斯特凡·巴拿赫的贡献

巴拿赫的主要工作是引进线性赋范空间概念，建立其上的线性算子理论，他证明的三个基本定理概括了许多经典的分析结果，在理论上和应用上都有重要的价值。人们把完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。此外，在实变函数论方面，他在1929年同K库拉托夫斯基合作解决了一般测度问题。在集合论方面，他于1924年同 A塔尔斯基合作提出巴拿赫-塔尔斯基悖论。

巴拿赫不仅自己在科学上作出了巨大贡献，而且培育了一大批青年数学家，为形成强大的利沃夫泛函分析学派奠定了基础．他培养青年的方式中有一种很特别，这就是“咖啡馆聚会”．当年利沃夫学派的一个年青学者S．乌拉姆(后来去美国定居，在二次大战中参与原子弹的研制)，曾写过一篇文章，题为“回忆苏格兰咖啡馆”，其中写道：“巴拿赫一天生活中有相当多的时间消磨在咖啡馆，当有同事和年轻同行围坐时，他可以滔滔不绝地讲上几个钟头．…咖啡桌跟大学研究所和数学会的会场一样，成了爆发数学思想火花的圣地．”“在苏格兰咖啡馆(利沃夫城内一间受数学家欢迎的咖啡馆)的频繁聚会中，数学家提出了各种问题．有时问题很多，大家觉得应该记录下来，于是在咖啡馆内专门准备了记录本，以便随时使用(咖啡馆的侍者也乐意给以方便，因为这免得他们擦洗涂在桌上的数学式子)．于是，这些记录本就产生了一部传奇式的书：‘苏格兰书’．由于提问者当时或后来都很著名，使得这些记录具有重要的科学与历史价值，而且具有一种引起人们求知欲望的力量．由于巴拿赫夫人的功劳，这些‘苏格兰书’免遭战火，奇迹般地保存了下来”．此书后来由E．马尔采夫斯基(Marczewski)和斯泰因豪斯负责编辑出版．原稿由巴拿赫的儿子(一位博士)献给了巴拿赫国际数学中心。

巴拿赫空间上线性算子谱点的概念是有限维矩阵特征值概念的推广。设T是巴拿赫空间，X到X的线性算子,定义域为D(T),λ为复数。如果(λI-T)有定义在全空间X上的有界的逆算子，那么称λ是算子T的正则点。T的正则点全体称为T的预解集,记为ρ(T)。ρ(T)的余集C \ρ(T)称为T的谱集,简称为谱,记为σ(T)。

因此 σ(T)是由那些使 (λI－T)没有定义在全空间上的有界的逆算子的复数λ全体组成。σ(T)中的复数称为T的谱点。T的谱点有以下几类:①(λI-T)没有逆算子,这时X中必存在x≠0，使(λI-T)x=0,称这种λ为T的点谱(或特征值)，其全体记为σp(T)。②(λI－T)没有有界的逆算子，这时必存在xn∈X,‖xn‖=1使‖(λI-T)xn‖→0，称这种λ为T的近似点谱,其全体记为σα(T)。③(λI-T)有有界逆算子,但不定义于全空间,称这种λ为T的剩余谱,其全体记为σr(T)。④(λI-T)有稠定逆算子,而逆算子是无界的，称这种λ为T的连续谱，其全体记为σ0(T)。

当T是巴拿赫空间X上稠定闭算子时，ρ(T)必是复平面上开集，从而σ(T)是闭集，(λI-T)-1是定义在ρ(T)上的算子值解析函数,称为T的预解式,常记为R(λ ,T)。在点λ 0∈ρ(T)的附近R(λ，T)必有展开式 ，

而且对λ,μ∈ρ(T)，成立预解式方程

。 设(,B)是一个可测空间,B是一个σ代数(见测度论)，E是定义在 B上取值为希尔伯特空间h上投影算子的映射； 如果满足①E()=I,②可列可加性(若{Mn}是B中一列互不相交的集合,则成立，那么称E为(,B)上谱测度，(,B,E)为h上的谱测度空间。

设(,B,E)是h上一个谱测度空间,ƒ是(,B)上可测函数。如果存在h上算子F，使对一切x，y∈h成立(也记作，上式右边表示ƒ关于由义的复测度的积分）,就称F是ƒ关于E的谱积分，记为或。

设巴拿赫空间E'具有基{xn}(n=1，2，3，…)。证明：

(1){xn}是线性无关的；

(2)令W为使∑n=1∞cnxn在E中收敛的序列w={xn}的全体，在W中定义范数

则W为巴拿赫空间；

(3)令fn(x)=cn(n=1，2，3，…)，这里x=n=1∞cnxn则fn是E上的有界线性泛函。

这里映射是指X到Y的一个映射，当然Rf包含于Y，不一定Rf=Y。例如：y=x^2是R到R的一个映射，但y的值域是》0的实数，它是实数集R的子集。

映射定理是多仿射映射下多项式族的值集性质的重要定理。该定理是研究多仿射映射下多项式族的稳定性的重要工具之一。在泛函分析中，映射定理是一个基本的结果，它说明如果巴拿赫空间之间的连续线性算子是满射的，那么它就是一个开映射。

定理说明：

精确地(Rudin 1973, 定理211):如果X和Y是巴拿赫空间，A : X → Y是一个满射的连续线性算子，那么A就是一个开映射（也就是说，如果U是X内的开集，那么A(U)在Y内是开放的）。 

该定理的证明用到了贝尔纲定理，X和Y的完备性都是十分重要的。如果仅仅假设X或Y是赋范空间，那么定理的结论就不一定成立。然而，如果X和Y是弗雷歇空间，那么定理的结论仍然成立。

泛函分析研究的什么？　　学习泛函，首先要问泛函研究的是什么？可以用下图来解释：　　1映射指的是算子和泛函。　　2空间:　　X是定义在某数域上的一些对象的集合，若X是线性空间，在X上赋上距离，则就是赋距离线性空间；在X上赋上范数，则就是赋范数线性空间；在X上赋上内积，就是内积空间（也是赋范数线性空间）。　　控制方向的学生可参考教材：《应用泛函分析---自动控制的数学基础》清华大学出版社作者:韩崇昭（西安交通大学）此书可供研究生和博士生阅读。　　编辑本段什么是泛函分析　　泛函分析泛函分析（FunctionalAnalysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（StefanBanach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（VitoVolterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。编辑本段赋范线性空间概况　　从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类泛函分析空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。　　泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C代数和其他算子代数的基本概念。希尔伯特空间　　希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。巴拿赫空间　　一般的巴拿赫空间比较复杂，例如没有通用的办法构造其上的一组基。　　对于每个实数p，如果p≥1，一个巴拿赫空间的例子是所有绝对值的p次方的积分泛函分析收敛的勒贝格可测函数所构成的空间。（参看Lp空间）　　在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。　　微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。编辑本段主要结果和定理　　泛函分析的主要定理包括：　　1一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。　　2谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。　　3罕-巴拿赫定理（Hahn-BanachTheorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。　　4开映射定理和闭图像定理。编辑本段泛函分析与选择公理　　泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基，必须要使用佐恩引理（Zorn'sLeema）。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建与罕-巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理（AxiomofChoice）弱于布伦素理想定理（Booleanprimeidealtheorem）的一个形式。编辑本段泛函分析的研究现状　　泛函分析目前包括以下分支：　　1软分析（softanalysis），其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。　　2巴拿赫空间的几何结构，以JeanBourgain的一系列工作为代表。　　3非交换几何，此方向的主要贡献者包括AlainConnes，其部分工作是以GeorgeMackey的遍历论中的结果为基础的。　　4与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如按照IsraelGelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。编辑本段泛函分析的产生　　十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。　　本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了希尔伯特空间的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。　　由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。　　非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。　　这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。　　这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。　　研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。编辑本段泛函分析的特点和内容　　泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是函数空间的点或矢量，这样最后得到了抽象空间这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。　　泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。　　正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。　　泛函分析是分析数学中最年轻的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。　　半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。　　泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。|||泛函分析的内容　　半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。　　泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。|||泛函分析（FunctionalAnalysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。