主成份分析 spss

主成分分析不是一个独立的统计阶段，而是一个初步结果，其应用有两个方面：

一是主成分评价，另一个是主成分回归。这里，我只给您介绍主成分评价。

主成分评价的步骤：

第一步，对原始数据进行无量纲化处理，公式是减均值比上标准差。

如果用统计软件SPSS操作，则点击菜单“分析---描述统计---描述”，把全部变量选进变量框，勾选“将标准化得分另存为变量”，然后点确定，

第二步， 计算特征根、方差贡献率、累计方差贡献率以及主成分载荷矩阵

在SPSS点击菜单“分析--降维--因子分析”，把标准化后的所有变量调入变量框，确定。得表1和表2。表1给出了两个主成分的特征根，分别是5624和1997（例）。

表1 方差分析表

表2（例）    主成分矩阵

第三步，提取主成分

由表1可知，提取了两个主成分，这两个主成分的累计方差贡献率高达95261%，表明提取前两个主成分可以基本反映全部8个指标所具有的信息。

第四步，计量特征向量

特征向量等于主成分矩阵（表2）除以特征值的平方根。表3即计算出的两个特征向量：

表3 特征向量表

第五步， 计算主成分得分

利用这两个公式可以求出两个主成分F1和F2的得分。

第六步，计算综合得分

表9从略。

主成分分析不需要旋转，因子分析才需要。

 希望能帮上您！刘得意统计服务

1输入数据。

2点Analyze 下拉菜单，选Data Reduction 下的Factor 。

3打开Factor Analysis后,将数据变量逐个选中进入Variables 对话框中。

4单击主对话框中的Descriptive按扭，打开Factor Analysis: Descriptives子对话框，在Statistics栏中选择Univariate Descriptives项要求输出个变量的均值与标准差，在Correlation Matrix 栏内选择Coefficients项，要求计算相关系数矩阵，单击Continue按钮返回Factor Analysis主对话框。

5单击主对话框中的Extraction 按钮，打开如下图所示的Factor Analysis: Extraction 子对话框。在Method列表中选择默认因子抽取方法——Principal Components，在Analyze 栏中选择默认的Correlation Matrix 项要求从相关系数矩阵出发求解主成分，在Exact 栏中选择Number of Factors;6， 要求显示所有主成分的得分和所能解释的方差。单击Continue按钮返回Factor Analysis主对话框。

6单击主对话框中的OK 按钮，输出结果。

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地理环境是多要素的复杂系统，在我们进行地理系统分析时，多变量问题是经常会遇到的。变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。因此，我们就会很自然地想到，能否在各个变量之间相关关系研究的基础上，用较少的新变量代替原来较多的变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来较多的变量所反映的信息？事实上，这种想法是可以实现的，本节拟介绍的主成分分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的方法。

第一节 主成分分析方法的原理

主成分分析是把原来多个变量化为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。假定有n个地理样本，每个样本共有p个变量描述，这样就构成了一个n×p阶的地理数据矩阵：

如何从这么多变量的数据中抓住地理事物的内在规律性呢？要解决这一问题，自然要在p维空间中加以考察，这是比较麻烦的。为了克服这一困难，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合指标来代替原来较多的变量指标，而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。那么，这些综合指标（即新变量)应如何选取呢？显然，其最简单的形式就是取原来变量指标的线性组合，适当调整组合系数，使新的变量指标之间相互独立且代表性最好。

如果记原来的变量指标为x1，x2，…，xp，它们的综合指标——新变量指标为x1，x2，…，zm（m≤p)。则

在（2)式中，系数lij由下列原则来决定：

（1)zi与zj（i≠j；i，j=1，2，…，m)相互无关；

（2)z1是x1，x2，…，xp的一切线性组合中方差最大者；z2是与z1不相关的x1，x2，…，xp的所有线性组合中方差最大者；……；zm是与z1，z2，……zm-1都不相关的x1，x2，…，xp的所有线性组合中方差最大者。

这样决定的新变量指标z1，z2，…，zm分别称为原变量指标x1，x2，…，xp的第一，第二，…，第m主成分。其中，z1在总方差中占的比例最大，z2，z3，…，zm的方差依次递减。在实际问题的分析中，常挑选前几个最大的主成分，这样既减少了变量的数目，又抓住了主要矛盾，简化了变量之间的关系。

从以上分析可以看出，找主成分就是确定原来变量xj（j=1，2，…，p)在诸主成分zi（i=1，2，…，m)上的载荷lij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，p)，从数学上容易知道，它们分别是x1，x2，…，xp的相关矩阵的m个较大的特征值所对应的特征向量。

第二节 主成分分析的解法

主成分分析的计算步骤

通过上述主成分分析的基本原理的介绍，我们可以把主成分分析计算步骤归纳如下：

（1)计算相关系数矩阵

在公式（3)中，rij（i，j=1，2，…，p)为原来变量xi与xj的相关系数，其计算公式为

因为R是实对称矩阵（即rij=rji)，所以只需计算其上三角元素或下三角元素即可。

（2)计算特征值与特征向量

首先解特征方程|λI-R|=0求出特征值λi（i=1，2，…，p)，并使其按大小顺序排列，即λ1≥λ2≥…，≥λp≥0；然后分别求出对应于特征值λi的特征向量ei（i=1，2，…，p)。

（3)计算主成分贡献率及累计贡献率

一般取累计贡献率达85-95%的特征值λ1，λ2，…，λm所对应的第一，第二，……，第m（m≤p)个主成分。

（4)计算主成分载荷

由此可以进一步计算主成分得分：

第三节 主成分分析应用实例

主成分分析实例

对于某区域地貌-水文系统，其57个流域盆地的九项地理要素：x1为流域盆地总高度（m)x2为流域盆地山口的海拔高度（m)，x3为流域盆地周长（m)，x4为河道总长度（km)，x5为河

表2-14 某57个流域盆地地理要素数据

道总数，x6为平均分叉率，x7为河谷最大坡度（度)，x8为河源数及x9为流域盆地面积（km)的原始数据如表2-14所示。张超先生（1984)曾用这些地理要素的原始数据对该区域地貌-水文系统作了主成分分析。下面，我们将其作为主成分分析方法在地理学研究中的一个应用实例介绍给读者，以供参考。

表2-15相关系数矩阵

（1)首先将表2-14中的原始数据作标准化处理，由公式（4)计算得相关系数矩阵（见表2-15)。

（2)由相关系数矩阵计算特征值，以及各个主成分的贡献率与累计贡献率（见表2-16)。由表2-16可知，第一，第二，第三主成分的累计贡献率已高达865%，故只需求出第一，第二，第三主成分z1，z2，z3即可。

表2-16 特征值及主成分贡献率

（3)对于特征值λ1=5043，λ2=1746，λ3=0997分别求出其特征向量e1，e2，e3，并计算各变量x1，x2，……，x9在各主成分上的载荷得到主成分载荷矩阵（见表2-17)。

表2-17 主成分载荷矩阵

从表2-17可以看出，第一主成分z1与x1，x3，x4，x5，x8，x9有较大的正相关，这是由于这六个地理要素与流域盆地的规模有关，因此第一主成分可以被认为是流域盆地规模的代表：第二主成分z2与x2有较大的正相关，与x7有较大的负相关，而这两个地理要素是与流域切割程度有关的，因此第二主成分可以被认为是流域侵蚀状况的代表；第三主成分z3与x6有较大的正相关，而地理要素x6是流域比较独立的特性——河系形态的表征，因此，第三主成成可以被认为是代表河系形态的主成分。

以上分析结果表明，根据主成分载荷，该区域地貌-水文系统的九项地理要素可以被归为三类，即流域盆地的规模，流域侵蚀状况和流域河系形态。如果选取其中相关系数绝对值最大者作为代表，则流域面积，流域盆地出口的海拔高度和分叉率可作为这三类地理要素的代表，利用这三个要素代替原来九个要素进行区域地貌-水文系统分析，可以使问题大大地简化。

二、内梅罗水质指数污染

表1 内梅罗水质指数污染等级划分标准 P <1 1～2 2～3 3～5 >5 水质等级 清洁 轻污染 污染 重污染 严重污染 表2 地表水环境质量标准（GB3838—2002） 单位：mg/L 序 号 项 目 V类标准值 1 水温(℃) — 2 PH值（无量纲） 6—9 3 溶解氧 ≥ 2 4 高锰酸盐指数 ≤ 15 5 化学需氧量 ≤ 40 6 五日生化需氧量 ≤ 10 7 氨氮 ≤ 20 8 总磷 ≤ 04 9 总氮 ≤ 20 10 铜 ≤ 10 11 锌 ≤ 20 12 氟化物 ≤ 15 13 硒 ≤ 002 14 砷 ≤ 01 15 汞 ≤ 0001 16 镉 ≤ 001 17 铬（六价） ≤ 01 18 铅 ≤ 01 19 氰化物 ≤ 02 20 挥发酚 ≤ 01 21 石油类 ≤ 10 22 硫化物 ≤ 10 23 粪大肠菌群（个/L） ≤ 40000 表3 水质评价计算方法 单因子污染指数 Pi = Ci/ Si Ci——第i项污染物的监测值； Si——第i项污染物评价标准值； 溶解氧指数Cf——对应温度T时的饱和溶解氧浓度；

Ci——溶解氧浓度监测值；

Si——溶解氧评价标准值；　　　　　　　　　　　　　　　　pH指数pHi——pH监测值；

pHS,min——评价标准值的下限；

pHS,max ——评价标准值的上限；污染物超标倍数Ci ——第i项污染物的监测值；

C0 ——第i项污染物评价标准值； 内梅罗指数Pmax ——单因子污染指数的最高值；

Pi ——第i项污染物的污染指数；

n ——参与评价污染物的项数； 常用的客观赋权法之一:熵值法

熵是信息论中测度一个系统不确定性的量。信息量越大，不确定性就越小，熵也越小，反之，信息量越小，不确定性就越大，熵也越大。熵值法主要是依据各指标值所包含的信息量的大小，利用指标的熵值来确定指标权重的。熵值法的一般步骤为：

(1)、对决策矩阵作标准化处理，得到标准化矩阵，并进行归一化处理得：

(2)、计算第个指标的熵值：。其中。

(3)、计算第个指标的差异系数。对于第个指标，指标值的差异越大，对方案评价的作用越大，熵值越小，反之，差异越小，对方案评价的作用越小，熵值就越大。因此，定义差异系数为：。

(4)、确定指标权重。第个指标的权重为：。

效益型和成本型指标的标准化方法

对于效益型（正向）指标和成本型（逆向）指标，由于这两者是最常见并且使用最广泛的指标，所以，对这两种指标标准化处理的方法也最多，一般的处理方法有：

1 极差变换法

该方法即在决策矩阵中，对于效益型指标，令

=

对于成本型指标，令

=

则得到的矩阵称为极差变换标准化矩阵。其优点为经过极差变换后，均有，且各指标下最好结果的属性值，最坏结果的属性值。该方法的缺点是变换前后的各指标值不成比例。

2 线性比例变换法

即在决策矩阵中，对于效益型指标，令

=

对成本型指标，令

=

或

=

则矩阵称为线性比例标准化矩阵。该方法的优点是这些变换方式是线性的，且变化前后的属性值成比例。但对任一指标来说，变换后的和不一定同时出现。

3 向量归一化法

即在决策矩阵中，对于效益型指标，令

对于成本型指标，令

则矩阵称为向量归一标准化矩阵。显然，矩阵的列向量的模等于1，即。该方法使，且变换前后正逆方向不变，缺点是它是非线性变换，变换后各指标的最大值和最小值不相同。

4 标准样本变换法

在中，令

其中，样本均值，样本均方差，则得出矩阵，称为标准样本变换矩阵。经过标准样本变换之后，标准化矩阵的样本均值为，方差为。

5 等效系数法

对成本型指标，令

=

该方法的优点是变换前后的指标值成比例，缺点是各指标下方案的最好与最差指标值标准化后不完全相同。

另外，关于效益型指标的标准化处理还有：

=

关于成本型指标的标准化处理还有：

=

固定型指标的标准化方法

对于固定型指标，若设为给定的固定值，则标准化处理的方法主要有以下几种，即令

或

或

或

(415)式的特点是各最优属性值标准化后的值均为1，而各最差属性的值标准化后的值不统一，即不一定都为0。

若设和分别是人为规定的最优方案和最劣方案，在该情形下，还给出了效益型、成本型和固定型指标的新的标准化方法。

对效益型和成本型，有：

对固定型指标则有：

区间型指标的标准化方法

对区间型的指标，其指标标准化处理的方法主要有以下几式：

设，令

或令

显然，还可以简化为：

或令

或令

其中，是指给定的某个固定区间，即属性值越接近该区间越好。

偏离型指标的标准化方法

对越来越偏离某值越好的偏离性指标，一般有如下标准化公式：

或令

（对都有）

或令

偏离型指标是与固定型指标相对立的一种指标类型，它的公式使用可以用固定型指标的公式改造，但在使用时要注意其公式的适用范围。

偏离区间型指标的标准化方法

对偏离区间型指标，有如下标准化的方法：

令

或令

或令

其中，是某个固定区间，属性值越偏离该区间越好。偏离区间型指标是与区间型指标相对立的一种指标类型。

按照常理，距离断层的距离越远，滑坡越少，为什么这里的系数为（0812），同样，对于加速度（PGA,-0851），为什么是负数，负数的意思是不是表示：加速度越大，滑坡越不容易。这样理解和常识不符，但是荷载举证的系数是负值。

因子得分系数矩阵可以直接的出来的，在得分（score）那个选项里面有显示因子得分系数矩阵那一项。matlab使用主成分分析的话，主要考虑特征值占比近85的几个特征值，它们对应的也就是前几列得分系数。

扩展资料：

在因子分析中，通常只选其中m个（m<p）主因子，即根据变量的相关选出第一主因子ƒ1，使其在各变量的公共因子方差中所占的方差贡献为最大，然后消去这个因子的影响，而从剩余的相关中，选出与之不相关的因子，使其在各个变量的剩余因子方差贡献中为最大，如此往复，直到各个变量公共因子方差被分解完毕为止。

-因子载荷