高斯消元法的介绍

数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂，不常用于加减消元法，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分省时。一些极大的方程组通常会用迭代法以及花式消元来解决。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。

选列主元素消元法：在高斯消去法的消元过程中第k步要求除以akk,为了防止除数为零或除数太小造成的误差过大的问题，在消元开始是先将该列最大元（绝对值）所在行移到消元第一行在除akk，然后消元。

列主元消去法虽然和高斯消去法原理一样，但是列主元消去法可以减小舍入误差，精度比较高，是解决小型稠密矩阵的一个较好的算法。而高斯消去法虽然编程简单，但是计算量大，而且对于两个相近的解时由于舍入误差的存在，使得结果误差很大。

引起其他元素

的数量级及舍人误差急剧增大，导致最终计算结果不可靠。为了避免在高斯消去法应用中可能出现的这类问题，就发展形成了列主元、全主元等多种消去法。

这些方法的基本点在于对高斯消去法的过程作某些技术性修改，全面或局部地选取绝对值最大的元素为主元素，从而构成了相应的主元(素)消去法。列主元(素)消去法以处理简单、相对计算量小的特点，在各类主元消去法中得到最为广泛的应用。

程序如下function

x=gauss(A,b)

%高斯求解方程组%x=gauss(A,b)n=length(A);a=[A,b];for

k=1:n-1

maxa=max(abs(a(k:n,k)));

if

maxa==0

return;

end

for

i=k:n

if

abs(a(i,k))==maxa

y=a(i,k:n+1);a(i,k:n+1)=a(k,k:n+1);a(k,k:n+1)=y;

break;

end

end

for

i=k+1:n

l(i,k)=a(i,k)/a(k,k);

a(i,k+1:n+1)=a(i,k+1:n+1)-l(i,k)a(k,k+1:n+1);

endend%回代if

a(n,n)==0

returnendx(n)=a(n,n+1)/a(n,n);for

i=n-1:-1:1

x(i)=(a(i,n+1)-sum(a(i,i+1:n)x(i+1:n)))/a(i,i);end

调用示例如下：>>

A=[2,-1,3;4,2,5;1,2,0];

>>

b=[1;4;7];

>>

x=gauss(A,b)x

=

9

-1

-6

你这个是科学计算的吧，列主元消去法虽然和高斯消去法原理一样，但是列主元消去法可以减小舍入误差，精度比较高，是解决小型稠密矩阵的一个较好的算法。而高斯消去法虽然编程简单，但是计算量大，而且对于两个相近的解时由于舍入误差的存在，使得结果误差很大。

function x=gauss_lie(A,b)

%采用高斯列主元法求解方程组Ax=b

n=length(b);

p=1:n;lu=A;

y=[];

for k=1:n

[c,i]=max(abs(lu(k:n,k)));

ik=i+k-1;

if ik~=k

m=p(k);p(k)=p(ik);p(ik)=m;

ck=lu(k,:);lu(k,:)=lu(ik,:);lu(ik,:)=ck;

end

if k==n

break;

end

lu(k+1:n,k)=lu(k+1:n,k)/lu(k,k);

lu(k+1:n,k+1:n)=lu(k+1:n,k+1:n)-lu(k+1:n,k)lu(k,k+1:n);

end

l=diag(ones(n,1))+tril(lu,-1);

u=triu(lu);

y(1)=b(p(1));

for i=2:n

y(i)=b(p(i))-l(i,1:i-1)y(1:i-1)';

end

x(n)=y(n)/u(n,n);

for i=n-1:-1:1

x(i)=(y(i)-u(i,i+1:n)x(i+1:n)')/u(i,i);

end

x=x';

先说如何调用的，用高斯消元法做的

//By JJ,2008

#include<iostreamh>

#include"01h"

void main()

{

equation a;

aInputData();

asolve_eqution();

cinget();

cinget();

}

下面是以前写的类，可能要你自己修改一下

#include<iomaniph>

const int Max_Number=20;

class equation

{

private:

int number; //方程个数

char value[Max_Number]; //未知量

double modulus[Max_Number][Max_Number]; //方程系数

double constant[Max_Number]; //右端常数

public:

equation(int _number=0); //构造函数

void InputData(); //输入数据

void solve_eqution(); //高斯全主元消去

void gauss_all_valueiaoqu(); //Gauss全主元消去法

void gauss_calculate(); //高斯消去法以后计算未知量的结果

void evaluechange_hang(int m,int n);

void evaluechange_a_lie(int m,int n);

void evaluechange_value(int m,int n);

};

equation::equation(int _number)

{

number=_number;

}

//----------------------------初始化数据为0

void equation::InputData()

{

int i,j;

if(number==0)

{

cout<<"输入方程的个数:";

cin>>number;

}

//--------------初始化变量符号为默认的a,b,c

for(i=0;i<number;i++)

value[i]='a'+i;

//---------输入数据------01提示如何输入

cout<<"====================================================\n";

cout<<"请在每个方程里输入"<<number<<"系数和一个常数:\n";

cout<<"例：\n方程:a";

for(i=1;i<number;i++)

{

cout<<"+"<<i+1<<value[i];

}

cout<<"=10\n";

cout<<"应输入:";

for(i=0;i<number;i++)

cout<<i+1<<" ";

cout<<"10\n";

cout<<"==============================\n";

//---------02输入每个方程

for(i=0;i<number;i++)

{

cout<<"输入方程"<<i+1<<":";

for(j=0;j<number;j++)

cin>>modulus[i][j];

cin>>constant[i];

}

}

//高斯全主元排列求解方程

void equation::solve_eqution()

{

int i,j;

gauss_all_valueiaoqu();

if(modulus[number-1][number-1]!=0)

{

gauss_calculate();

for(i=0;i<number;i++) //输出结果

{

for(j=0;value[j]!='a'+i&&j<number;j++);

cout<<value[j]<<"="<<constant[j]<<endl;

}

}

else

cout<<"系数行列式等于零,方程没有唯一的解\n";

}

void equation::gauss_all_valueiaoqu() //Gauss全主元消去法

{

int i,j,k,mavaluei,mavaluej;double lik;

cout<<"用Gauss全主元消去法结果如下:\n";

for(k=0;k<number-1;k++)

{

for(mavaluei=mavaluej=i=k;i<number;i++)

{

for(j=k;j<number;j++)

if(modulus[i][j]>modulus[mavaluei][ mavaluej])

{ mavaluei=i;

mavaluej=j;

}

}

if(mavaluei!=k)

evaluechange_hang(k,mavaluei);

if(mavaluej!=k)

{

evaluechange_a_lie(mavaluej,k); //交换两列

evaluechange_value(mavaluej,k);

}

for(i=k+1;i<number;i++)

{

lik=modulus[i][k]/modulus[k][k];

for(j=k;j<number;j++)

modulus[i][j]=modulus[i][j]-modulus[k][j]lik;

constant[i]=constant[i]-constant[k]lik;

}

}

}

void equation::gauss_calculate() //高斯消去法以后计算未知量的结果

{

int i,j;double sum_avalue;

constant[number-1]=constant[number-1]/modulus[number-1][number-1];

for(i=number-2;i>=0;i--)

{

for(j=i+1,sum_avalue=0;j<number;j++)

sum_avalue+=modulus[i][j]constant[j];

constant[i]=(constant[i]-sum_avalue)/modulus[i][i];

}

}

void equation::evaluechange_hang(int m,int n) //交换a[][]中和b[]两行

{

int j; double temp;

for(j=0;j<number;j++)

{ temp=modulus[m][j];

modulus[m][j]=modulus[n][j];

modulus[n][j]=temp;

}

temp=constant[m];

constant[m]=constant[n];

constant[n]=temp;

}

void equation::evaluechange_a_lie(int m,int n) //交换a[]中的两列

{ double temp;int i;

for(i=0;i<number;i++)

{ temp=modulus[i][m];

modulus[i][m]=modulus[i][n];

modulus[i][n]=temp;

}

}

void equation::evaluechange_value(int m,int n) //交换未知量x[m]与x[n]

{ char temp;

temp=value[m];

value[m]=value[n];

value[n]=temp;

}

高斯消去法,又称高斯消元法,实际上就是我们俗称的加减消元法

数学上,高斯消去法或称高斯－约当消去法,由高斯和约当得名（很多人将高斯消去作为完整的高斯－约当消去的前半部分）,它是线性代数中的一个算法,用于决定线性方程组的解,决定矩阵的秩,以及决定可逆方矩阵的逆当用于一个矩阵时,高斯消去产生“行消去梯形形式”

例如：一个二元一次方程组,设法对每个等式进行变形,使两个等式中的同一个未知数的系数相等,这两个等式相减,得到一个新的等式,在这个新的等式中,细数相等的未知数就被除去了（系数为0）

同样的也适合多元多次方程组

逐次将第一行乘以某一系数，

然后加到第二行和第三行上，使第一行和第三行左侧第一位数字为零

然后用第二行乘以某一系数加到第三行上使其第二位数也为零。

即可以求出方程的所有解