数学四边形证明题：三点一线和平行

推荐使用面积法

简便起见, 在等式中就用△ABC来表示△ABC的面积

首先借用你的图看一个面积法的基本图形

△ABC与△ADC有公共的底边AC, 因此面积比等于AC边上的高之比,

即B, D到AC的距离比, 进而等于BO:DO

于是得到结论: △ABC:△ABC = BO:DO

这个图形有一些变化, 比如B, D在AC的同侧, 或者A, C在BD的同侧, 结论都是成立的

以下多次用到这个图形, 就不特别注明了

(1) 用同一法, 连GH, 分别交AC, BD于O1, O2, 证明O1 = O2

只要证明GO1:HO1 = GO2:HO2

GO1:HO1 = △AGC:△AHC

而△AGC:△AGB = CF:BF, △AHC:△DHC = AE:DE

代入得GO1:HO1 = CF/BF·△AGB /(AE/DE·△DHC) = CF/BF·DE/AE·△AGB /△DHC

另一方面, GO2:HO2 = △BGD:△BHD

而△BGD:△AGB = DE:AE, △BHD:△DHC = BF:CF

代入得GO2:HO2 = DE/AE·△AGB /(BF/CF·△DHC) = CF/BF·DE/AE·△AGB /△DHC

因此GO1:HO1 = GO2:HO2, O1 = O2 = O, 证毕

注: 这个结论是Pappus定理

(2) 没有其它条件的话, 这一问的结论是不对的, 见下图

MN明显与PQ不平行

请检查你的题目来源

证明：在Rt△PBC中，∵BH⊥PC，

∴∠PBC=∠PHB=90°，

∴∠PBH=∠PCB．

显然，Rt△PBC∽Rt△BHC，

∴

BH

PB

=

HC

BC

，

由已知，BP=BQ，BC=DC，

∴

BH

BQ

=

HC

CD

，∴

BH

CH

=

BQ

CD

．

∵∠ABC=∠BCD=90°，∠PBH=∠PCB，

∴∠HBQ=∠HCD．

在△HBQ与△HCD中，∵

BH

CH

=

BQ

CD

，∠HBQ=∠HCD，

∴△HBQ∽△HCD，

∴∠BHQ=∠DHC，

∠BHQ+∠QHC=∠DHC+∠QHC．

又∵∠BHQ+∠QHC=90°，

∴∠QHD=∠QHC+DHC=90°，

即DH⊥HQ．

对于海豚，大家都非常熟悉，它是一种海洋里的动物。据说，它比大猩猩还聪明呢！

海豚一般长约1~2米。它浑身乌黑，看上去非常光亮，只有肚皮是银灰色的。尾巴成扇形，能上下摆动。身体下侧有两片鳍，用于拨水游动。嘴巴突出，非常尖。脸上嵌着一双乌黑、水汪汪的大眼睛，忽闪忽闪的，十分可爱。

海豚十分聪明。它虽然看起来十分笨重，但身手可敏捷啦！它能跳起来叼走距离它头顶2~3米的球，还能驮着人，以极快的速度游着，有的甚至可以像孙悟空一样翻跟斗呢！见到人时，它会把尾巴抬起来前后摆动向你打招呼，还会抬起头向你点头示意。最精彩的是会三五成群地跳出水面，又“扑通”一声跳入水中，速度虽然快，但非常整齐、有序，活像几个出色的跳水员。

海豚被誉为是“海上救生员”。每当见到浮在水面的东西，它都会去救起来，木板也不例外。世界上就发生过“海豚救人”的事例，海豚把一艘落难轮船上的人安全护送到海岸边。而它在海洋里也爱“见义勇为”，每当见到大鱼欺负小鱼时，它都会去和大鱼进行搏斗，就连凶恶的鲨鱼也不例外，可见它非常勇敢。

听完我的介绍，你一定了解了聪明的动物——海豚吧！有时间一定要去看看哟。