急求初二数学几何研究报告

通过分层合作，提高初二几何证明的教学效率研究报告

一、课题的提出

从初二开始，数学教学内容出现几何内容，其中几何证明是教学中的一个难点。如何搞好几何证明的教学在初二阶段是非常重要的，它不但涉及到几何里的很多知识，同时也包含了对所学知识的综合应用，是培养学生逻辑思维能力的重要途径，对以后的数学学习产生很大影响。在这一届初二学生中，多数学生的数学基础比较薄弱，同时对学习的兴趣和积极性比较低，我认为教师只重视课本内容，按传统的教学方法进行教学是不能让学生有效地学好几何知识，掌握好几何证明的技巧。在这种情况下，改变原有的教学观念和方法显得更为重要。我们认为通过分层教学、合作学习的教学方式是值得尝试的。分层教学就是对不同层次的学生提出不同的学习目标，通过学习各层次学生达到相应的学习目标；合作学习指学生间的小组学习，通过相互合作来完成学习任务，达到学习目标，培养学生间的合作精神。

我们让学生学习几何不是为了只掌握几何证明，而是通过几何学习了解、熟悉几何知识，明白为什么，必要时自己动手去验证。要让学生从几何内容的学习中培养兴趣，知道几何知识来源于我们的生活和生产实际中，是前人探索、总结得到的知识，从而培养学生探索思考的能力，形成良好的学习态度和习惯，提高几何证明水平，提高教学效果，因此本课题研究很有意义。

二、理论依据

1所谓分层教学，就是在先进的教学思想指导下，根据学生的学习水平和能力的不同，开展不同层面的教学活动，并针对不同发展层次学生的需要给予相应的学法指导，以达到全体学生全面发展的教学目标。分层教学理论的理论基础为布卢姆的掌握学习理论。当代美国著名心理学家、教育学家布卢姆提出的掌握学习理论认为：“只要在提供恰当的材料和进行教学的同时给每个学生提供适度的帮助和充分的时间，几乎所有的学生都能完成学习任务或达到规定的学习目标。”

2传统的教学模式中学生不能作为学习的主体参与教学，学生的积极情感得不到体验，意志品质得不到体现，各种层次的学生也因自身素质不同，很难得到充分的全面的发展。“分层合作学习法”指全班学生按每个学生的实际学习水平组成若干个小组。各组学生（4---5人），每组学生通过相互研究和讨论解决学习问题，以达到掌握基本知识，完善认知结构，优化思维品质，使每个学生都得到充分发展的一种教学方法。

三、研究方法和研究对象

1 研究方法：行为研究法、对比法

2 研究对象：初二（1）班为实验班，初二（2）班为对照班。从初二（1）班中筛选出A、B、C各层次学生若干名，与初二（2）班中同层次学生进行对照与比较，其中A层为好的，B层为中等的，C层为差的。

四、研究内容：

初二数学中关于几何的内容有三角形、四边形、圆的基本性质和圆柱、圆锥、圆台以及它们的侧面积四个方面，重点涉及了几何圆形的概念、性质、定理以及对性质、定理的应用。学习几何就让学生熟悉几何图形，理解和掌握图形的相关性质或定理，使学生会用直尺、圆规、刻度尺、三角尺、量角器等作图工具作和画几何图形，逐步培养学生学习观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象、概括的能力，逐步使学生掌握简单的推理方法，从而提高学生的逻辑思维能力。通过辨别图形、画图和论证的教学，进一步培养学生的空间概念。

五、研究的实施过程

分层合作在教学中我是从两个方面进行考虑的，分层指的是分层教学，按照学生学习水平的不同层次，确定教学目标及相应的教学方法；合作是指学生间的合作学习，学生之间成立不同层次的合作学习小组。具体实施如下：

（一）分层教学合作学习的准备工作

1学生分层，明确培养目标。每个学生的学习情况都是不同的，他们的学习态度、方法和能力也存在差异，因此我们要根据各个学生的特征来进行分层。通过研究学生知识水平、学习态度、潜能的差异，将学生分为三个层次：A层为好的，B层为中等的，C层为差的，这个层次划分并不向学生公布，但教师做到心中有数。这样做可以消除学生在学习中的一些负面影响，激励各小组之间相互竞争的作用。在对学生进行分层后，我们对各层次学生都制定了相应的培养目标。C层次：熟悉重要的定义、公理、定理，一般问到能回答，会进行简单的推理过程，能写出证明过程。B层次：在C层次的基础上，能进行较复杂的推理过程，熟悉一些常用的证明方法和思想。A层次：能进行复杂的推理过程，熟悉常用的证明方法和思想，对一些定理能进行证明，掌握证明过程，能根据题目的题设探索出结论并加以证明。

2学生分层合作学习，开设学习小组。根据班级实际情况，我从班级学生中抽取A、B、C各层次学生各三名，组成两个学习小组，小组中兼有A、B、C各层次学生，其中A层次学生在小组中起主导作用，帮助B、C层次学生解决学习中出现的问题，用小组力量和智慧来解决。同时两个小组之间进行比较，发现问题并找出原因，帮助学习小组提高学习效果。由于只有两个学习小组，且人数教少，我们认为组与组之间可以根据实际情况与需要对组员进行调换，以便扩大学生之间交往的面。学习小组的成员要进行合理分工，首先要推选组长，由组长主持和管理组内的学习事务，其次设立联络员、发言员等，可以进行调换，以培养每个同学对各职务的适应能力，提高综合素质。合作学习小组的学习时间教师规定在自修课，当然根据实际需要学生也可以自己选择时间进行。

（二）分层教学的实施

1备课分层。结合班级不同层次学生实际情况制定分层教学目标，对不同层次的学生设计和筛选不同的训练题目。例如：在平行四边形的复习课中，有一道题是关于平行四边形的判定，我就做了如下设计：C层次的学生能说出平行四边形的判定方法，根据已知条件确定用哪一种方法，还缺什么条件；B层次的学生能说明所缺条件成立的理由；A层次的学生则能完整地完成证明书写过程，同时还能提出与他人不同的证明方法。在上课后发现C层次学生对平行四边形的判定方法的选择提出了多种正确答案，虽然所缺条件的证明有困难，但是积极性高。这说明在备课中进行分层设计是很有必要的，这样能使教师在实际教学中对各层次的学生进行相应的教学，给各层次的学生都有自己的学习内容，提高教学效率，避免培养目标一致，给学生增加学习困难。

2教学分层。精心设计教学环节，鼓励学生自觉学习，课堂教学分层是实施分层教学的关键，教师是师生的双边活动的组织者，因此要落实好课堂中提问、练习的层次，鼓励全体学生都能参与课堂活动，使课堂充满生机。在教学中我也是常常这样做的。在问题的提出上，有难度的A层次学生回答，简单问题优待C层次学生，中等问题则由B层次学生回答。在课堂练习的学生板演时，对待简单的练习多给予C层次学生来完成，从中发现问题并及时得到解决，鼓励同桌之间多问为什么，把个人学习转化为合作学习。同时，教学课堂也是培养学生创新能力的大好时机。我们认为，在日常教学中，培养创造性并非无法，贵在有心。我的经验是多设计深层次启发式提问，把“灌输式”的“这样做”变成“启发式”的“怎么办”，把“浅层次”的“是不是”变成“深层次”的“为什么”，把“单向思维”的“用什么方法”变成“多向思维”的“有多少种方法”……引导学生在实际的探索和发现中获得真理，把学生思维引入求新、求异的天地，激发学生的认知兴趣和创造欲望。例如：在第九章第21节角平分线的性质定理及其逆定理中有这样一道例题：已知：如图（1）DB⊥AB于B，DC⊥AC于C，且DB=DC， B

求证：DA平分∠BDC。

D

A

C

（图1）

我首先请一名C层次的学生来回答证明思路，说出证明过程。这名学生根据证明角相等的方法三角形全等准确的进行了回答；然后我再提出是否还有别的证明方法，引出另一种证明角相等的方法，同时应用了本节中角平分线的性质定理的逆定理，达到教学目标。再让学生考虑，连结BC，那么AD和BC会有怎样的关系？B层次学生回答，使等腰三角形的顶角平分线和底边上的高线、中线三线合一这一性质也得到巩固。从而让学生意识到做完一道题后，认真思考一下就会发现许多已学过的知识，可以得出另外的结论。

3练习及作业分层。现在我们的学生用的是一种作业本，让每一个学生都能很好地完成全部作业是不可能的事情。在作业布置上我根据学生层次不同布置不同的作业，C层次学生往往是记作、熟悉课堂内所学知识点，学生做一些典型的、简单的题目，B层次学生则做有一些难度的题目，A层次学生则选择做一些难度较高或有较强应用性的题目。在对于B层次、A层次学生的作业题目选择有时由教师来确定，有时根据个人能力自己选择，在练习上我也是采用这种方法，但是在实践中，教师必须做好监督和指导工作。

4辅导分层。课堂学习时间毕竟有限，课堂只能解决大部分学生的问题且重点是中等生，两头学生则会出现“吃不饱”和“吃不了”的现象，因此我在课后根据学生情况经常进行辅导。C层次学生以基础知识为主，讲解典型题目，让学生有解决简单问题的能力，其中从学生的作业情况来发现问题，并进行帮助是一个有效的办法。在进行全等三角形学习时，像如图（2），已知AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD。求证：（1）⊿AOB≌⊿COD，（2）AB=CD这样的题型也不会做，通过我的课后辅导使他们意识到有些几何证明是不难的，在以后的学习中有了明显改善。

（图2）

A

B

C

D

O

A层次学生主要是辅导对知识的应用，有较高难度的问题，鼓励他们多探索多思考，充分利用“选做题”，“一题多变题”，“一题多解题”，“开放性试题”，“探索性试题”等题型来训练学生的思维，提高逻辑思维能力。同时根据实际情况对B层次学生也进行必要的课后辅导。课后辅导虽然是对课堂学习外的一种补充手段，但是是很有必要的。通过辅导能促进师生之间的理解和交流，发现学生学习中存在的困难，能改善学生的学习态度，增加学生学习的兴趣，促进学习成绩的提高。

（三）分层合作学习小组的学习

学生是学习的主体，分层合作学习是学生的课外学习。在分层合作学习中，学生要自己确定学习内容，有主动参与的激情，不能做旁观者，要独立思考，敢于质疑，大胆发表自己的意见，积极提出自己的想法和假设，有创新精神。要平等、尊重同学，注意倾听别人的发言，有不同意见可以争论，同学之间要互相帮助，互相配合，互相鼓励。学习成绩好的学生要戒骄戒躁，主动帮助别人，而学习成绩不太理想，接受能力较慢的学生则要树立自信心，多参与，在生活和学习中扬长避短。同时学生要提高对认知活动的自我调节和管理技能，加强对自己自学能力的培养，学会学习。在学生的分层合作学习中，教师是一个学生学习的引导者和参与者。教师可以根据学习小组的学生学习情况给适当的学习内容的建议，但又不包办。如在学习平行四边形的性质、判定这方面内容时，我发现学生很容易把性质和判定搞错，因此在学生进行合作学习时，特意让他们自己找题回来进行学习。教师要时常关注学生的合作学习情况，发现问题随时进行必要的指导，鼓励学生采取措施解决问题。教师还要特别关注学习有困难的，性格、情感等方面有缺陷的学生，最大程度的开发每个小组成员的潜能。

六、研究的成效和分析

1分层教学符合学生的实际情况，课堂教学效率有明显的提高。通过分层教学，教师与学生的接触更加广泛，更能了解学生学习中碰到的困难，并帮助他们寻找解决方法。同时教师要对B、C层次学生多给予关心和帮助，给他们表现自己学习中也存在好的方面的机会，这样可以促进他们的学习兴趣和良好的学习习惯。在实际教学中，我发现C层次学生对于几何证明的完成很困难，但是一些基础知识很熟悉，能根据已知条件写出一些正确的结论。

2分层合作学习促进了学生的相互合作，相互帮助的团队精神，能使学生意识到个人的不足之处。分层合作学习小组的建立和小组间的比较，让学生认识到他们是一种“利益共同体”。导致小组各成员尽力做出自己的最大努力，极大地调动了学生的学习积极性。在研究中还发现，学生的学习态度和学习行为对分层合作学习的效果起着主导作用。在开始实施阶段，个别B、C层次学生比较依赖于A层次学生，这一点在他们完成的作业中可以看出来，个别A层次学生在帮助B、C层次学生中也不太积极或者不负责任，导致学习小组成员的学习成绩整体下滑。教师在进行批评教育和指导后制止了这一现象，在后面的学习中各小组学习成绩稳定提高。在分层合作学习的同时，教师还发现一些同层次学生在作业上进行合作学习，碰到困难再找同学或教师帮助，他们的学习效果也不错，因此在以后教学中也鼓励学生采用这种学习形式。

3分层教学和分层合作是现代教育的两个方面，他们应该互相交融在一起，分层教学明确了不同层次学生的学习目标，分层合作学习使学生能很好地完成个人学习目标。通过实验提高了学生几何证明能力，学习成绩明显提高（见附表2）。

七、结束语

1实验表明通过分层合作来提高初二几何证明的教学效率是可行的，它对教师的要求是高层次的，教师不但只是上好课，要用大量的时间去搞好分层合作学习小组的引导和管理，搞好分层辅导，给各层次学生给予相应的关心和帮助，才能使学生的学习兴趣激发出来，形成良好的学习态度和学习习惯，提高初二几何证明的教学效率。

2从实验过程来看还存在下列问题：

（1）课堂教学中证明过程的完成由A层次学生回答，教师板书完成的现象比较严重，B、C层次的回答较少。

（2）对于几何证明，B、C层次学生虽然对于证明思想清楚，但是在书写证明过程时困难较大，使学生对几何证明的学习积极性受到影响。

（3）合作学习小组中个别学生的学习自觉性不够、依赖性较强，导致学习成绩下降。

3反思：教师在进行几何证明时，要示范好几何证明过程的书写，平时多提几何证明过程如何书写。

吉利几何新能源品牌算是吉利集团染指新能源市场的一张王牌，当然作为全新品牌不可能一开始就一份冲天，何况背靠吉利这棵大树，可以慢慢经营，这不全新的几何跨界车型就闪亮登场了，整体而言实车基本上还是按照几何A的风格来设计，确切的说是几何A的两厢版本更为恰当一些，借助跨界的思路盘活整个几何品牌的意图相当明显，甚至有种预感，这就是帝豪GS模式的复刻思路。

前端造型与几何A非常接近，特别是大灯和封闭式格栅的思路，但是雾灯框又与帝豪GS运动版接近，加上那车厢轮廓非常接近帝豪GS，差点误认为就是帝豪GS纯电版修改一下完事，而结果还真判断对路了，整车长宽高分别为4432/1833/1560mm，轴距2700mm，拿出帝豪GS的尺寸一对比，除了长度减少8mm，其它的完全一致，包括宽度和高度，也就是说这就是帝豪GSe的几何版本。

当然也不能说毫无改动，起码很多细节的变化还是可圈可点的，外后视镜罩全部重新设计，配置层面从现有的外观申报图来看与帝豪GSe差别不大，看来真的省时省力不少，重新加入几何阵营之后，就看如何运作营销了，毕竟跨界版还是具备一定优势的，相比之下几何A三厢轿车定位没有跨界版更能吸引市场关注度。

其它细节而言也几部就是帝豪GS的翻版，尾灯重新设计成透明罩，内灯具也重新设计，同时增加了贯穿式灯带，有意思的是尾部出现了三个标识，B\C\X，这选择困难症又要开始犯了，到底最终选择哪个命名只有耐心等待更多的官方信息为准了。

天窗选择上也完全照搬帝豪GS，有固定观赏天幕和单天窗可供选择，到底是选配还是根据车型配置的不同有待正式上市方能揭晓答案。

此外还有一个细节相当值得注意，主申报图中是悬浮顶的设计思路，主申报图中的尾部图也同样如此，但在外观分解图中可以看到类似帝豪GS的普通三角侧窗版本出现，看来这C柱也是会出现在选配清单内。

储能方面采用宁德时代新能源科技股份有限公司的锂电池组，而驱动电机则是日本电产汽车马达（浙江）有限公司的TZ180XY150型，峰值功率达到了150Kw，推动1545~1607吨的车重绰绰有余，至于这重量的不同，自然与电池组的多寡有密切关联，预计有两个续航里程版本，越重的续航里程越大，这是电池组能量密度决定的，对照帝豪GSe，还真不好下结论，内核的变化相当明显，包括内饰部分预估都会向几何A靠拢，仅仅是整车结构这一块直接按照帝豪GS的平台来做。

本文来源于汽车之家车家号作者，不代表汽车之家的观点立场。

芬氏几何又叫芬斯勒几何。

1 历史沿革

1854年，黎曼著名演讲[1]发展了一类基于弧长元素ds=F(x1,…,xn,dx1，…，dxn)的度量几何（最初叫广义度量空间理论）一个重要的特殊情形是F2(x,dx)=gij(x)dxidxj由此确定的几何即是被后人命名的黎曼几何黎曼在黎曼几何中引进了曲率概念，推广了高斯在二维曲面上的工作对于一般的广义度量，黎曼给出了一个具体例子：

F(x,y)={(y1)4+…+(yn)4}1/4,y=dx

黎曼断言基于这种广义度量的微分几何能够像黎曼几何一样得到发展，但他认为计算将非常复杂，因此很难对微分不变量赋予恰当的几何意义最终黎曼只研究了具有二次型限制的度量，即黎曼度量1900年，Hilbert在巴黎发表了关于23个数学问题的著名演讲，一般情形的广义度量空间理论包含在第23个问题“变分法”中在随后的几年中，一些数学家从变分法的几何处理出发研究了广义度量其中的主要代表人物就是GLandsberg，他在1907年引入了后来被LBerwald称为Landsberg曲率的几何量，这是芬斯勒几何中的第一个非黎曼几何量

1918年，芬斯勒（Paul Finsler,1894-1970）在哥延根大学完成了他的博士论文在论文中，芬斯勒研究了广义度量，引入了所谓的基本张量gij(x,y)=(2F2/yiyi)/2,和C-张量（我们现在称为Cartan张量）

Cijk(x,y)=(gij/yk)/2在黎曼几何情形，gij(x,y)正是基本张量gij(x)Cartan张量是非常重要的，因为它刻划了一个芬斯勒流形偏离黎曼流形的程度事实上，一分芬斯勒度量是黎曼度量的充分必要条件是Cartan张量恒为零1927年，JHTaylor将广义度量空间的几何称为芬斯勒几何（现在人们也称其为黎曼-芬斯勒几何）

对芬斯勒几何真正作出重要贡献的第一位数学家应该是Ludwig Berwald（1883-1942），他是第一个在芬斯勒空间中引入联络并将黎曼几何中的黎曼曲率推广到芬斯勒几何中的数学家[2,3]Berwald联络满足无挠（torsionfree）条件但并不与度量相容Berwald的贡献还在于：（1）利用Berwald联络刻划了Landsberg曲率，定义了Landsberg空间[3]（2）引入了一类重要的、他称之为仿射连通空间的芬斯勒空间（1925年）（1938年，VVWagner命名这类空间为Berwald空间）黎曼空间和局部Minkowski空间均是特殊的Berwald空间1981年，Szabó证明了：除黎曼空间和Minkowski空间外，恰好存在54类不可约和整体对称非黎曼Berwald空间，使得所有其它单连通和完备的Berwald空间都能整体地分解为上述56种空间的笛卡尔积[4]（3）研究和发展了二维芬斯勒空间理论（1927年，1941年）（4）在他身后发表的论文（1947年）中，他定义和讨论了具有标量旗曲率和常数旗曲率的芬斯勒度量，开创了芬斯勒几何中的一个重要研究领域

1933年，法国著名数学家Elie Cartan(1869-1951)发表了他的第一篇关于芬斯勒几何的论文，主题是关于芬斯勒度量的共形变换的若干注记，同时预告了他的确定一个芬斯勒空间联络的公理系统1934年，Cartan发表了他关于芬斯勒几何的著名论文[5]，详细介绍了他的确定芬斯勒空间联络（我们称之为Cartan联络）的公理系统Cartan引入了线性元（line element）空间（即射影化切丛PTM)概念，将他的欧氏联络理论推广到了芬斯勒空间Cartan联络不满足无挠条件，但与芬斯勒度量是相容的Cartan联络与Berwald联络及其相应的各类曲率张量对后来的芬斯勒几何研究产生了重要影响，并促进了芬斯勒几何在物理学、生物（态）学等领域中的应用研究1941年，GRanders从广义相对论的研究中引出了一个形如F(x,y)=α(x,y)+β(x,y)的芬斯勒度量，其中α(x,y)为一个黎曼度量，代表引力场；β(x,y)=bi(x)yi为一个1-形式，代表电磁场Randers度量在电子显微镜及统一场论等领域的研究中有重要应用，在芬斯勒几何的研究中也扮演了一个非常重要的角色

对任意芬斯勒流形（M，F）在PTM上有一个整体定义的微分形式ω:=Fyidxi,称为Hilbert形式（M，F）上曲线的长度恰由ω的积分给出1943年，数学大师陈省身教授从Hilbert形式的外微分出发研究了芬斯勒空间中的欧氏联络，构造了我们现在称之为Chern联络的一类重要联络[6]Chern联络满足无挠条件且与度量几乎相容，这也使得它在芬斯勒几何的研究中具有独到的优势1948年，陈省身教授解决了芬斯勒流形的局部等价性问题：怎样才能确定两个已知的芬斯勒度量结构只差一个坐标变换？这一问题的解决再次涉及到了芬斯勒空间中的欧氏联络及其曲率[7]利用Chern联络，人们已将黎曼几何中的许多重要定理推广到了芬斯勒空间，并从其结构方程出发得到了许多芬斯勒流形的非黎曼几何性质（如见[8]）

在二十世纪五十年代至六十年代初，有两位数学家是值得一提的一位是Herbert Busemann，他研究和讨论了芬斯勒空间的体积形式，为人们研究芬斯勒空间的体积比较定理、探讨芬斯勒流形的整体性质奠定了基础；他还强调了研究Minkowski何的重要性，扩展了人们对芬斯勒空间的认识另一位是南非数学家Hanno Rund，他是这一时期在芬斯勒几何领域的一位代表人物HRund的著作[9]曾激励了许多年轻数学家开始研究芬斯勒几何在这一时期还崛起了两个重要的芬斯勒几何研究群体：以Berwald的学生OVarga为代表的匈牙利研究群体和以TOkada及MMatsumoto为代表的日本研究群体，他们的研究工作对后来芬斯勒几何的发展产生了深刻影响

当我们在回顾芬斯勒几何的发展历程时，也应该注意到这样一个事实：自芬斯勒几何在1918年诞生之后的近七十年间，芬斯勒几何没有得到像黎曼几何那样的繁荣和普及，许多重要内容并未得到人们的重视一个主要原因是由于计算的相对复杂性，一个简单的公式往往会随着计算的深入很快变得非常复杂，客观上制约了芬斯勒几何的发展另一个主要的原因是，当时的许多几何学家只是把芬斯勒空间片面地看作黎曼空间的推广而仅仅致力于将黎曼几何中的结果推广到芬斯勒几何，却对芬斯勒几何中的非黎曼几何量（即那些在黎曼流形上为零的几何量）认识不足，忽略了对芬斯勒几何中那些与黎曼几何不同的性质和结构的研究幸运的是这种状况从上世纪九十年代初开始有了根本的变化这首先要感谢数学大师陈省身先生的大力倡导和鼓励凭着对芬斯勒几何的深刻理解和洞察力，陈先生与美籍华人数学家沈忠民及DBao等人在这一时期发表了一系列重要成果（如见[8,10]），将芬斯勒几何带入了一个真正繁荣的时期同时，我们已处在一个科技时代，运用计算机进行符号计算和大规模计算已成为现实，这极大地促进了对芬斯勒几何的研究如人们已构造出大量具有重要曲率性质的芬斯勒度量，为对芬斯勒度量进行深入研究提供了重要启示和支撑近年来，芬斯勒几何得到快速而长足的发展芬斯勒几何中的各种曲率（黎曼几何量与非黎曼几何量）已得到广泛关注和研究，它们对芬斯勒空间结构的影响也越来越为人们所理解（如见[11]）与此同时，芬斯勒几何的理论与方法在数学及其它众多自然科学领域中的应用价值也日益突出（如见[12,13]）芬斯勒几何已显现出充满勃勃生机的发展势头

2 芬斯勒几何的若干重要进展

芬斯勒几何中的旗曲率（flag curvature）是黎曼几何中截面曲率的自然拓广给定流形M上的一个芬斯勒度量F，旗曲率是切平面P和P中方向y的函数K=K(P，y)如果旗曲率只是切丛TM\{0}上的标量函数K=K(x,y)，我们称F具有标量旗曲率（scalar flag curvagure）特别地，若K=常数，我们称F具有常数旗曲率芬斯勒几何中的一个重要问题是研究和刻划具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量，这也是芬斯勒几何学家十分关注的一个热点问题芬斯勒几何中与此相关的另一重要问题是研究和刻划射影平坦芬斯勒度量，这是正则情形下的Hilbert第四问题一个重要的基本事实是：射影平坦芬斯勒度量必然具有标量旗曲率在黎曼几何情形，Beltrami证明了：一个黎曼度量是射影平坦的充分必要条件是它具有常曲率然而，我们可以找到无穷多个具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量，它们是非射影平坦的人们也已找到了许多具有标量旗曲率的芬斯勒度量，它们的旗曲率不是常数这表明刻划和分类具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量的工作远比黎曼几何情形复杂，其内容也比黎曼几何情形要丰富得多由于计算的相对复杂性，对特殊情形的研究和例子在芬斯勒几何中是非常重要的芬斯勒几何学家首先对Randers度量作了大量深入研究2003年，美籍华人数学家沈忠民（ZShen）首先完成了对射影平坦且具有常数旗曲率的Randers度量的分类；然后，他又分别利用Taylor展开式和代数方程刻划了射影平坦且具有常数旗曲率的芬斯勒度量的局部度量结构；在此基础上，沈忠民与DBao等人运用黎曼流形上的Zermelo导航术完成了对具有常数旗曲率的Randers度量的分类（见[11]）日本数学家MMatsumoto等人也对具有常数旗曲率的Randers度量的分类作了大量工作（如见[13]）进一步，人们研究了一类比Randers度量更一般化且在生物（态）学、物理学等领域中有重要背景的芬斯勒度量——（α,β）-度量．（α,β）-度量是一类非常丰富的可计算的芬斯勒度量，它们在芬斯勒几何中扮演了一个非常重要的角色近年来，人们之所以能对芬斯勒几何中的各种曲率展开研究并能更好地理解其几何意义，这要部分地归功于对（α,β）-度量的研究人们目前已完全确定了某些重要而特殊的射影平坦且具有常数旗曲率的（α,β）-度量的局部结构，为确定一般的射影平坦且具有常数旗曲率的芬斯勒度量的局部结构提供了有力支撑，也丰富了这一领域的研究内容

在芬斯勒几何中存在若干重要的几何量（如（平均）Cartan张量、S曲率、（平均）Landsberg曲率、（平均）Berwald曲率等），它们在黎曼空间中是等于零的，因而被称为非黎曼几何量我们说，黎曼几何量（如旗曲率，Ricci曲率等）刻划空间的形状，而非黎曼几何量则描述空间的“色彩”已有的研究表明：芬斯勒度量的旗曲率与非黎曼几何量有密切联系因此，在研究具有标量（常数）曲率的芬斯勒度量的结构和性质的时候，人们自然地要考虑度量所满足的某种非黎曼曲率（几何量）性质华人数学家在这一领域的研究中得到了一系列重要结果：刻划了具有标量旗曲率且具有迷向S曲率的芬斯勒度量的旗曲率，并首先完成了对局部射影平坦且具有迷向S曲率的Randers度量的分类；更一般地，运用Zermelo导航术思想，完成了对具有标量旗曲率且具有迷向S曲率的Randers度量的分类；进而又完成了对局部射影平坦且具有迷向S曲率的芬斯勒度量的分类人们也对具有其它非黎曼曲率性质（如具有相对迷向的（平均）Landsberg曲率）的芬斯勒度量作了大量研究，得到了一系列富有意义的成果有关这方面的工作可参见[11,14,15]这一方向的研究正方兴未艾，对深入研究具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量的结构和性质有重要意义，对揭示这类度量的神秘面纱必将产生深远的影响

芬斯勒几何学家在刻划芬斯勒度量局部结构方面取得的成果为研究芬斯勒度量的整体性质奠定了重要基础，为对芬斯勒度量作整体分析提供了大量例子近十几年来，芬斯勒几何学家对芬斯勒度量的整体性质作了大量研究，并取得了一系列重要结果（参见[8,16,17]）如关于常旗曲率芬斯勒空间的整体结构，法国籍伊朗裔数学家AkbarZadeh证明了：在紧致流形上，任何具有负常数旗曲率的芬斯勒度量一定是黎曼度量，任何旗曲率为0的芬斯勒度量一定是局部Minkowski度量进一步，莫小欢与沈忠民证明了：在维数大于2的紧致芬斯勒流形上，若芬斯勒度量具有标量旗曲率且其旗曲率是负的，则芬斯勒度量一定是Randers度量[18]（这也说明了研究Randers度量的重要性）另一方面，作为研究芬斯勒度量整体性质的重要基础，人们对芬斯勒几何中若干重要的比较定理作了深入研究我们知道，在黎曼几何中，BishopGromov体积比较定理在黎曼流形的整体微分几何中扮演了一个非常重要的角色1997年，沈忠民引入了S-曲率（即mean covariation）,建立了一个关于芬斯勒度量的体积比较定理，将黎曼几何中的BishopGromov体积比较定理推广到了芬斯勒流形，并得到了若干关于芬斯勒流形的准紧性（percompactness）和有限性（finiteness）定理他还进一步研究了S曲率为0的完备芬斯勒流形的共轭半径的重要性质另一方面，相对于芬斯勒度量的局部性质而言，目前人们对芬斯勒度量整体性质的研究仍远远不够，对芬斯勒度量整体性质的认识还不够丰富可以肯定，芬斯勒度量的整体性质必将是几何学家们的新的研究热点

芬斯勒子流形几何是芬斯勒几何的重要组成部分，是芬斯勒几何学家长期关注的重点之一人们一直在努力探求芬斯勒子流形的局部与整体结果，进而促使人们更好地理解芬斯勒流形的结构与性质，并已取得了一些重要成果如沈忠民于1998年引入了芬斯勒子流形的平均曲率与法曲率概念，得到了关于Minkowski空间中子流形的若干的整体结果，并以n维欧氏空间为底流形构造出了一个芬斯勒度量，使得相应的芬斯勒流形不可能等距地嵌入到任何Minkowski空间中同时，人们对Minkowski空间中子流形的若干其它重要问题也开展了卓有成效的研究工作但就总体而言，对芬斯勒子流形几何的研究并没有与黎曼子流形几何同步，还有很多重要问题未得到应有的重视和研究，有待几何学家去探索和耕耘

近几年来，中国数学家也在研究芬斯勒流形的调和映照方面取得了若干重要进展同时，来自芬斯勒几何的整体（通常是非线性的）分析问题也在挑战着从事几何分析的数学家们

3 展望

由于芬斯勒几何中相对复杂的计算，刻划具有标量旗曲率的芬斯勒度量的工作还远未彻底完成，很多具有标量旗曲率的芬斯勒度量的分类工作还没有做即使对具有常数旗曲率的芬斯勒度量，人们也远未完成其分类的工作因此，研究和刻划具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量的性质和结构仍然是芬斯勒几何发展中的一个重点根据目前芬斯勒几何的发展趋势可以预计，人们将在不久的将来构造出更多的满足一定曲率条件的芬斯勒度量的例子，并完成对某些具有重要应用背景且具有特殊曲率性质的（α，β）-度量的分类在此基础上，人们将逐步完成对具有标量旗曲率且具有某些特殊曲率性质的芬斯勒度量的分类，具有标量旗曲率的芬斯勒度量的神秘面纱将逐渐被人们揭开

芬斯勒度量的整体几何与拓扑性质将是芬斯勒几何的另一个研究热点这一方向的研究包括：进一步揭示非黎曼几何量对芬斯勒度量整体结构和旗曲率的影响，深入研究具有标量旗曲率的芬斯勒度量的整体结构，对芬斯勒度量作整体分析并研究芬斯勒度量的刚性，探究Ricci曲率与芬斯勒流形拓扑的关系，特别是研究和揭示Einstein度量空间的拓扑结构等目前人们已知的芬斯勒度量的局部性质及大量具有重要价值的例子将为这一领域的研究提供强有力的支撑我们可以期待在这一领域会有一系列重要进展

芬斯勒子流形几何对丰富芬斯勒几何理论富有重要价值这一领域的研究内容是令人向往的如关于黎曼流形的切丛与单位切球丛的几何及黎曼流形上的极小或调和单位向量场已被广泛研究和讨论，并且仍是前沿研究的一个热点之一但在芬斯勒几何情形，相应的内容还没有得到足够的重视，相关结果还很少因此，芬斯勒几何学家将在未来的研究工作中深入研究芬斯勒流形的切丛与单切球丛的几何，并深入研究芬斯勒流形上的极小或调和单位向量场，探讨极小子流形与调和映照的联系以及它们的几何变分特征，在一定的曲率条件下讨论调和映照的稳定性这些内容都是十分重要和有趣的课题

当然，要对芬斯勒几何的未来作出一个准确、全面的预测是非常困难的这里，我们不妨借用陈省身先生的一个观点来结束本文：“整体黎曼几何在二十世纪后半叶得到了巨大的发展我相信，在二十一世纪，微分几何的主要部分应是黎曼-芬斯勒几何”

参考文献

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笛卡尔对数学最重要的贡献是创立了解析几何。在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究，并成功地将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起。于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。他的这一成就为微积分的创立奠定了基础，而微积分又是现代数学的重要基石。解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一。

笛卡尔不仅提出了解析几何学的主要思想方法，还指明了其发展方向。在他的著作《几何》中，笛卡尔将逻辑，几何，代数方法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，从此，数和形就走到了一起，数轴是数和形的第一次接触。并向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。笛卡尔引入了坐标系以及线段的运算概念。他创新地将几何图形‘转译’代数方程式，从而将几何问题以代数方法求解，这就是今日的“解析几何”或称“座标几何”。

解析几何的创立是数学史上一次划时代的转折。而平面直角坐标系的建立正是解析几何得以创立的基础。直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念可以用代数形式来表示，几何图形也可以用代数形式来表示，于是代数和几何就这样合为一家人了。

此外，现在使用的许多数学符号都是笛卡尔最先使用的，这包括了已知数a, b, c以及未知数x, y, z等，还有指数的表示方法。他还发现了凸多面体边、顶点、面之间的关系，后人称为欧拉-笛卡尔公式。还有微积分中常见的笛卡尔叶形线也是他发现的。

笛卡尔坐标系

在数学里，笛卡儿坐标系（Cartesian坐标系），也称直角坐标系，是一种正交坐标系。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点重合的数轴构成的。在平面内，任何一点的坐标 是根据数轴上 对应的点的坐标设定的。在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。

采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确的表达出来。几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式。

笛卡尔坐标系是由法国数学家勒内·笛卡尔创建的。1637年，笛卡尔发表了巨作《方法论》。这本专门研究与讨论西方治学方法的书，提供了许多正确的见解与良好的建议，对于后来的西方学术发展，有很大的贡献。

为了显示新方法的优点与果效，以及对他个人在科学研究方面的帮助，在《方法论》的附录中，他增添了另外一本书《几何》。有关笛卡儿坐标系的研究，就是出现于《几何》这本书内。

笛卡儿在坐标系这方面的研究结合了代数与欧几里得几何，对于后来解析几何、微积分、与地图学的建树，具有关键的开导力。

轶事：蜘蛛织网和平面直角坐标系的创立

据说有一天，笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形和代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来。一会功夫，蜘蛛又顺这丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看作一个点。他在屋子里可以上，下，左，右运动，能不能把蜘蛛的每一个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以在这三根数轴上找到有顺序的三个数。反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找到一点P与之对应，同样道理，用一组数（X，Y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。

　在数学的哲学中，直觉主义可谓引起引起了现代学术思想的一次革命。数学与哲学的关系一是人们谈论的问题。以下是我整理的数学与哲学的论文的相关资料，欢迎阅读!

数学与哲学的论文篇一

　摘要：在数学哲学中，直觉主义可谓引起引起了现代学术思想的一次革命。虽然直觉主义可以追溯到康德，甚至柏拉图。然而，它是近现代的，20世纪前20年，它作为一个独立的数学哲学思潮而闻名。它是逻辑学哲学中的一次风暴逆袭，是经典数学的有力挑战者。直觉主义强调“构造”，出发于“心智”。直觉主义把整个自然数论视为整个数学的基础，直觉主义拒绝排中律和反证律，抵制实无穷而推崇潜无穷。随着计算机的产生和发展，直觉主义在数字构造中起到了积极的应用。同时，直觉主义对数学哲学的创新 教育 等方面都有着不可忽视的影响。

　关键词：数学哲学 直觉主义 传统逻辑 布劳威尔

　一、 “存在必须是被构造”——直觉主义的产生

　直觉(intuition)一词意为未经充分逻辑推理的，直观的，直接领捂事物本质的思考。与H柏格森、B克罗齐、E胡塞尔等人的直觉主义不同，我们这里所研究的“直觉”并不是指主体对于客观事物的一种直接把握能力，而是指思维的本能上的一种心智活动。在这里，直觉主义提倡的直觉，并非辩证唯物主义的“直观的感觉”，其本意是“先验的心智构造”，以此为出发点，形成了对数学对象“存在性”与“可构造性”等同的要求。[1]直觉主义哲学是一种反理性主义的唯心主义哲学思潮。数学研究中的构造主义是一种有关数学基础的观点，它主张自然数及其某些规律和 方法 ，特别是数学归纳法，是可靠的出发点， 其它 一切数学对象和理论都应该从自然数构造出来。[2]“存在必须是被构造”，这是直觉主义派最著名的 口号 。也因此，直觉主义是一种构造逻辑。直觉派认为，数学中的概念和方法都是必须可以被构造的，非构造性的证明不是直觉主义者能接受的。在数学领域中，集合论悖论的问题不可能通过对已有的数学作某种局部的修改和限制加以解决，而必须依靠一些可信的标准对已有的数学进行全面的审视和改造。直觉主义认为逻辑依赖于数学,而非数学依赖逻辑。数学建立在直觉的基础上。同时，直觉主义认为哲学、逻辑甚至计数等概念都比数学复杂得多,不能作为数学的基础,数学的基础需要更简单、更直接的概念,它就是直觉,直觉是心智的一项基本功能。[3]一位直觉主义数学家阿伦特·海廷(Arend Heyting)在他的论文《数学的直觉主义基础》中指出：“立即处理数学的构造也许是符合直觉主义者的积极态度了。这个构造的最重要基石是一(unity)的概念，它是整数序列所依赖的构造原则。整数必须作为单位(units)来看待，这些单位仅仅由于在这个序列中的位置而相互区别。”[4]61

　直觉主义者认为，数学的基础在于数学直觉，在他们看来，建立在数学直觉之上的理论能使“概念和推理十分清楚地呈现在我们面前”，即“对于思想来说是如此的直接，而其结果又是如此的清楚，以致不再需要任何铸的什么基础了”(A·黑丁:《直觉主义导论》)。任何数学对象被视为思维构造的产物，所以一个对象的存在性等价于它的构造的可能性。这和经典的方法不同，因为经典方法说一个实体的存在性可以通过否定它的不存在性来证明。对于直觉主义者，这是不正确的;不存在性的否定不表示可能找到存在性的构造证明。正因为如此，直觉主义是数学结构主义的一种;但它不是唯一的一类。直觉主义的基本哲学立场是，数学是人类心智“固有”的一种创造活动，是主体的自身的活动，而不是对外在的描述数学概念是一种自主的智力活动的结果，智力活动则是研究自明定律所支配的思想构造。[5]

　二、颠覆传统逻辑，形式主义的逆袭——直觉主义的特点

　直觉主义不承认实无穷，拒绝实际无穷的抽象。也就是说，它不考虑像所有自然数的集合或任意有理数的序列无穷这样的无穷实体作为给定对象。数学上的实无穷思想是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。数学上存在着潜无穷与实无穷之争，就如同哲学上存在着唯物主义与唯心主义之争。而且必将长时间的持续的争论不休。数学上的潜无穷思想是指：把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。举个形象点的例子就是，构成一条直线的点有无穷个，并且这条直线永远延伸着，不会有终结的一天。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。按照全称和条件量词的标准直觉主义，一个证明就是这样的潜无穷结构，这可能是合理的。(达米特《直觉主义逻辑的哲学基础》)[4]142按照此观点，所有的自然数可以构成一个集合，因为可以将所有的自然数看做是一个完成了的无穷整体。很显然，直觉主义支持潜无穷的观点，即把无穷集合看成无限延伸着的序列。

　直觉主义反对排中律，这意味着直觉主义者可能和经典的数学家对一个数学命题的含义有不同理解。排中律和同一律、矛盾律并称为形式逻辑的三大基本规律。传统逻辑首先把排中律当作事物的规律，意为任一事物在同一时间里具有某属性或不具有某属性，而没有其他可能。排中律同时也是思维的规律，即一个命题是真的或不是真的，此外没有其他可能。例如，说A 或 B, 对于一个直觉主义者，是宣称A或B可以证明。但是，对于排中律, A 或 非 A, 是不被允许的，因为不能假设人们总是能够证明命题A或它的否命题。

　直觉主义主要对抗的是形式主义。多个世纪以来，对数学规律的无懈可击的精确性的信念的依据是数学哲学研究的主要对象。直觉主义表示，精确性存在于人类心智之中，形式主义者认为，存在于纸面上。[4]90

　直觉主义具有非逻辑性和整体性。数学直觉是作为逻辑的对立面而介定的一种认识方法,因此非逻辑性是数学直觉的最主要特性。可以说数学直觉的其他特性都是由它的非逻辑性所决定的,这是许多哲学家、科学家的共同见解。[6]直觉主义认为，数学是心灵的创造活动，心灵是丰富的，逻辑则是贫乏的。因此，坚决不能用贫乏的逻辑规则来全面准确地规划丰富的心灵活动。直觉主义的另一位代表人物阿伦特海廷(Arend Heyting)说：“逻辑属于应用数学”。在对于直觉主义整体性上，一个日本数学家有如下精辟的解释：当一个人已经长期而持续地从事了研究并已成为一个完全成熟的研究人员时,他就已经在自己的头脑中形成了一种相对稳定的知识体系。经过他自己的努力,这种知识体系已被综合成为一种特殊的,确定的形式。而且自己综合的工作当然本身就是一种极有价值的 经验 。[7]

　彭加勒在《数学中的直觉和逻辑》一文中写道：

　哲学家告诉我们，纯逻辑永远也不能使我们得到任何东西;它不能创造任何新东西，任何科学也不能仅仅从它产生出来。在某种惫义上，这些哲学家是对的;要构成算术，像要构成几何学或构成任何科学一样，除了纯逻辑之外，还需要其他东西。为了称呼这种东西，我们只好使用直觉这个词。可是，在这同一谕后，潜藏着多少不同的意思呢比较一下这四个公理:(1)等于第三个最的两个量相等;(2)若一定理对数1为真，假定它对N为真，如果我们证明它对N+1为真，则它对所有整数均为真;(3)设在一直线上，C点在A与B之间，D点在A与C之间，则D点将在A与B之间;(4)通过一个定点仅有一条直线与已知直线平行。所有这四个公理都归之于直觉，不过第一个阐明了形式逻辑诸法则中的一个法则;第二个是真实的先验综合判断，它是严格的数学归纳法的基础;第三个求助于想象:第四个是伪定义。直觉不必建立在感觉明白之上;感觉不久便会变得无能为力。[8]

　值得注意的是，直觉主义不是神秘主义。直觉的“不可解释性”并不等于直觉的“神秘性”，尽管直觉是“不可解释”的，但它却有着确定的本质。我们认为，直觉是认识过程中的一种飞跃，因此它就不是一种经验的认识，而是原来的思想路线的中断，不可能按照通常的 思维方式 ，用结论和推理的环节把它连接起来，所以直觉是“不可解释的”。[9]

　三、从Kant到Dummett，直觉主义派的主要人物及其思想

　伊曼努尔·康德(Immanuel Kant, 1724-1804)，从某种意义上来说，直觉主义是由哲学家康德开始的。1755到1770年，康德在哥尼斯堡大学教物理和数学，他认为我们所有的感觉都来自于一个预先假定的外部世界。虽然这些感觉不能提供任何知识，但是被感知到的物体间相互作用就产生了知识。心智将这些感觉梳理清楚，得到对空间和时间的直觉。康德说，感性直觉有两个纯形式，它们是先天知识的原则，这两个纯形式就是空间和时间。空间是外直觉的纯形式，而时间是内直觉的纯形式，它们都不是从外邻经验得来的，而是必然的、先天的观念。空间和时间不是客观存在的，而是心智的创作。心智理解经验，经验唤醒心智。虽然康德的思想有着直觉主义的影子，但是依旧没有直观地提出直觉主义，就数学基础的方法而言，直觉主义是现代的。[10]

　亨利·彭加勒(常译作庞加莱，Henry Poincare，1854-1912)，当代语境中的数学直觉主义的先驱。后人评价为数学哲学与当代数学直觉主义之间的一座桥梁。逻辑主义对于数学基础的理解是虚幻的。它使数学失去基础。然而数学的基础是存在的，它就是我们的直觉。它赋予数学以意义，从而给数学以对象。彭加勒指明了一座(本来就)架在人类精神和数学存在之间的桥梁，那便是我们的数学直觉。[11]彭加勒主张自然数是最基本的直觉，认为数学归纳法是一种包含直观的思维方法，是不能简单地归结为逻辑的。他主张使用有限个词能定义的概念，主张数学对象的可构造性。他还在另一种意义上理解和强调数学直觉，将其看做选择和发明的工具。彭加勒认为，我们有多种直觉。然而，最重要的可以归结为两类：一是“纯粹直觉”，即他通常所说的“纯粹数的直觉”、“纯粹逻辑形式的直觉”、“数学次序的直觉”等，这主要是解析家的直觉;二是“可觉察的直觉”，即想象，这主要是几何学家“形”的直觉。对于这两类直觉，他认为都是必要的，各自发挥着不同的作用。他认为，这两类直觉“似乎发挥出我们心灵的两种不同的本能”，它们像“两盏探照灯，引导陌生人相互来往于两个世界”。[12]

　布劳威尔(LEJBrouwer，1881-1966)，直觉主义真正的创始人和奠基人是布劳威尔。布劳威尔在数学上的直觉主义立场来源于他的哲学。1907年他在博士论文《数学基础》中提出直觉主义观点,认为数学的基础是先验的初始直觉。数学是起源于和产生于头脑的人类活动，不存在于头脑之外，因此，是独立于真实世界的。布劳威尔认为数学思维是智力构造的一个过程，它建造自己的天地，独立于经验，并且只受到必须建立于基本的数学直觉之上的限制。[10]布劳维尔发表的《数学基础》表明直觉主义的立场是强调“直觉”，这并不是说否认数学的逻辑性和严谨性,而只是突出直觉、灵感和创造力在数学中的地位。直觉主义者认为数学不仅是最讲究严格性的科学,也是最富有创造性的科学。布劳维尔认为数学的基础是先验的初始直觉,他和他的学生说他们所说的直觉正是人心对于它本身所构造的东西的清晰理解。[13]布劳维尔修改了康德的先验时空学说，放弃了“外直觉的纯形式”的先验时空概念，以适应非欧几何的发展;池把数学的基本直觉建立在“内直觉的纯形式”的先验时间概念的基础之上。[14]布劳威尔还提出了“二·一原则”(tow-oneness)。他认为这是数学的基本直觉。即假设N成立，则N+1成立。这个过程可以无限重复，创造了一切有限序数，因为“二·一原则”的元素之一可以被认为是一个新的“二·一原则”。布劳威尔认为，在这个数学的基本直觉中，联通和分离、连续和离散得到统一，并直接引出了线性连续统的直觉，即“介于”(between)的直觉。(布劳威尔《直觉主义和形式主义》)[4]93

　阿伦特·海廷(Arend Heyting，1898-1980)，他是布劳威尔的学生。继承了布劳威尔有关数学直觉主义的思想。他认为，直觉主义是从一定的、多少有点任意的假设出发的。它的主题是构造性的数学思想。这使得它处于经典数学之外。形式主义和直觉主义的差别在于，直觉主义的进行独立于形式化，形式化只能追随在数学构造的后面。逻辑不是直觉主义的立足点，数学构造在头脑中是很直接的，结论也应该是很清楚的，所以不需要任何基础。海廷主张，在描述直觉主义数学时，应当在日常生活中去理解。比如，在注视那边树木时，我确信我看到树木，而实际上光波达到我眼中，使我构造出树木这一信念需要相当的训练。这种观点是自然的。两个人说话，我向你灌输意见，实际制造了空气的震动。这是理论的构造。(阿伦特·海廷《论辩》)[4]77-88

　迈克尔·达米特(又译米歇尔·杜麦特Michael Dummett，1925-2011)，当代数学直觉主义学派的代表人物。达米特认为，数学首先是先验的，然后是分析的。达米特曾经从语言学角度和意义理论角度为直觉主义辩护。直觉主义关于数学陈述意义的解释避免了以真概念为核心概念的意义理论的不足，它把说话者关于数学陈述的理解与说话者使用这个陈述的实际能力结合在一起，因此具有很大的优点。从直觉主义关于数学陈述的意义说明出发，达米特提出了以证实为核心概念的新的意义理论的构想。[15]202达米特指出：“对于直觉主义逻辑来说，排中律的双重否定是有效的语义原则，就像二值逻辑认为排中律本身是有效的一样：断言任何陈述既不真也不假是不一致的。”[4]132

　四、直觉主义的意义以及合理性

　直觉主义对古典逻辑中的排中律和双重否定律等原理中的部分原则以及非构造性的结论持否定态度，也不承认数学中的实无限的对象和方法。数学的历史也表明，数学知识与理论不仅无法脱离对外部世界的永恒的依存关系，而且数学的错误不是通过限制数学，如排斥非构造数学和传统逻辑而得到克服的。数学真理的积累以及对谬误的抛弃是通过数学知识的不断增长和理论的不断完善获得的。一句话、数学的生命在于生生不息的创造过程中。庆幸的是，直觉主义由十其思想体系中某种先天的弱点而末成为数学的统治思想。但也应看到其构造思想的重要价值。[16]123-124可以说，直觉主义学派在本质上是主观和荒谬的，以直觉上的可构造性为由来绝对的肯定直觉派数学是不能真正解决问题的。但是，直觉主义揭示了经典逻辑只具有相对的真理性，在具体的数学工作中具有重要意义。

　首先，数学哲学中的直觉主义学派高度认可直觉和个人的创造性思维在科学实践中的作用，推动了现代递归函数论的建立和发展，这无疑对数学的进步起到了很积极的作用。其次，直觉主义者倡导的构造性的能行性的研究方法,促进了人工智能和计算机科学的发展。这种积极探讨可行性方法在计算机数学以及计算机科学中具有重大的现实意义。第三，直觉主义数学哲学的思想方法在素质教育理论研究与实践上，具有宝贵的参考价值。在数学教育中，逻辑的作用很明显，其特征为，从已知知识出发,依据逻辑规则进行推导和演算,一步一步地达到对研究对象的认识。而直觉主义可以跳跃式地认知，虽然能一步得到正确答案，却无法说清楚其中的步骤。直觉主义虽排斥传统逻辑，但与逻辑关系十分密切，对培养良好的数学逻辑观念有着不可忽视的作用。另外，直觉主义有助于培养数学教育中大胆猜测的思维习惯。这种创新和探索精神有利于数学的进步和发展。

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