泛函分析的拓扑线性空间

由于泛函分析源自研究各种函数空间，在函数空间里函数列的收敛有不同的类型（譬如逐点收敛，一致收敛，弱收敛等等），这说明函数空间里有不同的拓扑。而函数空间一般是无穷维线性空间。所以抽象的泛函分析研究的是一般的（无穷维的）带有一定拓扑的线性空间。

拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。 这是最常见，应用最广的一类拓扑线性空间。比如有限闭区间上的连续函数空间，有限闭区间上的k次可微函数空间。或者对于每个实数p，如果p ≥ 1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。（参看Lp空间）

在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。

微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。 最基本的算子是保持拓扑线性空间结构的算子，称作线性算子。如果像空间是拓扑线性空间所在的数域（特别的，一个一维拓扑线性空间）那么这样的算子成为线性泛函。

在线性算子的理论中有几个非常基本而重要的定理。

1一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。

2罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。

3开映射定理和闭图像定理。

4谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。 十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。

由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。

非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的映像。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。

20世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。 泛函分析目前包括以下分支：

软分析（soft analysis），其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。

巴拿赫空间的几何结构，以Jean Bourgain的一系列工作为代表。

非交换几何，此方向的主要贡献者包括Alain Connes，其部分工作是以George Mackey的遍历论中的结果为基础的。

与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如按照Israel Gelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。

数学定理列表:

　 数学定理列表（按字母顺序排列）

　 阿贝尔-鲁菲尼定理

　 阿蒂亚-辛格指标定理

　　阿贝尔定理

　　安达尔定理

　　阿贝尔二项式定理

　　阿贝尔曲线定理

　　艾森斯坦定理

　　奥尔定理

　　阿基米德中点定理

　　波尔查诺-魏尔施特拉斯定理

　　巴拿赫-塔斯基悖论

　　伯特兰-切比雪夫定理

　　贝亚蒂定理

　　贝叶斯定理

　　博特周期性定理

　　闭图像定理

　　伯恩斯坦定理

　　不动点定理

　　布列安桑定理

　　布朗定理

　　贝祖定理

　　博苏克-乌拉姆定理

　　垂径定理

　　陈氏定理

　　采样定理

　　迪尼定理

　　等周定理

　　代数基本定理

　　多项式余数定理

　　大数定律

　　狄利克雷定理

　　棣美弗定理

　　棣美弗-拉普拉斯定理

　　笛卡儿定理

　　多项式定理

　　笛沙格定理

　　二项式定理

　　富比尼定理

　　范德瓦尔登定理

　　费马大定理

　　法图引理

　　费马平方和定理

　　法伊特-汤普森定理

　　弗罗贝尼乌斯定理

　　费马小定理

　　凡�6�1奥贝尔定理

　　芬斯勒-哈德维格尔定理

　　反函数定理

　　费马多边形数定理

　　格林公式

　　鸽巢原理

　　吉洪诺夫定理

　　高斯-马尔可夫定理

　　谷山-志村定理

　　哥德尔完备性定理

　　惯性定理

　　哥德尔不完备定理

　　广义正交定理

　　古尔丁定理

　　高斯散度定理

　　古斯塔夫森定理

　　共轭复根定理

　　高斯-卢卡斯定理

　　哥德巴赫-欧拉定理

　　勾股定理

　　格尔丰德-施奈德定理

　　赫尔不兰特定理

　　黑林格-特普利茨定理

　　华勒斯-波埃伊-格维也纳定理

　　霍普夫-里诺定理

　　海涅-波莱尔定理

　　亥姆霍兹定理

　　赫尔德定理

　　蝴蝶定理

　　绝妙定理

　　介值定理

　　积分第一中值定理

　　紧致性定理

　　积分第二中值定理

　　夹挤定理

　　卷积定理

　　极值定理

　　基尔霍夫定理

　　角平分线定理

　　柯西定理

　　克莱尼不动点定理

　　康托尔定理

　　柯西中值定理

　　可靠性定理

　　克莱姆法则

　　柯西-利普希茨定理

　　戡根定理

　　康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理

　　凯莱-哈密顿定理

　　克纳斯特-塔斯基定理

　　卡迈克尔定理

　　柯西积分定理

　　克罗内克尔定理

　　克罗内克尔-韦伯定理

　　卡诺定理

　　零一律

　　卢辛定理

　　勒贝格控制收敛定理

　　勒文海姆-斯科伦定理

　　罗尔定理

　　拉格朗日定理 (群论)

　　拉格朗日中值定理

　　拉姆齐定理

　　拉克斯-米尔格拉姆定理

　　黎曼映射定理

　　吕利耶定理

　　勒让德定理

　　拉格朗日定理 (数论)

　　勒贝格微分定理

　　雷维收敛定理

　　刘维尔定理

　　六指数定理

　　黎曼级数定理

　　林德曼-魏尔斯特拉斯定理

　　毛球定理

　　莫雷角三分线定理

　　迈尔斯定理

　　米迪定理

　　Myhill-Nerode定理

　　马勒定理

　　闵可夫斯基定理

　　莫尔-马歇罗尼定理

　　密克定理

　　梅涅劳斯定理

　　莫雷拉定理

　　纳什嵌入定理

　　拿破仑定理

　　欧拉定理 (数论)

　　欧拉旋转定理

　　欧几里德定理

　　欧拉定理 (几何学)

　　庞加莱-霍普夫定理

　　皮克定理

　　谱定理

　　婆罗摩笈多定理

　　帕斯卡定理

　　帕普斯定理

　　普罗斯定理

　　皮卡定理

　　切消定理

　　齐肯多夫定理

　　曲线基本定理

　　四色定理

　　算术基本定理

　　斯坦纳-雷姆斯定理

　　四顶点定理

　　四平方和定理

　　斯托克斯定理

　　素数定理

　　斯托尔兹-切萨罗定理

　　Stone布尔代数表示定理

　　Sun-Ni定理

　　斯图尔特定理

　　塞瓦定理

　　射影定理

　　泰勒斯定理

　　同构基本定理

　　泰勒中值定理

　　泰勒公式

　　Turán定理

　　泰博定理

　　图厄定理

　　托勒密定理

　　Wolstenholme定理

　　无限猴子定理

　　威尔逊定理

　　魏尔施特拉斯逼近定理

　　微积分基本定理

　　韦达定理

　　维维亚尼定理

　　五色定理

　　韦伯定理

　　西罗定理

　　西姆松定理

　　西尔维斯特-加莱定理

　　线性代数基本定理

　　线性同余定理

　　有噪信道编码定理

　　有限简单群分类

　　演绎定理

　　圆幂定理

　　友谊定理

　　因式定理

　　隐函数定理

　　有理根定理

　　余弦定理

　　中国剩余定理

　　证明所有素数的倒数之和发散

　　秩-零度定理

　　祖暅原理

　　中心极限定理

　　中值定理

　　詹姆斯定理

　　最大流最小割定理

　　主轴定理

　　中线定理

　　正切定理

　　正弦定理

两个发散的级数之和可能收敛也可能发散。如

1）∑(1/n) 与 ∑(1/n²-1/n) 均是发散的，但和是收敛的；

2）∑(1/n) 与 ∑(1/n²+1/n) 均是发散的，和也是发散的。

如果一个级数是收敛的，这个级数的项一定会趋于零。因此，任何一个项不趋于零的级数都是发散的。不过，收敛是比这更强的要求：不是每个项趋于零的级数都收敛。其中一个反例是调和级数。

扩展资料：

收敛级数映射到它的和的函数是线性的，从而根据哈恩-巴拿赫定理可以推出，这个函数能扩张成可和任意部分和有界的级数的可和法，这个事实一般并不怎么有用，因为这样的扩张许多都是互不相容的，并且也由于这种算子的存在性证明诉诸于选择公理或它的等价形式，例如佐恩引理，所以它们还都是非构造的。

发散级数这一分支，作为分析学的领域，本质上关心的是明确而且自然的技巧，例如阿贝尔可和法、切萨罗可和法、波莱尔可和法以及相关对象。维纳陶伯型定理的出现标志着这一分支步入了新的阶段，它引出了傅里叶分析中巴拿赫代数与可和法间出乎意料的联系。

发散级数的求和作为数值技巧也与插值法和序列变换相关，这类技巧的例子有：帕德近似、Levin类序列变换以及与量子力学中高阶微扰论的重整化技巧相关的依序映射。

--发散

泛函分析正常人可以学。

1、适合学习泛函分析的人群

对于数学基础扎实的人来说，泛函分析是可以学习的，但对于数学基础薄弱的人来说，可能需要花费更多的时间和精力去补充数学基础或者先学习一些入门的课程。

2、泛函分析基本定义

泛函分析是数学中的一个分支，主要研究函数和函数空间等代数结构以及它们的性质与应用。相比于初等数学和高等数学，泛函分析具有更高的抽象性和数学严谨性，需要掌握一定的数理逻辑、线性代数、拓扑学等相关知识。

3、学习泛函分析的方法

除了数学基础之外，学习泛函分析还需要具备一定的数学思维和抽象能力，并且需要刻苦努力、勤奋学习。对于非专业的学生来说，可以通过参加一些在线课程、阅读相关书籍、参加泛函分析学习小组等方式去学习泛函分析。

泛函分析算子、选择公理及特点：

1、泛函分析算子

在具体的函数空间上，有对函数的各种各样的操作。最典型的是对函数求导数的操作。这样的操作一般叫做算子。作为一个拓扑空间之间的映射，总可以要求算子是连续映射。对拓扑线性空间上的算子的研究构成了泛函分析的一个很大的分支领域。

2、选择公理

泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基，必须要使用佐恩引理（Zorn's Lemma）。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建与罕—巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理弱于布伦素理想定理的一个形式。

3、泛函分析的特点

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是函数空间的点或矢量，这样最后得到了抽象空间这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。

题目有误，按照错误题目解出的不符合历史（巴拿赫 1892-1945） 错题解： 1945开根号为441，也就是应该比该年龄小，合适的有两解 44的1936（显然不可能，只能活9岁） 43的1849 则唯一可能是43岁，生于1849年,终年96岁 正确题目是：巴拿赫病故于1945年8月31日,他出生的年份恰好是他在世某年年龄的平方与他该年龄的差 设他在世时某年年龄为x，则 1800<xx<1945，且x为自然数。其出生年份x的平方-x=x（x-1），他在世年龄1945-x（x-1）。x应为44或略小于此的数。而x=44时，x（x-1）=44×43=1892，算得其在世年龄为1945-1892=53；又x=43时，x（x-1）=43×42=1806，得其在世年龄为1945-1806=139；若x再取小，其在世年龄越大。故x=44，即1892年，终年53岁