生，黎曼发表了很多分析和几何领域的著作。他最大的贡献可能是在微分几何领域，在那里他奠定了几何语言的基础，后来用于爱因斯坦的广义相对论。

他在数论方面唯一的成就是1859年发表的论文《论小于给定数量级的质数》被认为是该领域最重要的论文。在短短的四页里，他概述了：

复值ζ函数ζ(s)的定义；

zeta函数对所有复数s≠1的解析延拓；

黎曼函数ξ(s)的定义，是通过γ函数与黎曼ζ函数关联的一个完整函数；

黎曼ζ函数的泛函方程的两个证明；

利用素数计数函数和莫比乌斯函数定义黎曼素数计数函数J(x)

利用黎曼素数计数函数求素数数目小于给定数的显式公式。

这是一项令人难以置信的壮举，这种壮举可能在那之后就再也没有见过了。

黎曼ζ函数

我们已经在欧拉的乘积公式中看到了质数和函数之间的密切关系。然而，除了这种联系之外，人们对它们之间的关系知之甚少，只有发明复数才能明确地表明它们之间的联系。

黎曼首先考虑了复变量s的ζ函数ζ(s)，其中s = σ +it。

其中s = σ +it是一个复数，其中σ和t都是实数。

黎曼ζ函数ζ(s)是一个对所有实部大于1（Re(s) > 1）的复数都是解析的（有定值）的无穷级数。在这个区域，它是绝对收敛的。

为了在正则收敛区以外的区域分析函数（当复变量s的实部大于1时），需要重新定义函数。黎曼通过解析延拓半平面上Re(s) > 0上的绝对收敛函数成功地做到了这一点。

黎曼ζ函数的重写形式，其中{x} = x - |x|

这个函数的新定义在半平面Re(s) > 0中处处是解析的;0，除了在s = 1处存在奇点。这在这个定义域内称为亚纯函数，因为它是全纯的（在其定义域内每个点的邻域内复可微），除了在奇点s = 1处。它也是狄利克雷l函数的一个很好的例子。

在他的论文中，黎曼并没有止步于此。他继续用γ函数 Γ(z)来分析他的ζ函数ζ(s)到整个复平面。为了保持本文的简单性，我不会在这里展示这个计算，但我强烈建议你自己阅读它，因为它非常好地展示了黎曼非凡的直觉和技术。

他的方法利用了“Γ(z)对于复数变量的积分表示”和“一个叫做雅克比ϑ函数ϑ(x)”的东西：

整个复平面的泛函方程，除了在s = 0和s = 1处的两个奇点

在这种形式下，我们可以看到ψ(s)项比x的任何次幂下降得更快，因此积分对s的所有值都收敛。

更进一步，黎曼注意到，如果用1 - s替换s，大括号中的第一项（-1 / s(1 - s) ）是不变的。

黎曼xi函数ξ(s)

黎曼ζ函数的零点

当ζ(s)=0时，ζ函数的根可以分为两种类型，它们被称为黎曼ζ函数的“平凡”零点和“非平凡”零点。

实部Re(s) < 0的零的存在性

平凡零点是很容易找到并解释的。它们在以下 ζ函数的函数形式中最容易被注意到：

黎曼泛函 ζ方程的一个变分

当sin项变为0时，这个乘积变为0。例如，对于一个负偶数s = -2n，函数变为0。然而，对于正偶数s = 2n, 0被γ函数Γ(z)的极点抵消了。这在原始的函数形式中更容易看出来，如果你代入s = 2n，这一项的第一部分就没有定义。

黎曼函数在每一个负偶数s = -2n处都是0。这些是平凡零，它们可以在下面的函数图中看到：

实部为Re(s) >的零点的存在性

由欧拉积公式可以看出，在s的实部大于1的区域，ζ(s)不可能为零，因为一个收敛的无穷积只有当其中一个因子为零时才可能为零。质数无限大的证明否定了这一点。

实部0≤Re(s)≤1的零点的存在性

我们已经找到了Re(s) < 0时，在负半平面上的零点，并且说明了说明区域Re(s) >1中不可能有任何零点。

在

然而，在这两个区域之间的区域，被称为临界地带，是解析数理论在过去几百年里主要关注的地方。

黎曼ζ函数ζ(s)在-5 < Re < 2，0 < Im < 60区间内实部和虚部的曲线图

在上面的图中，我用红色标出了ζ(s)的实部，用蓝色标出了虚部。当s的实部为-2和-4时我们可以看到左下角的前两个零点。在0和1之间，我已经标出了临界地带，并标出了ζ的实部和虚部相交的地方。这些是非平凡零点的黎曼函数。在更高的值中，我们看到更多的0，以及两个看似随机的函数，随着s的虚部变大，它们的密度也越来越大。

黎曼ζ函数ζ(s)在-5 < Re < 2，0 < Im < 120区间内实部和虚部的曲线图

黎曼Xi函数

我们定义了黎曼Xi函数ξ(s)为：

黎曼Xi函数（无奇点）

这个函数满足这个关系：

黎曼函数正负值之间的对称关系

即函数是关于垂直线Re(s) = 1/2对称的，ξ(1) = ξ(0)， ξ(2) = ξ(-1)，依此类推。这个函数关系结合欧拉积公式表明，黎曼xi函数ξ(s)在0≤Re(s)≤1范围内只能有0点。黎曼函数的零点就是黎曼函数的非平凡零点。从某种意义上说，黎曼ζ函数ζ(s)的临界线R(s) = 1/2对应于黎曼函数ξ(s)的实线Im(s) = 0。

看看上面的两个图，你应该马上注意到这样一个事实，黎曼ζ函数ζ(s)的所有非平凡零的实部Re(s)等于1/2。黎曼在他的论文中简要地点出了这一现象，这一短暂的评论最终成为他最伟大的遗产之一。

黎曼假设

黎曼ζ函数ζ(s)的非平凡零点有实部Re(s) = 1/2。

这是黎曼在他的著名论文中提出的未经证实的猜想的现代表述。也就是说，在0≤Re(s)≤1的临界带中，ζ为0，ζ(s) = 0的点都有实部Re(s) = 1/2。若为真，所有的非平凡零点均为ζ(1/2 +it)的形式。

一个等价的表述（黎曼的实际表述）是:黎xi 曼函数ξ(s)的所有根都是实的。

在下图中，Re(s) = 1/2是横轴。ζ(s)的实部Re(s)为红色图，虚部Im(s)为蓝色图。非平凡零点是水平线上红蓝图的交点。

黎曼函数在Re(s) = 1/2直线上的第一个非平凡零。

如果黎曼假设成立，函数的所有非平凡零点将出现在这条线上，作为两个图之间的交点。

相信黎曼假设的理由

有很多理由相信关于ζ函数零点的黎曼假说的真实性。也许对数学家来说最令人信服的原因是它对质数分布的影响。假设的数值验证非常高，表明它是正确的。事实上，这个假设的数字证据足够强大，可以被认为是在其他领域如物理和化学的实验验证。

黎曼ζ函数和质数

以黎曼假设的真理为出发点，黎曼开始研究其结果。他在论文中写道，

……很可能所有的根都是实数。当然，这里需要一个严格的证明，经过几次短暂而徒劳的尝试后，我暂时把对它的寻找放在一边，因为它对于我的下一个目标似乎是无关紧要的。

他的下一个目标是把 ζ函数的零点和质数联系起来。

回想一下素数计数函数π(x)，它表示在实数x以下的素数的个数。黎曼用π(x)定义了自己的素数计数函数，黎曼素数计数函数J(x)，定义为：

黎曼素数计数函数

关于这个函数首先要注意的是它不是无限的。在某一项，计数函数将为零，因为x < 2没有质数。因此，以J(100)为例，函数将由7个项组成，因为8项将包含100的8个根，大约等于1778279。所以这个质数计数项变成0，和变为J(100) = 285333

与素数计数函数一样，黎曼素数计数函数J(x)是一个阶梯函数，当：

黎曼素数计数函数J(x)的可能值

为了将J(x)的值与在x之前（包括x）有多少素数联系起来，我们通过一个称为莫比乌斯反演的过程恢复素数计数函数π(x)。结果表达式为：

素数计数函数π(x)及其与黎曼素数计数函数和莫比乌斯函数μ(n)的关系

请记住莫比乌斯函数的可能值是：

这意味着我们现在可以把质数计数函数写成黎曼质数计数函数的函数，得到：

这个新表达式仍然是一个有限和，因为当x < 2时J(x)是零，因为没有小于2的素数。

如果我们现在看一下J(100)的例子，我们得到了和：

x = 100的质数计数函数

也就是小于100的质数的个数。

翻译欧拉积公式

接着，黎曼以欧拉积公式为起点，用微积分推导出一种解析求质数的方法。从欧拉开始：

前五个素数的欧拉积公式

他先对两边取对数，然后把分母改写在括号里，得出关系式：

欧拉积公式的对数

接下来，他使用著名的麦克劳林泰勒级数，展开右边的每一个对数项，创建一个无限和的无限和，每个质数级数的一项。

欧拉积公式对数前四项的泰勒展开

下面的表达：

1/3^s的麦克劳林展开式的第二项

这一项和计算中的其他每一项都代表了J(x)函数下的部分面积。写成积分形式：

1/3^s的麦克劳林展开式中第二项的积分形式

换句话说，利用欧拉积公式，黎曼证明了离散素数计数阶梯函数可以表示为积分的连续和。下面我们的例子项显示为黎曼素数计数函数图下的部分区域。

黎曼素数计数函数J(x)，x取到50，突出两个积分

对于质数3，积分的无穷积是：

将所有这些无穷和集合成一个积分，黎曼素数计数函数J(x)下的积分可以简单地写成：

或者是更流行的形式：

欧拉积公式的现代等效，连接了ζ函数和黎曼素数计数函数

黎曼将ζ函数ζ(s)与黎曼素数计数函数J(x)用微积分的语言写成等价于欧拉积公式的恒等式。

在得到欧拉积公式的解析版本后，黎曼接着阐述了他自己的素数定理。他给出的明确形式是：

“黎曼素数定理”猜测给定大小x下素数的数目

这是黎曼的显式公式。它是质数定理的改进，更准确地估计在x以下有多少素数存在。

第一项，是对数积分Li(x)，它是素数定理中素数计数函数π(x)的较好估计。它是迄今为止最大的一项，就像我们之前看到的，它高估了在给定值x之前有多少个质数。

第二项，或“周期项”是对x的ρ次方的对数积分的和，对ρ求和，这是黎曼ζ函数的非平凡零点。

第三个是常数-log(2) = -06993147…

第四项，也就是最后一项是x < 2时的积分为0，因为没有小于2的质数。其最大值为2，其积分约等于01400101

当x变大时，后两项对函数值的贡献是无穷小的。大数的主要“贡献者”是对数积分函数和周期和。请看下面的图表：

在上面的图表中，我已经用黎曼素数计数函数J(x)的显式公式来近似质数计数函数π(x)，并对黎曼ζ(s)的前35个非平凡零求和。我们看到周期项使函数“共振”，并开始接近素数计数函数π(x)的形状。

下面你可以看到相同的图表，使用了更多的非平凡零点。

使用黎曼的显式函数，我们可以非常精确地近似出素数的数目，直到并包括给定的数字x。事实上，冯·科赫在1901年证明，利用黎曼zeta函数的非平凡零点对对数积分函数进行误差修正，等同于素数定理中误差项的“最佳可能”界。

1866年，黎曼（39岁）去世，自那以后，他的开创性论文一直是素数和解析数论领域的里程碑。直到今天，黎曼关于黎曼 ζ函数非平凡零点的假设仍然没有得到解决，尽管许多伟大的数学家进行了数百年的广泛研究。每年都有大量与该假说相关的新结果和猜想被发表，人们希望有一天能找到确凿的证据。