高斯定理的曲面积分怎样求解？

想象有一个碗放在桌子上，开口向上，并建立直角坐标系；桌子平面为z=0，平面；碗里面的面为上侧曲面；向桌面投影后面积为正值，投影面就是一个圆；碗外面的面为下侧曲面；向桌面投影后面积为负值。

现在找一个纸板盖住碗口，z=1平面与碗的曲面相交；对于闭合曲面可以构成一个空间闭合区域；外侧就是指能摸到的那一侧；等于碗的外面，和纸板的上面，共同构成外侧；所以，在曲面积分中利用高斯定理时，一定要构造闭合曲面；

第一型曲面积分应该是标量型曲面积分，如在一空间曲面上分布着各点密度不同的质量、电荷分布，通过第一型曲面积分可求出该曲面的总质量或总电荷数等，变换一下也可以用于求体积。

第二型曲面积分应该是矢量型曲面积分，如在一空间曲面上分布着的各点，其各点的运动速度、在不均匀力场（重力场基本为均匀力场、电磁场有时为不均匀力场）各点的受力大小方向均不同，通过第二型曲面积分可求出整体的流量、及在力场中的受力方向及大小。

看以下两点来理解18题的问题。

①，

用高斯公式求曲面积分，

是用于封闭曲面围成空间区域的情况下。

如果是封闭曲面的外侧，就在三重积分前加+号；

如果是封闭曲面的内侧，就在三重积分前加-号。

②，

对于曲面∑不是封闭曲面的曲面积分，

人为地添加适当的曲面∑0，使得∑0与∑共同构成封闭曲面，

这时就可以考虑用高斯公式了。

需要注意两件事。

第一，

添加的曲面需要自行给出其侧，

原则是要与∑的侧一致地成为封闭曲面的外侧或内侧。

第二，

原积分式=∫∫∑…

=∫∫∑…+∫∫∑0…-∫∫∑0…★

上式★中，对……，用高斯公式，符号的问题遵①。

式★中的∫∫∑0…，用曲面积分的计算公式直接算即可。

上述二者算出的值相减即得答案。

曲面积分高斯公式是x2cosα+y2cosβ+z2cos。

在静电场中，穿过任一封闭曲面的电场强度通量只与封闭曲面内的电荷的代数和有关，且等于封闭曲面的电荷的代数和除以真空中的电容率。该定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。

曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。

静电场中通过任意闭合曲面（称高斯面）S 的电通量等于该闭合面内全部电荷的代数和除以真空中的电容率，与面外的电荷无关。第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。

曲面积分跟二重积分的区别：

二重积分的积分区域是二维的平面，第一类曲面积分的积分区域是三维的曲面。第二类曲面积分再加上方向。这就导致了第一类曲线积分的计算是将其转化为定积分计算，而第一类曲面积分的计算是将其转化为二重积分计算。

第一类的都没有方向，第二类曲线积分和第二类曲面积分引入了方向，有了方向，则在计算中硬钢的话会比较繁琐，所以第二类积分我们引入了无所不能的格林公式，将第二类曲线积分转化为二重积分计算。高斯公式是将第二类曲面积分转化为三重积分计算。

而曲面积分，顾名思义，曲面上的积分，不论第一型第二型，都是曲面上做的积分。这个曲面你“拉直”一些（数学上是做适当的参数变换，表示成适当的参数形式），变成“平直”的空间（也就是变成 regular form），最后可以化成一个重积分进行计算。

分享一种解法，利用高斯分布/正态分布密度函数的性质和伽玛函数Γ(α)求解。设A=[1/(δ√π)]^(1/2)、积分(1)、(2)、(3)、(4)式分别用I1、I2、I3、I4表示。

∵X~N(μ,δ²)，其密度函数f(x)=(1/√2)A²e^[-(x-μ)²/(2δ²)]，∴E(X)=∫(-∞,∞)xf(x)=μ，D(X)=E(X²)-[E(X)]²=δ²，∴E(X²)=∫(-∞,∞)x²f(x)=μ²+δ²。

∴对I1，易得I1=A(√2)/A²E(X)=0； 对I2，易得I2=A(√2)/A²E(X²)=δ²(√2)/A； 对I3，易得I3=A(√2)/A²E(Xⁿ)。利用被积函数“xⁿf(x)” 的奇偶性质，n为奇数时，I3=0、n为偶数时，I3=[2A(δ√2)^(n+1)]Γ((n+1)/2)。

对I4，∵x²/(2δ²)+ikx=((x+iδ²k)²/(2δ²)+δ²k²/2，∴I4=[(√2)/A]e^(-δ²k²/2)。

供参考。

当然可以，只不过是Q恒等于0而已。

只是一般情况下类似的不会让你用高斯公式做，先看一下整体的对称性，看积分区域的体积是否特殊，要综合考虑。

高斯公式简单，但不能每题都用是吧……

这个积分称为高斯积分，有几种不同的证明方法。但系统不能输入公式，所以我就不详细在这里写了，具体可以参考维基百科（推荐英文版）：

（英文）：http://enwikipediaorg/wiki/Gaussian_integral

（中文）：http://zhwikipediaorg/wiki/%E9%AB%98%E6%96%AF%E7%A7%AF%E5%88%86

看了一下知道上面关于这个问题的其它提问，大多数都不能让人满意，包括这个赞同数比较高的回答：

http://zhidaobaiducom/question/80696183html

另外，百度文库上有一篇论文专门讨论关于高斯分布函数的相关推导：

对高斯分布函数形式的推导：http://wenkubaiducom/view/7d7396eef8c75fbfc77db275html