泛函的产生

十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。

本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲开创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。

由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。

非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。

背景渊源就是，几乎一切的分析学，到最后还是要用来解方程。所以答案很简单，就是很多非常自然而困难的方程问题都是非线性的，比如Kdv，Hilbert流形上Morse理论，黎曼流形嵌入等等，很多著名的方法比如Nash-Moser反函数定理，Leray-Schauder理论，也都是为了处理方程问题诞生的。

DFT 计算在Hartree-Fock 计算的每一主要阶段上添加一个另外的步骤。这一步是泛函

（或各种泛函的导数）的数值积分。因此除了来源于Hartree-Fock 计算的数值误差（积分

的精度，SCF 收敛，CPHF 收敛）之外，DFT 计算的精度还与数值积分使用的网格点数有关。

Gaussian 03 默认为“较密的”积分网格(对应于Integral=FineGrid)。该网格以最少

的额外耗时最大限度地提高计算精度。不推荐在DFT 计算中使用更疏的网格。还要注意，在

比较能量时（如计算能量差，生成热等），所有计算需要使用相同的积分网格。

需要的话可以使用较密的网格（如进行某些分子体系较严格的几何优化计算）。在计算

执行路径中可以用Int(Grid= N)选取不同的积分网格（详见Integral 关键字的说明）。

应用

能量，解析梯度和解析频率；ADMP 计算。

相关关键字

IOp，Int=Grid，Stable，TD, DenFit

解：花B是有界线性算子的意思，此题分两部分证明，先证明是线性的然后在证明有界。

设α = (a1,a2an),β = (b1,b2bn);

α，β∈l1空间；及任意m∈数域K；

T(α+β) = T(a1+b1,a2+b2an+bn)

= (0,0,a1+b1,a2+b2an+bn)

= (0,0a1,a2,,an)+(0,0,b1,b2bn)

= Tα + Tβ；

T(mα) = T(ma1,ma2man)

= (0,0,ma1,ma2man)

= m(0,0,a1,a2an)

= mTα；

所以T是线性的；

||α|| = |a1| + |a2| + +|an|=|0| + |0| + |a1| + |a2| + |an| + =||Tα||;

即存在1＞0使得||Tα||≤||α||;

即T有界；

所以T∈B(l1,l1);

实变函数 的概念 是 相对 复变函数 而言的

以变量为实数的函数为研究对象的数学分支 （范畴）

研究内容包括数学分析 （与之并列的内容 包括数值计算 图形学等）

既然规定变量为实变量 显然相应的数学分析是实分析

泛函分析 则是数学分析的一个分支 （可以认为是一种研究方法）