x∈(0,∏2) 如何判断x>tanx 还是x

x∈(0,∏2) 如何判断x>tanx 还是x,第1张

x∈(0,∏/2):

画一个单位圆,取圆心角为X,即弧度为X(从圆心引出一条射线交圆O于A,并延长交圆的竖直切线OM于B,M是水平直径圆周上的点,过A点引OM的垂线交OM于C点),则在图中

sinX表示AC长

X表示圆弧长,即圆心角X所对的圆弧的长度,

tanX表示BM长

显然有sinX

证明:设⊙O为单位圆,图不好画,你可以照着我说的画:OA是一条水平的半径,以OA为边,在第一象限作一个锐角α,另一边交单位圆于点B,过A作AE⊥OA,E在OB的延长线上,过B作BD⊥OA

对于圆心角α=∠BOA(α是弧度制),有sinα=BD,cosα=OD,tanα=EA,弧长AB=αR=α,

因为α为锐角,根据图形可知:S△OBA<S扇形OBA<S△OEA,

即(1/2)OABD<(1/2)弧长ABR<(1/2)OAEA,

因为OA=R=1,

再约去1/2,得BD<α<EA,

将sinα=BD,tanα=EA代入,即可得到:

sinα<α<tanα

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