留学乌克兰，怎么样？

首先，和欧美很多国家相比，乌克兰的留学费用是非常低廉的。同时作为一个教育大国和强国，乌克兰的教学水平自然毋庸置疑。

第一，文化丰富饱满

乌克兰文化渊源，影响深广；它的油画、芭蕾。舞蹈和音乐等在国际上享有盛誉；俄罗斯文学之父果戈里从乌克兰走向世界，乌克兰也是托尔斯泰名著《复活》的历史舞台；影响中国几代人的名著《钢铁是怎样炼成的》，其作者奥斯特洛夫斯苦也正是乌克兰人

而且东西欧在此交汇，苏维埃与现代的冲击，让这个国家成为一个表面冷酷内心却充满热情，一个保留着前苏联文化又融合了欧洲现代美学的地方

第二，教育实力雄厚

一个人口只有5000万人的国家，共有高校1037所，与我国大致相当；可谓高校云集，名牌众多；其中，基辅大学为欧洲十大名校、世界高校20强，是它培养了世界大诗人普希金；以化学元素周期表而闻名于世界的门捷列夫，是基辅工学院的终生教授；基辅国际民航大学在世界航空类大学中名列前三名，接受过世界上100多个国家的留学生，它的预科系为苏联三大预科系之一；

建于1805年的哈尔科夫大学是原苏联最早的第二所大学（第一所大学为莫斯科大学），教育水平极高，莫斯科大学物理系的教授们则几乎全出自哈尔科夫大学；

此外，还有敖德萨大学（我国现任国家科技部长朱丽兰即毕业于该校）、基辅医学院、些可夫斯基音乐学院、第聂伯彼德罗夫斯克大学，也都非常有名，科技和教育是密切相关的。

第三，科技水平超前

乌克兰科技实力极为雄厚，其科技力量占了前苏联的四分之一，前苏联的科技力量又占了全世界的四分之一；它还集中了原苏联的军事工业、重工业、造船业和航空航天业，这些在原苏联都有着举足轻重的地位，在全世界也卓然领先；乌克兰的实用发明、专利占了前苏联的40%。

在苏联解体后，世界上诸多发达国家掀起了到乌克兰引进科技引进人才的浪潮，乌克兰也是我国目前国际科技合作的主要国家。

第四，“遍地”的美女

乌克兰是出了名的“盛产”美女，在乌克兰学习你不必每日沉浸在枯燥的学习中，有时候抬头看看四周的美女，心情都能豁然开朗。每天被美女包围的日子，想想都很爽。

梅爱偲就是选择在乌克兰留学，最后娶到了一个非常漂亮的乌克兰老婆，说不定你去乌克兰留个学还是能够找个漂亮的乌克兰老婆呢。

第五，费用低，福利好

乌克兰的大多数学校是免费的，小学是全免费的甚至很多大学也是免收一部分学费的。因此去乌克兰留学的话所需要的费用将更低廉。

而且乌克兰的福利是出了名的好，只要是在乌克兰留学一年以上的就可以免费享受公费

第六，签证方便

赴乌留学签证属反签，学生在取得学校邀请函的同时，也获得了乌外交部领事司签发的入境许可，这样极大提高了在领事馆获得入境签证的成功率，成功率几乎是100%。而且从申请学校到乌院校注册，只需1-2个月，签证成功率100%。

1）康托的连续统基数问题。

1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思（PChoen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。

（2）算术公理系统的无矛盾性。

欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨（GGentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。

（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。

问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（MDehn）1900年已解决。

（4）两点间以直线为距离最短线问题。

此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。

（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。

这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。

（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。

1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。

（7）某些数的超越性的证明。

需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。

（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。

素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。

（9）一般互反律在任意数域中的证明。

1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（EArtin）各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。

（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？

求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。

（11）一般代数数域内的二次型论。

德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依（AWeil）取得了新进展。

（12）类域的构成问题。

即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。

（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。

七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在〔0，1〕上连续的实函数f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)，这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。1964年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。

（14）某些完备函数系的有限的证明。

即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi（i=1,…，m），R为K〔X1，…，Xm]上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。

（15）舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。

一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。

（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。

此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。

（17）半正定形式的平方和表示。

实系数有理函数f(x1,…，xn)对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。

（18）用全等多面体构造空间。

德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决。

（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？

德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。

（20）研究一般边值问题。

此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。

（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。

此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔（HRohrl）于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献。

（22）用自守函数将解析函数单值化。

此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（PKoebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。

（23）发展变分学方法的研究。

这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。

2005年度全球轮胎75强排行榜

（以2004年销售额计） 单位：亿美元

2005年排名 2004年排名 公司/总部所在国家或地区 2004年 2005年

销售额 占公司销售额，% 销售额 占公司销售额，%

1 1 米其林／法国 17888 917 1615 93

2 2 普利司通／日本 1675 75 148 75

3 3 固特异／美国 1515 825 136 86

4 4 大陆／德国 61 39 56 43

5 5 倍耐力／意大利 4044 495 3255 432

6 6 住友橡胶／日本 315 757 2922 752

7 7 横滨橡胶／日本 2864 733 2552 718

8 8 库珀轮胎橡胶／美国 2082 100 1873 533

9 9 韩国轮胎／韩国 1903 934 1595 953

10 10 东洋轮胎橡胶／日本 1618 644 144 636

11 11 锦湖／韩国 1562 995 1406 100

12 14 佳通轮胎／新加坡 1045 100 671 100

13 13 正新橡胶工业／玛吉斯／中国台湾 984 100 748 100

14 12 三角集团／中国 911 100 765 100

15 15 MRF／印度 64 952 537 944

16 17 阿波罗轮胎／印度 587 100 496 100

17 18 诺基亚轮胎／芬兰 571 628 445 75

18 23 杭州中策橡胶／中国 509 100 325 100

19 16 山东成山橡胶／中国 503 100 － －

20 18 J．K工业／印度 498 100 445 100

21 － Sibur－RusskleShiny 47 100 － －

／俄罗斯

22 20 Amtel集团／俄罗斯 45 － 39 －

23 21 Nizhnekamskshina 43 100 331 989

／俄罗斯

24 31 上海轮胎橡胶／中国 416 100 314 100

25 34 山东玲珑橡胶／中国 39 100 247 100

26 25 BriSA／普利司通－萨巴奇轮胎／土耳其 376 995 299 995

27 22 GajahTunggalTbk．／印尼 375 － 347 100

28 24 西亚特轮胎／印度 364 100 318 100

29 35 青岛双星轮胎／中国 343 100 271 100

30 26 风神轮胎／中国 34 100 29 100

31 32 黄海橡胶集团／中国 333 100 － 100

32 28 建大橡胶工业／中国台湾 321 991 27 991

33 － 华南橡胶轮胎／中国 309 100 217 100

34 27 特雷勒堡／瑞典 305 98 285 129

35 33 卡莱尔／美国 3 135 25 119

36 29 下世纪／韩国 299 999 261 994

37 30 弗雷德斯坦／荷兰 285 100 261 756

38 41 贵州轮胎／中国 276 100 234 100

39 39 邓录普轮胎／南非 267 982 19 957

40 37 马塔多耳／斯洛文尼亚 262 725 218 576

41 38 太腾国际／美国 203 40 195 40

42 47 华丰／中国台湾 203 100 15 969

43 46 南港／中国台湾 199 999 15 100

44 44 GumarenskaSpol．／捷克 19 609 169 66

45 45 马郎贡尼／意大利 185 50 157 504

46 43 FATE／阿根廷 183 100 172 97

47 42 GTY轮胎／美国 18 100 181 100

48 40 白俄罗斯轮胎／白俄罗斯 16 100 － －

49 49 联合橡胶／中国台湾 1595 100 144 988

50 48 Cia．HuleraTornelS．A．deC．V．／墨西哥 145 － 144 937

51 52 比拉轮胎／印度 143 100 － －

52 50 井上橡胶／日本 13 － 099 －

53 57 联合轮胎／以色列 129 100 1 100

54 55 第聂波罗彼德罗夫斯克／乌克兰 124 915 1 819

55 54 银石公司／马来西亚 104 717 089 705

56 60 Kerman轮胎橡胶／伊朗 098 914 083 927

57 － 北斗星／Solideal／斯里兰卡 － － 085 －

58 － Balkrishna工业公司／印度 083 732 054 643

58 62 广州珠江橡胶／中国 083 100 075 100

60 68 Metro轮胎／印度 078 971 056 959

61 － 北京首创轮胎／中国 077 100 055 100

62 59 Denman轮胎／美国 075 100 075 100

63 67 银河轮胎和车轮公司／美国 075 962 057 916

64 72 山东中策轮胎／中国 0749 100 052 100

65 61 双喜轮胎／中国 073 100 065 100

66 － 徐州轮胎集团／中国 068 100 053 100

67 64 巴斯轮胎／伊朗 － － 067 989

68 56 辽宁轮胎集团／中国 066 100 065 100

69 65 特种轮胎／美国 065 100 065 100

70 69 Casumina（原南方橡胶）／越南 06 929 049 965

71 70 TVSSrichakra／印度 05 98 049 98

72 － 新疆昆仑轮胎／中国 0499 100 049 100

73 73 巴基斯坦通用轮胎橡胶／巴基斯坦 047 100 044 100

74 － 长春轮胎／中国 044 100 033 100

75 71 Tunisienne轮胎／突尼斯 － － 043 100

来源： 中国化工报

在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。

希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。

（1）康托的连续统基数问题。

1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思（PChoen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。

（2）算术公理系统的无矛盾性。

欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨（GGentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。

（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。

问题的意思是：存在两个等高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。德思（MDehn）在1900年已解决。

（4）两点间以直线为距离最短线问题。

此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。

（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。

这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐平（Zippin）共同解决 。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。

（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。

1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。

（7）某些数的超越性的证明。

需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么α^β一定是超越数或至少是无理数（例如，2^√2和exp(π)）。苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。

（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题。

素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未获最终解决，其最佳结果分别属于中国数学家陈景润和张益唐。

（9）一般互反律在任意数域中的证明。

1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（EArtin）各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。

（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？

求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况下，答案是否定的。虽然得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。

（11）一般代数数域内的二次型论。

德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依（AWeil）取得了新进展。

（12）类域的构成问题。

即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。

（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。

七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c）。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在〔0，1〕上连续的实函数f(x1，x2，x3）可写成形式∑hi（ξi(x1,x2）,x3）(i=1--9），这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1，x2，x3）可写成形式∑hi（ξi1(x1）+ξi2(x2）+ξi3(x3）)(i=1--7）这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。1964年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。

（14）某些完备函数系的有限的证明。

即域K上的以x1,x2，…，xn为自变量的多项式fi（i=1，…，m），R为K〔X1，…，Xm]上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。

（15）建立代数几何学的基础。

荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。

注一舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。

一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。

（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。

此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N（2）≥1；1952年鲍廷得到N（2）≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N（2）≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n=2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。

（17）半正定形式的平方和表示。

实系数有理函数f(x1，…，xn）对任意数组（x1，…，xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。

（18）用全等多面体构造空间。

德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决。

（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？

德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。

（20）研究一般边值问题。

此问题进展迅速，已成为一个很大的数学分支，目前还在继读发展。

（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。

此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔（HRohrl）于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献。

（22）用自守函数将解析函数单值化。

此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（PKoebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。

（23）发展变分学方法的研究。

这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。

　　希尔伯特，D(Hilbert,David，1862～1943)德国数学。

　　他于1900年8月8日在巴黎第二届国际数学家大会上，提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的制高点，对这些问题的研究有力推动了20世纪数学的发展，在世界上产生了深远的影响。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”。

　　（著名的歌德巴赫猜想也是问题之一，以陈景润为代表的中国数学家获得了重大突破，但还没有彻底解决。）

　　希尔伯特 生于东普鲁士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳，中学时代他就是一名勤奋好学的学生,对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣,善于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容。1880年,他不顾父亲让他学法律的意愿,进入哥尼斯堡大学攻读数学，并于1884年获得博士学位,后留校取得讲师资格和升任副教授。1893年他被任命为正教授,1895年转入格廷根大学任教授,此后一直在格廷根生活和工作。他于1930年退休。在此期间,他成为柏林科学院通讯院士,并曾获得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖。1930年获得瑞典科学院的米塔格-莱福勒奖,1942年成为柏林科学院荣誉院士。希尔伯特是一位正直的科学家,第一次世界大战前夕,他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。战争期间，他敢于公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布。希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。由于纳粹政府的反动政策日益加剧,许多科学家被迫移居外国,曾经盛极一时的格廷根学派衰落了,希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。

　　希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一。他领导了著名的格廷根学派,使格廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心,并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期,每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。按时间顺序,他的主要研究内容有:不变量理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。在这些领域中，他都做出了重大的或开创性的贡献。希尔伯特认为，科学在每个时代都有它自己的问题，而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。他指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。”

　　在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。他说：“在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知。”三十年后，1930年，在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中，针对一些人信奉的不可知论观点，他再次满怀信心地宣称：“我们必须知道，我们必将知道。”

　　希尔伯特的《几何基础》（1899）是公理化思想的代表作，书中把欧几里德几何学加以整理，成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统，并开始探讨公理之间的相互关系与研究整个演绎系统的逻辑结构。1904年，又着手研究数学基础问题，经过多年酝酿，于二十年代初，提出了如何论证数论、集合论或数学分析一致性的方案。他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号语言系统，并从不假定实无穷的有穷观点出发，建立相应的逻辑系统。然后再研究这个形式语言系统的逻辑性质，从而创立了元数学和证明论。希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明，以便克服悖论所引起的危机，一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑。然而，1930年，年青的奥地利数理逻辑学家哥德尔(KGdel，1906～1978)获得了否定的结果，证明了希尔伯特方案是不可能实现的。但正如哥德尔所说，希尔伯特有关数学基础的方案“仍不失其重要性，并继续引起人们的高度兴趣”。希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》（三卷，其中包括他的著名的《数论报告》）、《几何基础》、《线性积分方程一般理论基础》等，与其他合著有《数学物理方法》、《理论逻辑基础》、《直观几何学》、《数学基础》。

　　希尔伯特问题

　　在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。

　　希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。

　　（1）康托的连续统基数问题。

　　1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思（PChoen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。

　　（2）算术公理系统的无矛盾性。

　　欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨（GGentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。

　　（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。

　　问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（MDehn）1900年已解决。

　　（4）两点间以直线为距离最短线问题。

　　此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。

　　（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。

　　这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。

　　（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。

　　1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。

　　（7）某些数的超越性的证明。

　　需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。

　　（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。

　　素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。

　　（9）一般互反律在任意数域中的证明。

　　1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（EArtin）各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。

　　（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？

　　求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。

　　（11）一般代数数域内的二次型论。

　　德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依（AWeil）取得了新进展。

　　（12）类域的构成问题。

　　即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。

　　（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。

　　七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在〔0，1〕上连续的实函数f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)，这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。1964年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。

　　（14）某些完备函数系的有限的证明。

　　即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi（i=1,…，m），R为K〔X1，…，Xm]上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。

　　（15）建立代数几何学的基础。

　　荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。

　　注一舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。

　　一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。

　　（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。

　　此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。

　　（17）半正定形式的平方和表示。

　　实系数有理函数f(x1,…，xn)对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。

　　（18）用全等多面体构造空间。

　　德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决。

　　（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？

　　德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。

　　（20）研究一般边值问题。

　　此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。

　　（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。

　　此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔（HRohrl）于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献。

　　（22）用自守函数将解析函数单值化。

　　此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（PKoebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。

　　（23）发展变分学方法的研究。

　　这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。

　　希尔伯特轶事

　　1 以希尔伯特命名的数学名词多如牛毛，有些连希尔伯特本人都不知道。比如有一次希尔伯特曾问系里的同事“请问什么叫做希尔伯特空间？”

　　21916年，埃米·诺特这位卓有才华的青年妇女来到哥廷根大学。希尔伯特对她的学识倍加欣赏，立即决定让她留下来当讲师，辅助相对论的研究工作。但当时歧视妇女的现象相当严重，希尔伯特的建议遭到语言学、历史学等教授们的强烈反对。希尔伯特拍案而起，大声疾呼：“先生们，这里是学校，不是澡堂！”于是因此激怒了他的对手，希尔伯特对此不为所动，毅然决定让诺特以自己的名义代课。