已知椭圆mx 2 +ny 2 =1，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|= 102_美容护肤

依题意，点P（x 1 ，y 1 ）、Q（x 2 ，y 2 ）的坐标满足方程组

m x 2 +n y 2 =1

y=x+1

，

化为（m+n）x 2 +2nx+n-1=0，

∴ x 1 + x 2 =-

m+n

， x 1 x 2 =

n-1

m+n

由

⊥

得x 1 x 2 +y 1 y 2 =0，∴x 1 x 2 +（x 1 +1）（x 2 +1）=0，即2x 1 x 2 +（x 1 +x 2 ）+1=0，

∴

2(n-1)

m+n

+1=0 ，化为m+n=2．

又由|PQ|=

，∴

2[( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 ]

2[(

-2n

m+n

) 2 -

4(n-1)

m+n

]

，

把m+n=2代入整理为4n 2 -8n+3=0，解得 n=

或

．

当n=

时，m=

；当n=

时，m=

．

故所求椭圆方程为

x 2

3 y 2

=1 ，或

3 x 2

y 2

=1 ．

证明：作AG⊥BC于G,MH⊥BC反向延长线于G,NL⊥BC延长线于G

易证△MHB≌△BGA,△NLC≌△CGA

所以HB=AG,MH=BG,LC=AG,NL=GC又BP=PC

所以HP=LP,又PQ⊥BC,MH⊥BC,NL⊥BC

所以PQ为直角梯形MHLN的中位线

所以2PQ=MH+NL,因为MH=BG,NL=GC

所以2PQ=BG+GC=BC=2PC

所以PQ=PC

设椭圆方程为

mx^2+ny^2=1

,代入可得

mx^2+n(x+1)^2=1

,化简得

(m+n)x^2+2nx+n-1=0

,设

P（x1,y1）,Q（x2,y2）,则

x1+x2=

-2n/(m+n)

,x1x2=(n-1)/(m+n)

,所以

y1y2=(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=(m-1)/(m+n)

,由于

OP丄OQ

,所以

x1x2+y1y2=0

,即

(n-1)/(m+n)+(m-1)/(m+n)=0

,（1）又

|PQ|=√10/2

,所以

|PQ|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=2(x2-x1)^2=2[(x1+x2)^2-4x1x2]=2[4n^2/(m+n)^2-4(n-1)/(m+n)]=5/2

,（2）由（1）（2）解得

m=3/2

,n=1/2

或

m=1/2

,n=3/2

,因此,所求的椭圆方程为

x^2/(2/3)+y^2/2=1

或

x^2/2+y^2/(2/3)=1

解题思路：

设法创造平行线，利用平行线分比例线段的性质，找出有关线段的数量关系；又找出相似三角形及全等三角形，从中发现线段的比例关系。

具体解答过程请看下面，点击放大：

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