正态分布的分布函数是什么？

一般正态分布的分布函数F(x)：

F(x)=P(X⩽x)=1√2πσ∫x−∞e−（t−μ）22σ2dt。

标准正态分布的分布函数Φ（x)：

Φ（x)=P(X⩽x)=1√2π∫x−∞e−t22dt。

正态分布具体介绍：

正态分布概率计算公式：F(x)=Φ［（x-μ）／σ］，正态分布也称“常态分布”，又名高斯分布，正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ＾2的正态分布，记为N(μ，σ＾2)。

其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。

当μ＝0，σ＝1时的正态分布是标准正态分布。

由X服从N(12,4)=N(12,2^2),则P(X<10)=FAI((10-12)/2)=FAI(-1)=1-FAI(1)=1-08413 (查表得到，FAI即标准正态分布的分布函数)，容量为5的样本，样本的极小值小于10的概率，P=1-(1-P(X<10))^5=1-08413^5=05785。

正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由棣莫弗（Abraham de Moivre）在求二项分布的渐近公式中得到。CF高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。PS拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）

两个相互独立的高斯分布相加，结果仍然是一个高斯分布。

如A ~N(μ1，Δ12)，B~N(μ2，Δ22)，且A，B相互独立，那么A+B~N(u1+μ2， Δ12+Δ22)。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

扩展资料：

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。

离散型随机变量的分布律和它的分布函数是相互唯一决定的。它们皆可以用来描述离散型随机变量的统计规律性，但分布律比分布函数更直观简明，处理更方便。因此，一般是用分布律(概率函数)而不是分布函数来描述离散型随机变量。

--正态分布

--分布函数

高斯分布（Gaussian distribution）又名正态分布（Normal distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

多元是指样本以多个变量来描述，或具有多个属性，在此一般用d维特征向量表示，X＝[x1，…，xd]T。d维特征向量的正态分布用下式表示

　　

(2-32)

　　其中μ是X的均值向量，也是d维，

　　μ＝E{X}＝[μ1，μ2，…，μd]T (2-33)

　　Σ是d×d维协方差矩阵，而Σ－1是Σ的逆矩阵，|Σ|是Σ的行列式

　　Σ＝E{(X－μ)(X－μ)T} (2-34)

　　Σ是非负矩阵，在此我们只考虑正定阵，即|Σ|＞0。

多元正态分布与单态量正态分布在形式上尽管不同，但有很多相似之处，实际上单变量正态分布只是维数为1的多元分布。当d=1时，Σ只是一个1×1的矩阵，也就是只有1个元素的矩阵，退化成一个数，|Σ|1/2也就是标准差σ，Σ－1也就是σ-2，而(X－μ)T(X－μ)也变成(X-μ)2，因此(2-32)也就演变成(2-29)。但是多元正态分布要比单变量时复杂得多，具有许多重要的特性，下面只就有关的特性加以简单叙述。

高斯信号是指概率密度分布为正态分布的随机信号，在工程中通常用偏斜度S和峭度K两个参数来描述。高斯随机过程的偏斜度和峭度恒等于零，而非高斯随机过程的偏斜度和峭度至少有一个不恒为零，S和K的定义见附图

偏斜度是衡量随机信号的分布偏离对称分布的歪斜程度，偏斜度不等于零的信号必定服从非对称分布。而峭度表征统计频率曲线接近分布中心时的大致状态，它不仅可以用来区分高斯和非高斯信号，而且还可进一步将非高斯信号分为亚高斯信号（峭度值小于零）和超高斯信号（峭度值大于零）。

在工程仿真应用中（例如随机振动分析和疲劳可靠性分析等），常常要求模拟同时具有指定功率谱、偏斜度和峭度值大小的非高斯随机过程。引自“指定功率谱密度、偏斜度和峭度值下的非高斯随机过程数字模拟“。

高斯分布即正态分布:是在机械产品和结构工程中，研究应力分布和强度分布时，最常用的一种分布形式。它对于因腐蚀、磨损、疲劳而引起的失效分布特别有用。 在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从或近似正态分布，如材料性能、零件尺寸、化学成分、测量误差、人体高度等。 正态分布的实验频率曲线有以下特征:曲线的纵坐标值为非负值;观测值在平均值附近出现的机会最多，所以曲线存在一个高峰;大小相等、符号相反的偏差发生的频率大致相等，所以曲线有一中心对称轴;曲线两端向左、右延伸逐渐趋近于零，这表明特大正偏差和特大负偏差发生的概率极小，一般很少出现;在对称轴两边曲线上，各有一个拐点，具有这五个特征的曲线，并且要求该曲线下的总面积等于1，即符合理论频率曲线的要求。 正态分布是最基本的分布，在机械可靠性设计中，主要用来描述零件及钢材的静强度失效分布，给定寿命下的疲劳强度的分布或近似分布。如果影响零件某个功能参数的独立因素很多，但又不存在起决定作用的因素时，一般都可采用正态分布来描述。当影响的因素个数n5~6时，分布就渐近于正态分布。当然，正态分布的频率曲线从负无限大到正无限大，但是强度不可能是负值的，从这一点来看，强度不可能真正的正态分布，而可能是截尾正态分布。当变异系数u≤030时，正态分布负值区的概率是很小的，可以略而不计，由于正态分布研究得很多，所以机械零件某些功能参数的分布规律，常用正分布。

正态分布是一种连续型概率分布，通常用于描述自然界和社会现象中的许多随机变量。在实际应用中，我们经常需要对正态分布进行加减乘除运算。下面是关于正态分布加减乘除运算的一些基本原则：

1 加法：如果两个正态分布独立且具有相同的均值和方差，它们的和仍然是一个正态分布。具体而言，如果X和Y是两个独立的正态分布变量，其均值分别为μ1和μ2，方差分别为σ1²和σ2²，则它们的和Z=X+Y 服从均值为μ1+μ2，方差为σ1²+σ2² 的正态分布。

2 减法：减法运算可以转化为加法运算。如果X和Y是两个正态分布变量，它们的差为Z=X-Y，我们可以将减法转化为加法运算：Z=X+(-Y)。在这种情况下，均值为μ1-μ2，方差为σ1²+σ2² 的正态分布。

3 乘法：正态分布的乘法运算需要更复杂的处理。如果X和Y是两个正态分布变量，它们的乘积Z=XY 不再是一个正态分布。乘法运算后的分布形式取决于X和Y之间的相关性。如果X和Y是独立的，那么Z将不再是正态分布，而是服从另一种分布，称为对数正态分布。

4 除法：正态分布的除法运算也需要更复杂的处理。如果X和Y是两个正态分布变量，它们的商Z=X/Y 不再是一个正态分布。除法运算后的分布形式同样取决于X和Y之间的相关性。

上述规则适用于特定条件下的正态分布变量。在实际应用中，我们还需要考虑变量之间的相关性、抽样误差以及其他影响因素，以进行准确的运算和推断。

正态分布的计算公式

正态分布（也称为高斯分布）是一种常见的连续概率分布，其计算公式可以表示为：

f(x) = (1 / (σ √(2π))) exp(-(x - μ)² / (2σ²))

其中，f(x) 是概率密度函数（Probability Density Function, PDF），表示随机变量 X 取值为 x 的概率密度。

μ 是正态分布的均值（即期望值），决定了分布的中心位置。

σ 是正态分布的标准差，决定了分布的扩展程度。

exp 表示自然指数函数，e 是自然对数的底。

注意：上述公式描述的是标准形式的正态分布，即均值为 0，标准差为 1。如果需要描述不同均值和标准差的正态分布，可以通过线性变换来实现。

正态分布的加减乘除运算在实际应用中的作用

1 加法运算：正态分布的加法运算可以用于描述多个独立事件的总效应。例如，在风险管理中，如果我们有多个随机变量表示不同投资组合的收益，可以将每个投资组合的收益看作是一个正态分布变量，并使用加法运算得到整体投资组合的收益分布。

2 减法运算：正态分布的减法运算可以用于比较和计算差异。例如，在实验设计中，我们经常需要比较两组样本的差异。如果我们有两个正态分布变量表示两组样本的观测值，可以使用减法运算得到差值的分布，并进行进一步的统计分析。

3 乘法运算：正态分布的乘法运算在概率密度函数的变换中起着重要的作用。例如，当我们对随机事件的乘积感兴趣时，可以使用乘法运算来推导结果的概率分布。具体应用包括信号处理领域的卷积运算、金融领域的收益率模型等。

4 除法运算：正态分布的除法运算也在一些应用中发挥着作用。例如，在风险评估中，我们可能需要计算一个随机变量的相对变动率，即两个正态分布变量的比值。这可以通过除法运算来实现，并帮助评估风险的传播和影响。

正态分布加减乘除运算的例题

1 加法运算：

假设有两个正态分布变量 X 和 Y，均值分别为 μX 和 μY，标准差分别为 σX 和 σY。计算它们的和 Z = X + Y 的均值和方差。

解：

两个正态分布变量的和仍然服从正态分布。所以 Z 的均值为 μZ = μX + μY，方差为 σZ² = σX² + σY²。

2 减法运算：

假设有两个正态分布变量 X 和 Y，均值分别为 μX 和 μY，标准差分别为 σX 和 σY。计算它们的差 D = X - Y 的均值和方差。

解：

两个正态分布变量的差也服从正态分布。所以 D 的均值为 μD = μX - μY，方差为 σD² = σX² + σY²。

3 乘法运算：

假设有两个独立的正态分布变量 X 和 Y，均值分别为 μX 和 μY，标准差分别为 σX 和 σY。计算它们的乘积 P = X Y 的均值和方差。

解：

乘法运算将导致结果分布的变化。乘积 P 的均值为 μP = μX μY，方差为 σP² = (μX² σY²) + (μY² σX²) + (σX² σY²)。

4 除法运算：

假设有两个独立的正态分布变量 X 和 Y，均值分别为 μX 和 μY，标准差分别为 σX 和 σY。计算它们的商 Q = X / Y 的均值和方差。

解：

除法运算也将导致结果分布的变化。商 Q 的均值为 μQ = μX / μY，方差为 σQ² = [(σX² μY²) + (μX² σY²)] / μY^4。

正态分布，一般都只会讲公式，怎么证明的就不提了。我遇到这家伙有两个地方：一个是高中数学课上；一个是本科《误差理论和测量平差》课上。找点资料，想自己推到一下如何得到高斯正态分布的公式。

正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian Distribution）。我习惯合起来叫 高斯正态分布 。（刚好和Linux Distribution： linux发行版 的英文单词一样）

期望（平均数）：μ

标准差 ，

方差 为。

当 和 时候称为： 标准正态分布 。

matlab绘制正态分布概率密度函数图像的命令为normpdf，normpdf函数的调用格式为normpdf(x,mu,sigma),其中mu为0，sigma为1时，为标准正态分布。

在高斯分布中有三个数学符号，先来解释这个三个数学符号的含义，然后再说明这个公式的推导思路和推导方法。

三个符号 在数学上分别叫做平均值（又称数学期望），标准差，自然数。即：

平均值（又称数学期望）：

标准差:

自然数:

对于数据:

平均数：

语言解释： 平均数 就是所有数加起来的和除以数据个数n。

数学的含义是：数据中间位置的具体数值。

详细说明方差方差和标准差之前，先复习一下关于 勾股定理 （在西方又称 毕达哥拉斯定理 ）和 平面两点间距离公式 。

在直角三角形中，对于边长a，b，c有如下关系：

即

在平面坐标系x-o-y下对任意两点 间的距离D有:

通过勾股定理和平面两点间距离公式可以看出，型如

表示的含义为两个之间的距离。数值越小，证明两个之间越近。

一组数据，平均数是这个数据的中心，那么就可以用其他数据到平均数的距离来衡量数据和平均数的远近关系。即这组数据是聚拢一些呢，还是分散一些呢。

方差

因为距离D是需要开方的，所以 方差的含义是距离的平方 。对开方后的方差称为标准差 。

假设有两组数据：

说明两组数据的中间值数值一样，且都为零。平均值可以谅解为此数组中的中心位置。

即 说明：

A组数据之间的距离较小，数据较聚拢；

B组数据之间的距离较大，数据较分散；

从 欧拉公式看出，把字母e定义成自然数，和欧拉是有直接关系的。倒不太相信百科里说的 欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。

其实从这个公式还是不太能看出来e=271828，一开始谁会想到这个式子就极限就是自然数e呢。

但我们可以从对数和指数的关系来联系e是怎么来的。

利用对数运算性质中的化平方为相乘的特性，我们知道自然数在对数运算中是最常用的底数。

对于对数运算：

对于指数求导

那么如果 就好了，a等于多少，才会使得 呢？

恰巧a等于自然数e的时候，lne=1

于是，可以将a=e带入指数求导公式：

对函数求导后依旧是其本身，这是一个很好的性质。

е主要出现在涉及增长的地方，比如说经济增长、人口增长、放射性衰变等，可以说е代表了自然率之美。

比如某个市人口为120万人，每年的人口增长率为20%:

一年后人口：100万+100万x20%=100万（1+20%）=120万

两年后人口：120万+120万x20%=120万（1+20%）=100万（1+20%）（1+20%）=

三年后人口：=

四年后人口：=

X年后人口：=

当人口增长率不可能一直保持20%，因为生存空间有限，增长率应该是随着时间而降低的。假设增长率和时间X成反比，即增长率为

那么上述人口增长的数学模型可以抽象为：

当我们想知道很多年后的人口增长，即时间X趋向无穷 的人口时候即可得极限：

为什么正态分布如此常见

为什么数据科学家都钟情于最常见的正态分布？