谁能给出高斯定理的证明严格_美容护肤

设有一个球面，设其半径为R, 球心为坐标原点。下面会把电势随空间的分布用球坐标表示：V(r,theta,phi)球心的电势即V(r=0),球面上的电势为V(r=R,theta,phi)。

因为这个球面中不包含电荷，所以穿过这个球面的电通量为零（高斯定理），并根据电场是电势的导数，而电场在球面法向上的分量是电势V对r的偏导(\p V)/(\p r)这里的\p代表偏导符号。于是得到积分：\int (\p V)/(\p r) dA=0这个式子里的\int代表对球面积分，dA是球面的面积微元，即dA=R^2 sin(theta) d_theta d_phi。继续将方程两面除以R^2,得到\int (\p V)/(\p r) d_Omega=0这里d_Omega是立体角微元d_Omega=sin(theta) d_theta d_phi。

注意上面这个方程不仅仅在半径为R的球面上成立，而是对于所有r<R的球面都成立。理由仍是高斯定理。于是可以把这个方程的左边从r=0积分到r=R然后调换积分顺序，先对r积分：\int (\p V)/(\p r) dr=V(R,theta,phi)-V(0),再继续对立体角积分：\int [V(R,theta,phi)-V(0)] d_Omega=\int V((R,theta,phi) d_Omega - 4 \pi V(0),这里用到V(0)与theta和phi无关，而单独的立体角积分出来是4 \pi 方程的右边当然还是零，于是就有V(0)={\int V((R,theta,phi) d_Omega }/(4 \pi),这个等式的右边就是电势在半径为R的球面上的平均值。

1、可以使用历史记录还原操作，操作方法是首先打开PS软件，载入示例。

2、然后按下Crtl＋J复制图层，在图层区域可以看到复制的图层。

3、然后打开窗口菜单，选择点击历史记录打开。

4、打开之后点击滤镜，选择模糊，点击高斯模糊滤镜。

5、设定一个数值点击确定。

6、然后再次点击滤镜菜单，选择高斯模糊，重复多次点击高斯模糊滤镜。

7、此时可以在历史记录中看到之前操作的高斯模糊的操作，点击历史记录中第一次执行高斯模糊前的操作。

8、最后点击之后，即可恢复到复制图层的页面了，人物不在模糊，高斯模糊的效果此时会变成灰色，即说明恢复成功。

高斯吸力是指电磁吸盘的吸力，它是根据电磁原理工作的。一般来说，电磁吸盘可以吸住各种金属，包括但不限于铁、钢、铝等常见金属。然而，具体的吸力取决于吸盘的设计和电磁力的强度，因此吸力的大小可能会有所不同。对于特殊金属或特定形状的金属，可能需要根据实际情况进行测试和调整吸力的参数。

理论上，斯托克斯公式和高斯公式可以使用，用完斯托克斯公式是把曲线积分转换为曲线边界的有向曲面积分，这时候再用高斯公式需要添加一个面使其封闭。

但是我猜题主的意思是在做题过程中为什么不能连在一起用，这个问题其实很简单，我画了一个示意图，L（逆时针）为题目欲求的曲线积分，我们用斯托克斯公式将其转化为曲面S（方向向上，就是一个盖子），这时候要使用高斯公式就需要添加一个面使其封闭，我们不妨添加阴影面D（方向向下），这时候S与D围成的封闭曲面用高斯公式求出来的值一定为零（S和D方向相反，相互抵消了，D也可以看做我们对L另外用的一次斯托克斯公式，只不过差个负号），所以对于做题来说，再用高斯公式没有意义了。

可以用下面的公式：

∬∑f(x,y,z)dydz，其中∑为曲面S的投影区域，f(x,y,z)为S上的某个函数。

首先，需要先找到曲面S的投影区域。根据题目所给的抛物面方程，可知该曲面在xz平面上的投影是圆形，中心在原点，半径为根号下2。

接下来，需要计算∬S(x2+x)dydz和∬Szdxdy。

对于第一个积分式，将x2+x看作整体来处理，得到

∬S(x2+x)dydz = ∫∫D (x2+x)dydz，

其中D为在xz平面上的圆形区域。由于抛物面的方程是z=12(x2+y2)，所以有y2 = z - 12x2。因此，

∬S(x2+x)dydz = ∫∫D (x2+x)dydz

= ∫∫D (x2+x)√(1+(∂z/∂y)2+(∂z/∂x)2)dydx

= 2∫0∫√(2-x2)(x2+x)dxdy

= 2∫0π/2∫0√(2-sin2θ)(sin2θ+sinθcosθ)dθdr

= 8/3