已知Rt△ABC，E、F为边AB、AC上的点，D为边BC的中点，且∠EDF=90°。求证：BE平方+CF平方=EF平方

延长ED至H，使DH=DE，连接CH、FH。

易证△DEB≌△DHC

∴CH=BE，∠HCD=∠B

∵∠B+∠BCA=180°-∠A=90°

∴∠HCD+∠BCA=∠HCF=90°

∵FD⊥EH，DE=DH

∴FH=EF

∵在Rt△CHF中，CH^2+CF^2=FH

∴BE^2+CF^2=EF^2

常用周长面积公式：

1、长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2

2、正方形的周长=边长×4 C=4a

3、长方形的面积=长×宽 S=ab

4、正方形的面积=边长×边长 S=a×a

5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2

三角形角的性质：

1、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。

3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

6、 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

解证：

如图：过D作AB平行线交BC于H, 

        ∵ DF=EF

            DH∥AB

     所以，∠DHF=∠EBF

               ∠DFH=∠EFB

     所以，△DHF≌△EBF

      所以，DH=BE

          又∵ DH∥AB

      所以，∠DHC=∠ABC

          又∵ AB=AC

       所以，∠C=∠ABC

     所以，∠DHC=∠C

      所以，DH=DC

     所以，DC=BE

推荐使用面积法

简便起见, 在等式中就用△ABC来表示△ABC的面积

首先借用你的图看一个面积法的基本图形

△ABC与△ADC有公共的底边AC, 因此面积比等于AC边上的高之比,

即B, D到AC的距离比, 进而等于BO:DO

于是得到结论: △ABC:△ABC = BO:DO

这个图形有一些变化, 比如B, D在AC的同侧, 或者A, C在BD的同侧, 结论都是成立的

以下多次用到这个图形, 就不特别注明了

(1) 用同一法, 连GH, 分别交AC, BD于O1, O2, 证明O1 = O2

只要证明GO1:HO1 = GO2:HO2

GO1:HO1 = △AGC:△AHC

而△AGC:△AGB = CF:BF, △AHC:△DHC = AE:DE

代入得GO1:HO1 = CF/BF·△AGB /(AE/DE·△DHC) = CF/BF·DE/AE·△AGB /△DHC

另一方面, GO2:HO2 = △BGD:△BHD

而△BGD:△AGB = DE:AE, △BHD:△DHC = BF:CF

代入得GO2:HO2 = DE/AE·△AGB /(BF/CF·△DHC) = CF/BF·DE/AE·△AGB /△DHC

因此GO1:HO1 = GO2:HO2, O1 = O2 = O, 证毕

注: 这个结论是Pappus定理

(2) 没有其它条件的话, 这一问的结论是不对的, 见下图

MN明显与PQ不平行

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