五大圆幂定理

五大圆幂定理如下：

定理内容：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合，即切线），则有PA×PB=PC×PD 。考虑经过P点与圆心O的直线，设PO交⊙O于M、N，R为圆的半径，则有PA×PB=PC×PD=PM×PN=(OP+R)│OP-R│=│OP²-R²│。

圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳。根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：

1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

3、割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。

从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。

圆幂定理证明：

相交弦定理。如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AD、BC，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以 △PAD∽△PCB。所以有：PA/PC=PD/PB，即：PA×PB=PC×PD 。

割线定理。如图，连接AD、BC。可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有△PAD∽△PCB，同上证得 PA×PB=PC×PD。

切割线定理。如图，连接AC、AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PAC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有△PAC∽△PDA ，易证PA²=PC×PD。

PA、PC均为切线，则∠PAO=∠PCO=直角，在直角三角形中：OC=OA=R，PO为公共边，因此 △PAO≌△PCO。所以PA=PC，所以 PA²=PC²。

综上可知，PA×PB=PC×PD 是普遍成立的。证明完毕。

圆幂定理 圆幂的定义:

一点P对半径R的圆O的幂定义如下：OP^2-R^2

所以圆内的点的幂为负数,圆外的点的幂为正数,圆上的点的幂为零

圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称

相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于ABCD 则有 PA·PB=PC·PD

统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2,L1与圆交于A、B（可重合,即切线）,L2与圆交于C、D（可重合）,则有PA·PB=PC·PD

进一步升华（推论）：

过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2,L1与圆交于A、B（可重合,即切线）,L2与圆交于C、D则PA·PB=PC·PD若圆半径为r,则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （一定要加绝对值,原因见下）为定值这个值称为点P到圆O的幂（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）

若点P在圆内,类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2|

故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值（这就是“圆幂”的由来）

[编辑本段]证明

圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理）

相交弦定理：相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等

证明：连结AC,BD,由圆周角定理的推论,得∠A＝∠D,∠C＝∠B

∴△PAC∽△PDB,∴PA∶PD＝PC∶PB,PA·PB＝PC·PD

割线定理：割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于ABCD 则有 PA·PB=PC·PD,当PA=PB,即直线AB重合,即PA切线是得到切线定理PA^2=PCPD

证明：（令A在PB之间,C在PD之间）因为ABCD为圆内接四边形,所以角CAB+角CDB=180度,又角CAB+角PAC=180度,所以角PAC=角CDB,又角APC公共,所以三角形APC与三角形DPB相似,所以PA/PD=PC/PB,所以PAPB=PCPD

切割线定理：切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项

几何语言：∵PT切⊙O于点T,PBA是⊙O的割线

∴PT2=PA·PB（切割线定理）

推论 从圆外一点因圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等

几何语言：∵PBA、PDC是⊙O的割线

∴pd·pc=PA·PB（切割线定理推论）

问题3：过点 任作直线交定圆于两点 、 ,证明 为定值（圆幂定理）．

证：以 为原点,设圆的方程为

①

过 的直线为

则 、 的横坐标是方程

的两个根 、 ．由韦达定理

于是

圆①也可以写成

①′

其中 为圆的半径的平方．所说的定值 也就是 （原点）与圆心 的距离的平方减去半径的平方．当 在圆外时,这就是自 向圆所引切线（长）的平方．

这定值称为点 到这圆的幂．

在上面证明的过程中,我们以 为原点,这样可以使问题简化．

如果给定点 ,未必是原点,要求出 关于圆①的幂（即 ）,我们可以设直线 的方程为

②

③

是 的倾斜角,表示直线上的点与 的距离．

将②③代入①得

即

,是它的两个根,所以由韦达定理

④

是定值

④是 关于①的幂（当 是原点时,这个值就是 ）．它也可以写成

④′

即 与圆心 距离的平方减去半径的平方．

当 在圆内时,幂值是负值； 在圆上时,幂为0； 在圆外时,幂为正值,这时幂就是自 向圆所引切线长的平方．

以上是圆幂定理的证明,下面看一看它的应用．

问题4：自圆外一点 向圆引割线交圆于 、 两点,又作切线 、 ,、 为切点,与 相交于 ,如图8．求证 、 、 成调和数列,即

证：设圆的方程为

⑤

点 的坐标为 ,的参数方程为

⑥

⑦

其中 是 的倾斜角,表示直线上的点 与 的距离．

⑥⑦代入⑤得

即

、 是它的两个根,由韦达定理

⑧

另一方面,直线 是圆的切点弦,利用前边的结论,的方程为

⑦⑧代入得

因此,这个方程的根 满足

⑨

综合⑧⑨,结论成立．

可以证明,当 在圆内时,上述推导及结论仍然成立．

说明：问题4的解决借用了问题3的方法,同时我们也看到了问题4与问题1、问题2的内在联系．

圆幂=|PO^2-R^2|（该结论为欧拉公式） 所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD。 统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。

编辑本段进一步升华（推论）

过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值） 若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2| 故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B，那么PA·PB等于圆幂的绝对值。（这就是“圆幂”的由来）

编辑本段证明

圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理）

问题1

相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。 证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。 ∴△PAC∽△PDB，∴PA:PD=PC:PB，PA·PB=PC·PD

问题2

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于ABCD 则有 PA·PB=PC·PD，当PA=PB，即直线AB重合，即PA切线时得到切线定理PA^2=PC·PD 证明：（令A在P、B之间，C在P、D之间）因为ABCD为圆内接四边形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC与三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PAPB=PCPD 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT^2=PA·PB（切割线定理） 推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言：∵PBA、PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）

问题3

过点P任作直线交定圆于两点A、B，证明PA·PB为定值（圆幂定理）。 证：以P为原点，设圆的方程为 (x-xO)^2+(y-yO)^2=a① 过P的直线为 x=k1t y=k2t 则A、B的横坐标是方程 (k1t-xO)^2+(k2t-yO)^2=r^2 即 (k1^2+k2^2)t^2-2(k1xO+k2yO)t+xO^2+yO^2-r^2=0 的两个根t1、t2。由韦达定理 t1t2=(xO^2+yO^2-^2)/(k1^2+k2^2) 于是 PA·PB=√((k1t1)^2+(k2t1)^2)√((k1t2)^2+(k2t2)^2) =(√(k1^2+k2^2))^2|t1||t2| =k1^2+k2^2|(xO^2+yO^2-r^2)/(k1^2+k2^2)| =|(xO^2+yO^2-r^2)| 为定值，证毕。 圆①也可以写成 x^2+y^2-2xOx-2yOy+xO^2+yO^2-a=0①′ 其中a为圆的半径的平方。所说的定值也就是（原点）与圆心O的距离的平方减去半径的平方。当P在圆外时，这就是自P向圆所引切线（长）的平方。 这定值称为点P到这圆的幂。 在上面证明的过程中，我们以P为原点，这样可以使问题简化。 如果给定点O，未必是原点，要求出P关于圆①的幂（即OP^2-r^2），我们可以设直线AB的方程为 ② ③ 是 的倾斜角， 表示直线上的点与 的距离． 将②③代入①得 即 ， 是它的两个根，所以由韦达定理 ④ 是定值 ④是 关于①的幂（当 是原点时，这个值就是 ）．它也可以写成 ④′ 即 与圆心 距离的平方减去半径的平方． 当P在圆内时，幂值是负值；P在圆上时，幂为0；P在圆外时，幂为正值，这时幂就是自P向圆所引切线长的平方。 以上是圆幂定理的证明，下面看一看它的应用．

问题4

自圆外一点 向圆引割线交圆于 、 两点，又作切线 、 ， 、 为切点， 与 相交于 ，如图8．求证 、 、 成调和数列，即 证：设圆的方程为 ⑤ 点 的坐标为 ， 的参数方程为 ⑥ ⑦ 其中 是 的倾斜角， 表示直线上的点 与 的距离． ⑥⑦代入⑤得 即 、 是它的两个根，由韦达定理 ⑧ 另一方面，直线 是圆的切点弦，利用前边的结论， 的方程为 ⑦⑧代入得 因此，这个方程的根 满足 ⑨ 综合⑧⑨，结论成立。 可以证明，当 在圆内时，上述推导及结论仍然成立。 说明：问题4的解决借用了问题3的方法，同时我们也看到了问题4与问题1、问题2的内在联系。

如下：

幂等定理是说一个四边形，对角线相连的话可以分为四个三角形，譬如说四边形ABCD对角线相交于点O，那么S△AODS△BOC=S△AOBS△COD。

幂等定理是一个数学与计算机学概念，常见于抽象代数中。在编程中一个幂等操作的特点是其任意多次执行所产生的影响均与一次执行的影响相同。

幂等函数，或幂等方法，是指可以使用相同参数重复执行，并能获得相同结果的函数。这些函数不会影响系统状态，也不用担心重复执行会对系统造成改变。

幂等运算法则口诀

幂等运算也可以在布林代数内找到。逻辑和与逻辑或便都是幂等运算。在线性代数里，投射是幂等的。亦即，每一将向量投射至一子空间V(不需正交)上的线性算子，都是幂等的。

同底数幂的乘法：底数不变，指数相加幂的乘方。

同底数幂的除法：底数不变，指数相减幂的乘方。

幂的指数乘方：等于各因数分别乘方的积商的乘方。

分式乘方：分子分母分别乘方，指数不变。

111030 E66期，因为钟基下车智孝舍不得所以留下眼泪。

101205 e20金希澈来的那欺 最后抢雨伞 ，好像是不小心打了Gary

偶像运动会，因为上一期玩游戏时说智孝有53kg，在偶像那期时找幂PD算账时哭

望采纳

从2010年7月11日开播的Running Man，现在已经播出超过500期，也超过十年，整个的过程不得不说有许多艰辛和困难。

也创造过许多傲人的成绩，成为韩国三大电视台SBS的活招牌，那么是什么原因令它开始走下坡路了呢？

首先Running Man早期的成功也不是一蹴而就的，反而是经历了不停地改善、变动，才能使节目慢慢的获得更多粉丝们的喜爱。

在初期三大PD带领的时期，经历过相当多改版：

版本1:

第一期的版本，简单来说就是分成两队，追击队和任务队，进行团体 游戏 争夺running ball，最后通过抽取running ball的方式确定惩罚对象。（第一个版本，其实并没有特别受观众们的喜爱，虽然继承了刘在石、金钟国这对从《家族诞生》留下高人气成员，但成绩只能说一般般。）

第22期也就是2010年的最后一期，崔始源作为嘉宾开始就不再固定使用running ball了，之后会偶尔用，但已经不是固定环节了。

版本2:

2011年开始有所变动的第二版本的running man开始户外，成员们需要在嘉宾完成任务前找到嘉宾，然后根据找到嘉宾情况分组，然后进行 游戏 。

一开始嘉宾携带的都是手环这类的，后来就逐步演变成我们所知的撕名牌环节，到了38期，刘姆斯邦德水枪篇，更是开启了更多有趣的可能性。

版本3:

定位角色模拟竞赛，例如模拟超级英雄、童话、**、电视剧等等，甚至有些特辑，可能会根据不同角色给予成员们不同能力，撕名牌环节也变得更加多样化。

迎合韩国非常火爆的足球或棒球，找来高人气的职业选手，来做竞赛 游戏 。

基本上初代的三大PD就围绕着上述三个版本的内容，不停地转换，会有很多更新、改变的内容，穿插一些特辑等等，下面来整体说说收视率吧。

2010到11年上半年，收视率时好时坏，但基本上都在10%左右，当然也有一些特别低的，和偏高的，这主要和邀请的嘉宾有关系；

2011年的下半年开始，节目的收视率开始大幅度上涨；

2012年、2013年，两年最高收视都超过20%；

而13年后半期，节目的收视率则是回到来10%，但保持的还算可以；

2014年，收视率正式进入摇摆期，全年有接近三分之一的收视率都是个位数，最高收视率比14年少了5%，最低收视率少了3%。

2015年，一整年超10%的只有20期，最高的是第228期“新年特辑”，李胜基和文彩元作为嘉宾，收视率高达178%，可以说非常难得可贵。

接下来的2016年到2020年，差不多五年的时间中，第379期（171203）“海外惩罚之旅”是唯一一次二部超10%的。

好了，现在讲回我为什么今天写这篇文章的原因。

因为总是会很多人觉得我在洗郑哲民、吹郑哲民，然后他们攻击我的点是，你文章里说郑哲民看重 搞笑 ，为了拉高收视率改版什么什么，那也没见他当主PD的收视率过几次10%吧。

初三大PD，早年过10%是常态，甚至还有超20的呢，反正就是郑哲民没能力，你还非要胡吹。

原谅我笑出了眼泪，这属于没文化，不了解，还搁那信心十足地怼人呀，让我不得不为他们上一节科普课了。

其实不仅仅是RM，三大台的其他综艺节目在13、14年之后，整体综艺的收视率都大降，虽然节目本身有一部分责任和原因，但更重要的因素是竞争压力更大了。

外部压力

KBS《两天一夜》第一季结束之后，李明翰PD在11年4月份辞职去了TvN，罗英锡PD也是紧随其后，在后来KBS罢工时期，差不多整个第一季的211团队都过去了。

于是，自13年起，TvN在综艺方面，先后出产了《花样》系列，《三时三餐》系列，以及《新西游记》、《姜食堂》等等。

那TvN是韩国CJ E&M旗下的有线电视综合 娱乐 频道，相比免费的无线三大台，它属于付费频道，又隶属于大企业CJ名下，真心不差钱，06年创立，12年开始疯狂生产各种影视作品和综艺节目。

11、12年开始，Tvn就各种挖原三大台的作家、PD，买剧本、买动漫版权等等，在电视剧和综艺节目上，仅仅几年时间就取得了惊人的效果，在韩国本土的影响力直逼三大台。

除了提到的那些综艺节目外，在电视剧方面更是有《请回答》系列、《信号》、《德鲁纳酒店》、《孤单又灿烂的神-鬼怪》等等知名作品。

而2010年年底，韩国更是开通了综合编成频道，由每日广播网（Maeil Broadcasting Network）、JTBC、Channel A、朝鲜电视公司（TV Chosun）等四家电视台组成，均在2011年初开播。

其中JTBC那些耳熟能详的综艺包括：《认识的哥哥》、《舌战》、《非首脑会谈》、《拜托了冰箱》等等。

而今年由TV CHOSUN电视台推出的节目《Mr Trot》，最高收视竟然达到了357%，这两年韩国的Trot风实在可怕。

其他几家电视台也都有自家的综艺节目，而15、16年网综、直播、油管博主等模式的兴起，也是对三大台的综艺造成了很大的冲击。

可以这么说吧，如果说13、14年之前，是SBS、KBS和MBC的三足鼎立，而那之后则正式进入各家争蛋糕的时期。

15至16年期间，无论是三大台还是其他电视台，都频繁地开始尝试各种新型综艺，主要的手段有两种，一种是试播、另一种是季播。

那真的什么想法都漫天飞，有的不得不说是确实很有趣，当然有的也就折戟沉沙了。

而Running Man开始出现下滑的趋势，因为当时几乎所有的内容都是以撕名牌和组队 游戏 为主，虽然元素越加越多，但总体而言，大致方向没改变，不过是换汤不换药。

面对各式各样的新颖综艺，一期一个主题，由于没有连贯性，提供收视率的老粉丝很快就被其他综艺给吸引走了。

当然这只是Running Man收视下降的外部原因，时代改变了，事实上如果Running Man不是10年开播，11、12这两年完美避开了这个时期，都很有可能没有如今的影响力。

内部问题

讲完了外部压力，再聊内部问题，第一点，对立冲突的减少，14年之前的李光洙的“背叛”让人又气又好笑，“背叛者联盟”，“李池组合”，都令人津津乐道。

但在14年之后，有关背叛的内容明显地减少，其实成员们也曾经有透露过相关的原因——他们彼此间太熟悉了。

几乎谁今天提前到，或者在录制中出现什么不对劲，大家都会立刻有所察觉，这样一来，对节目的效果就会大打折扣。

也正是这个原因，在14年的时候，节目组就已经经常开始那一套“我预判了你的预判”，其实就是你以为你在骗人，但没想到所有人都在骗你，只不过这也仅仅是指标不治本。

慢慢、慢慢地“间谍”和“背叛”这样的内容都少了许多。

再加上由于节目性质的局限性，没有无挑那种经常做长期特辑的方式、也不能像21那样因为季播的缘故，更换成员，慢慢慢慢，RM这个以 游戏 为主旨的节目，进入了 游戏 思想枯竭的时期，没有好的创意，更新不了新的 游戏 环节。

第二点，撕名牌对于任何一个喜爱Running Man的粉丝来说，都是不能遗忘的，或者说它是把RM推上巅峰的 游戏 。

有最激烈冲突的代表，也有出乎意料的情节反转，感觉是个近乎完美的 游戏 。

但无可奈何，这对于成员们的身体要求也比较高，一方面由于成员们年龄的增长，身体伤病的积攒。

金钟国在其他节目中说过，PD们在每次RM拍摄之前，都会先询问其身体情况，因为他患有痛风，如果痛风发作或者其他地方不舒服，那意味着当天就无法进行激烈的 游戏 环节。

另外就是韩国观众对综艺的眼光越来越高，单一的撕名牌无法满足他们的欣赏水平，觉得千篇一律，还不如看其他新综艺呢。

而当15年开始，节目因为上述原因而开始逐渐用其他环节代替撕名牌的时候，却又使得一些热爱这个环节的粉丝，进而对节目失望，并放弃了追看。

那经过16、17年的种种事情后，郑哲民当上了主PD，讲得直白一些，他主要对《Running Man》的贡献其实就两点：一是引进了新成员（不要在评论里引战，我说了，韩国本土观众看厌了固定不变的成员，以及老成员们之间太过熟悉，节目效果变差，因此成员的变动是必须的，包括无挑、21都有这样的变动。）；二则是他开启了RM的长期特辑，包括海外惩罚系列、四周嘉宾系列、Rm9周年企划等等。

长期特辑的优势可以参考金泰浩的《无限挑战》、以及现在的《闲着干嘛呢？》；成员变动的优势，可以参考罗英锡《三时三餐》和《新西游记》。

也正是这两个大的变动，使得原本没有方向了的节目，重新开始转好，收视率也不再是只跌不升，至少在郑哲民当主PD的时候，基本稳定在7、8。

这是自制的16-20年Running Man的PD图表，绿色部分是郑哲民担任主PD、**部分是李焕镇PD、朴龙宇PD、郑哲民PD三人轮班的，而那这里有一个事实：

这五年中，包括回来帮忙的幂PD、林PD，以及担任过主PD的李焕镇、朴龙宇、金韩振、崔宝弼等人，五年所有的最高收视率都是出自郑哲民之手。

所以他能力差吗？至少我不觉得。

那现任宝弼PD做了郑哲民PD好几年的助理，吸纳了前辈身上不少的优点，现在也开始对各种 游戏 环节进行升级。

比如说，在撕名牌和水枪战的基础上，现在开发了新的追击战模式，也正在准备开发更多其他的想法和 游戏 ，当然对于我们粉丝，自然希望Running Man可以越做越好。

1、圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称

2、相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等

3、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项

4、割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于ABCD则有PA·PB=PC·PD

5、统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2,L1与圆交于A、B（可重合,即切线）,L2与圆交于C、D（可重合）,则有PA·PB=PC·PD

6、进一步升华（推论）：过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2,L1与圆交于A、B（可重合,即切线）,L2与圆交于C、D则PA·PB=PC·PD若圆半径为r,则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2|（一定要加绝对值,原因见下）为定值这个值称为点P到圆O的幂（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）。若点P在圆内,类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2|，故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值（这就是“圆幂”的由来）。