双曲线有哪些性质？

1、取值区域：

x≥a,x≤-a或者y≥a,y≤-a

2、对称性：

关于坐标轴和原点对称。

3、顶点：

A(-a,0) A’(a,0) AA’叫做双曲线的实轴，长2a；B(0,-b) B’(0,b) BB’叫做双曲线的虚轴，长2b。

4、渐近线：  

横轴：y=±(b/a)x  竖轴：y=±(a/b)x

5、离心率：

e=c/a 取值范围：（1，+∞）

6、双曲线上的一点到定点的距离和到定直线(相应准线)的距离的比等于双曲线的离心率。

7、双曲线焦半径公式：

圆锥曲线上任意一点到焦点距离。过右焦点的半径r=|ex-a|；过左焦点的半径r=|ex+a| 

8、等轴双曲线 

双曲线的实轴与虚轴长相等，2a=2b e=√2

9、共轭双曲线 

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 与 (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 叫共轭双曲线 

（1）共渐近线 

（2）e1+e2>=2√2 

10、准线： 

x=±a^2/c,或者y=±a^2/c

11、通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）：

2b^2/a

12、焦点弦长公式：

2pe/(1-e^2cos^2θ) [p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角] 或2p/sin^2θ

13、d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下： 

由直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2)  得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 

分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ] 

稍加整理即得：  |AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)

扩展资料：

一、光学性质：

从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用。

二、相关定义：

定义1：

平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。

定义2：

平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（（e>1），即为双曲线的离心率）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。双曲线准线的方程为（焦点在x轴上）或（焦点在y轴上）。

定义3：

一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。

定义4：

在平面直角坐标系中，二元二次方程F（x，y）=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。

参考资料：

－双曲线

因为a,b,c顺次组成一个等比数列

所以ac=b^2

又 a^2+b^2=c^2

所以ac=b^2=c^2-a^2

即ac=c^2-a^2

两边同时除以a^2

得c/a=(c/a)^2-1

e=c/a代入

得 e=e^2-1 => e^2-e-1=0

解之得 e=(1±√5)/2,e>0

所以 e=(1+√5)/2

祝愉快

标准方程为：

1、焦点在X轴上时为： (a>0,b>0)

2、焦点在Y 轴上时为： (a>0,b>0)

一般的，双曲线（希腊语“ὑπερβολή”，字面意思是“超过”或“超出”）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。

a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。

扩展资料：

特征介绍

分支

可以从图像中看出，双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时，为左轴与右轴；当焦点在y轴上时，为上轴与下轴。

焦点

在定义1中提到的两个定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。焦点的横（纵）坐标满足c²=a²+b²。

准线

在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线。

离心率

在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。

离心率

双曲线有两个焦点，两条准线。（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线，但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。）

顶点

双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点。

实轴

两顶点之间的距离称为双曲线的实轴，实轴长的一半称为实半轴。

虚轴

在标准方程中令x=0，得y²=-b²，该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1（0，b）和B2（0，-b），以B1B2为虚轴。

渐近线

双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。 

渐近线的方程求法是：将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解，例如：将1替换为0，得，则双曲线的渐近线为  。

一般地我们把直线叫做双曲线（焦点在X轴上）的渐近线（asymptotetothehyperbola）。

焦点在y轴上的双曲线的渐近线为  。顶点连线斜率 双曲线y上一点与两顶点连线的斜率之积为。

参考资料:---双曲线

设双曲线为x^2/a^2-y^2/a^2＝1

任意点(x0,y0)

点到中心的距离的平方等于x0^2+y0^2

因为x^2-y^2=a^2

两边同加x^2+y^2-a^2

得x0^2+y0^2=2x0^2-a^2

点到两焦点的乘积等于|(ex+a)(ex-a)|

因为e＝根号2

所以|(ex0+a)(ex0-a)|＝2x0^2-a^2

所以点到两焦点的乘积等于点到中心的距离的平方

所以等轴双曲线上的一点到中心的距离是它到两焦点距离的比例中项

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