西门子plc仿真器不能和STEP7连接。在“设置PGPC接口”中，找不到仿真器。

详见：

http://zhidaobaiducom/linkurl=s54myiGvrzQicE2mpdBNrqrKBelCIvWW61tC6hb82hZ0-dbOdOFRMCGR89CIJ2NGOkG4RsON_P2NxQhXBcu7eyc6SShMQiIKJycDcPlKrLO

一、选择题

1．已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与α的位置关系(　　)

A．b∥α　　　 B．b与α相交

C．b⊂α D．b∥α或b与α相交

[答案]　D

[解析]　∵a，b相交，∴a，b确定一个平面为β，如果β∥α，则b∥α，如果β不平行α，则b与α相交．

2．下列命题中正确的是(　　)

①过一点一定存在和两条异面直线都平行的平面

②直线l、平面α与同一条直线m平行，则l∥α

③若两条直线没有公共点，则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行

A．① B．③

C．①③ D．①②③

[答案]　B

[解析]　举反例，即特例法

①当点在一条直线上时，不存在；

②l⊂α，m∥l时，②错；

③两直线a、b无公共点，有两种情况：i)a∥b　ii)a、b异面，都存在平面α经过直线b，且α∥a

故选B

3．在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则MN与平面BDC的位置关系是(　　)

A．MN⊂平面BDC

B．MN与平面BDC相交

C．MN∥平面BDC

D．MN与平面BDC位置关系不确定

[答案]　C

[解析]　∵＝　∴MN∥BD

又MN⊄面BDC　∴MN∥面BDC

4．给出下列结论

(1)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行．

(2)过直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行．

(3)a、b是异面直线，则过b存在惟一一个平面与a平行．

其中正确的有(　　)

A．1个　 B．2个　

C．3个　 D．4个

[答案]　A

[解析]　(1)错　(2)错

(3)正确　在b上取一点B，过这点平行于a的直线只有一条a′，b与a′确定唯一平面α，且a∥α

5．异面直线a、b分别在α、β内，α∩β＝l，则直线l与a、b的位置关系一定是(　　)

A．l至少与a、b中一条相交

B．l至多与a、b中一条相交

C．l至少与a、b中一条平行

D．l与a、b都相交

[答案]　A

[解析]　由条件知，l与a都在平面α内，l与b都在平面β内，若l与a、b都不相交，则l∥a，l∥b，从而a∥b，与a、b异面矛盾，∴l至少与a、b中的一条相交．

6．给出下列结论：

(1)平行于同一条直线的两条直线平行；

(2)平行于同一条直线的两个平面平行；

(3)平行于同一平面的两条直线平行；

(4)平行于同一个平面的两个平面平行．

其中正确的个数为(　　)

A．1个　 B．2个　

C．3个　 D．4个

[答案]　B

[解析]　由公理4知(1)正确，正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1∥平面ABB1A1，DD1∥平面BB1C1C，但两个平面相交，故(3)错；同样在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1与B1C1都与平面ABCD平行，故(3)错；(4)正确，故选B

7．给出下列命题：

①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；

②若直线与平面内的任意一条直线无公共点，则直线与平面平行；

③若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；

④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行．

其中正确命题的序号是(　　)

A．①② B．③④

C．①③ D．②④

[答案]　A

[解析]　由定义知①正确；若直线与平面内的任一条直线无公共点，则此直线与平面无公共点，∴②正确；如图(1)，直线a∩α＝A，a与α内不过A点的任意直线都不相交，故③错；如图(2)，a∥b，b⊂α，满足a∥b，a∥α，故④错．

8．直线a′⊂平面α，直线b′⊂平面α，且a′∥b′，其中a′，b′分别是直线a和直线b在平面α上的正投影，则直线a与直线b的位置关系是(　　)

A．平行或异面

B．相交或异面

C．相交、平行或异面

D．以上答案都不正确

[答案]　A

[解析]　如图，a与b可能平行，也可能异面．

9．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值为(　　)

A．0 B．3

C．12 D．不存在

[答案]　B

[解析]　由题意AB＝5，设PA＝x，则0≤x≤5，PB＝5－x，

＝，＝，

∴PM·PN＝x·(5－x)＝x(5－x)，

∴当x＝时取最大值3

10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D的位置关系是(　　)

A．EF∥平面BB1D1D

B．EF与平面BB1D1D相交

C．EF⊂平面BB1D1D

D．EF与平面BB1D1D的位置关系无法判断

[答案]　A

[证明]　取D1B1的中点O，连OF，OB，

∵OF綊B1C1，BE綊B1C1，∴OF綊BE，

∴四边形OFEB为平行四边形，∴EF∥BO

∵EF⊄平面BB1D1D，BO⊂平面BB1D1D，

∴EF∥平面BB1D1D，故选A

二、填空题

11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是______．

[答案]　相交

[解析]　因为M是A1D1的中点，所以直线DM与直线AA1相交，所以DM与平面A1ACC1有一个公共点，所以DM与平面A1ACC1相交．

三、解答题

12．如图所示的几何体中，△ABC是任意三角形，AE∥CD，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点．

求证：DF∥平面ABC

[证明]　如图所示，取AB的中点G，连接FG、CG，∵F、G分别是BE、AB的中点，

∴FG綊AE，

又AE＝2a，CD＝a，

∴CD＝AE，

而AE∥CD，∴CD綊FG，

∴四边形CDFG为平行四边形，

∴DF∥CG

又CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC

13．如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG

[证明]　如图，连结DM，交GF于O点，连结OE，

在△BCD中，G、F分别是BD、CD的中点，∴GF∥BC

∵G是BD中点，

∴O为MD中点．

在△AMD中，∵E、O为AD、MD中点，∴EO∥AM

又∵AM⊄平面EFG，EO⊂平面EFG∴AM∥平面EFG

14．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．

(1)求证：MN∥平面PAD；

(2)若MN＝BC＝4，PA＝4，求异面直线PA与MN所成的角的大小．

[解析]　(1)取PD的中点H，连结AH，NH，∵N是PC的中点，∴NH綊DC由M是AB的中点，

∴NH綊AM，即四边形AMNH为平行四边形．

∴MN∥AH

由MN⊄平面PAD，AH⊂平面PAD，

∴MN∥平面PAD

(2)连结AC并取其中点O，连结OM、ON，

∴OM綊BC，ON綊PA

∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角，

由MN＝BC＝4，PA＝4，得OM＝2，ON＝2

∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠ONM＝30°，

即异面直线PA与MN成30°的角．

15．如图，正方形ABCD和正方形ADEF相交于AD，M、N分别是BD、AE上的点，且AN＝BM求证：MN∥平面EDC(用两种证法证明)．

[证明]　证法1：作NP∥AD交DE于P，作MQ∥AD交DC于Q，则NP∥MQ∵AN＝BM，∴NE＝DM，

∴＝，又＝，＝，

∴NP＝MQ，∴NP綊MQ

∴MNPQ为平行四边形，∴MN∥PQ

又PQ⊂平面EDC　MN⊄平面DEC，

∴MN∥平面EDC

证法2：连AM并延长交直线DC于H，连EH

∵AB∥CD　∴＝

又BM＝AN，BD＝AE，∴＝，∴NM∥EH

∵MN⊄平面EDC，EH⊂平面EDC

∴MN∥平面EDC

16．(09·山东文)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1

[解析]　取A1B1的中点F1，连结FF1，C1F1，

由于FF1∥BB1∥CC1，

所以F1∈平面FCC1，

因此平面FCC1即为平面C1CFF1，连结A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊CD，

所以四边形A1DCF1为平行四边形，

因此A1D∥F1C

又EE1∥A1D，得EE1∥F1C，

而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，

故EE1∥平面FCC1

[点评]　学过下节后，可用面面平行证明如下：

因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC

又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1，

又EE1⊂平面ADD1A1，

所以EE1∥平面FCC1

希望对你有帮助

希望采纳

（2012广西崇左10分）如图所示，抛物线 （a≠0）的顶点坐标为点A（－2，3），

且抛物线 与y轴交于点B（0，2）

（1）求该抛物线的解析式；

（2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说

明理由；

（3）若点P是x轴上任意一点，则当PA－PB最大时，求点P的坐标

答案解：（1）∵抛物线的顶点坐标为A(－2，3)，∴可设抛物线的解析式为 。

由题意得 ，解得 。

∴物线的解析式为 ，即 。

（2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则

PA = ，PB= ，AB =

当PA=PB时， = ，解得 ；

当PA=PB时， =5，方程无实数解；

当PB=AB时， =5，解得 。

∴x轴上存在符合条件的点P，其坐标为（ ，0）或（-1,0）或（1,0）。

（3）∵PA－PB≤AB，∴当A、B、P三点共线时，可得PA－PB的最大值，这个最大值等于AB，

此时点P是直线AB与x轴的交点。

设直线AB的解析式为 ，则

，解得 。∴直线AB的解析式为 ，

当 =0时，解得 。

∴当PA－PB最大时，点P的坐标是（4，0）

（2012辽宁朝阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（－1，0）。

（1）求点C的坐标；

（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；

（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；

（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

答案解：（1）∵A（0，2），B（－1，0），∴OA=2，OB=1。

由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO，∴ ，即 ，解得OC=4。

∴点C的坐标为（4，0）。

（2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为 ，

将A（0，2）代入，得 ，解得 。

∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为 ，即 。

∵ ，∴抛物线的对称轴为 。

（3）过点P作x轴的垂线，垂足为点H。

∵点P（m，n）在 上，

∴P 。

∴ ，

， 。

∴ 。

∵ ，∴当 时，S最大。

当 时， 。∴点P的坐标为（2，3）。

（4）存在。点M的坐标为（ ）或（ ）或（ ）或（ ）或（ ）。

（2012山东临沂13分）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

答案解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°。

∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。

又∵OA=OB=4，

∴OC= OB= ×4=2，BC=OB•sin60°= 。

∴点B的坐标为（﹣2，﹣ ）。

（2）∵抛物线过原点O和点A．B，

∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2，﹣ ）代入，得

，解得 。

∴此抛物线的解析式为 。

（3）存在。

如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）。

①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=± ，

当y= 时，

在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD= ，

∴∠POD=60°

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上。

∴y= 不符合题意，舍去。

∴点P的坐标为（2，﹣ ）。

②若OB=PB，则42+|y+ |2=42，解得y=﹣ 。

∴点P的坐标为（2，﹣ ）。

③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+ |2，解得y=﹣ 。

∴点P的坐标为（2，﹣ ）。

综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣）。

（2012内蒙古包头12分）已知直线y = 2x + 4 与x 轴、y 轴分别交于A , D 两点，抛物线 经过点A , D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点。

（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；

（2）设点M 是直线AD 上一点，且 ，求点M 的坐标；

（3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y 轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案解：（1）在y = 2x + 4中，令y =0，得x=－2；令x=0，得y =4。

∴A（－2，0），D（0，4）。

将A（－2，0），D（0，4）代入，得

，解得。

∴这条抛物线的解析式为。

令，解得。∴B（4，0）。

（2）设M（m，2 m + 4），分两种情况：

①当M在线段AD上时，由得

，

解得，。∴M1（）。

②当M在线段DA延长线上时，

由得

，解得。∴M2（）。

综上所述，点M 的坐标为M1（），M2（）。

（3）存在。

∵点C（2，y）在上，

∴。∴C（2，4）。

设P，根据勾股定理，得

，

，。

分三种情况：

①若PB=BC，则，解得，。

∵点P在y 轴的正半轴上，∴P1（0，2）。

②若PB=PC，则，解得，。∴P2（0，）。

③若BC=PC，则，解得，。

∵点P在y 轴的正半轴上，∴不符合要求。

当时，B、C、P在一直线上，不构成三角形，也不符合要求。

∴BC=PC时，在y 轴的正半轴上是不存在点P，使△BCP为等腰三角形。

综上所述，在y 轴的正半轴上是存在点P1（0，2），P2（0，

（2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB

在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．

（1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物

线解析式；

（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段

AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1）

中的抛物线交于第一象限的点M．

①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；

②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求

点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解：（1）B（3，0），C（0，）。

∵A（—1，0）B（3，0）

∴可设过A、B、C三点的抛物线为 。

又∵C（0，）在抛物线上，∴，解得。

∴经过A、B、C三点的抛物线解析式 即。

（2）①当△OCE∽△OBC时，则。

∵OC=， OE=AE—AO=x－1， OB=3，∴。∴x=2。

∴当x=2时，△OCE∽△OBC。

②存在点P。

由①可知x=2，∴OE=1。∴E（1，0）。 此时，△CAE为等边三角形。

∴∠AEC=∠A=60°。

又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=60°。

∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称。

∵C（0，），∴M（2，）。

过M作MN⊥x轴于点N（2，0），

∴MN=。 ∴ EN=1。

∴ 。

若△PEM为等腰三角形，则：

ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2，且点P在直线x=1上，∴P(1，2)或P（1，－2）。

ⅱ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，∴P(1，2) 。

ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，∴P(1，)

∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，2）或（1，）时，

△EPM为等腰三角形。），使△BCP为等腰三角形。

（2012江西省10分）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．

（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．

①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；

②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；

③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．

答案解：（1）∵抛物线 ，

∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）。

（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：

对称轴为x=2；都经过A（1，0），B（3，0）两点。

②存在实数k，使△ABP为等边三角形．

∵ ，∴顶点P（2，－k）．

∵A（1，0），B（3，0），∴AB=2

要使△ABP为等边三角形，必满足|－k|= ，

∴k=± 。

③线段EF的长度不会发生变化。

∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，

∴kx2﹣4kx+3k=8k，∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8。解得：x1=﹣1，x2=5。

∴EF=x2﹣x1=6。∴线段EF的长度不会发生变化。

（2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交 于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线 、 ．

(1)求抛物线对应二次函数的解析式；

(2)求证以ON为直径的圆与直线 相切；

(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线 的距离之和等于线段MN的长．

答案解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2＋bx＋c，

则 解得 。

∴抛物线对应二次函数的解析式 所以 。

（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点M、N在抛物线上，

∴ ，∴x22=4(y2+1)。

又∵ ，∴ 。

又∵y2≥－l，∴ON=2＋y2。

设ON的中点E，分别过点N、E向直线 作垂线，垂足为P、F， 则 ，

∴ON=2EF，

即ON的中点到直线 的距离等于ON长度的一半，

∴以ON为直径的圆与 相切。

（3）过点M作MH⊥NP交NP于点H，则 ，

又∵y1=kx1，y2=kx2，∴（y2－y1)2=k2(x2－x1)2。∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2。

又∵点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上，

∴ ，即x2－4kx－4=0，∴x2＋x1=4k，x2·x1=－4。

∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2)[ (x2＋xl)2－4x2·xl] =16(1+k2)2。∴MN=4(1+k2)。

延长NP交 于点Q，过点M作MS⊥ 交 于点S，

则MS＋NQ=y1＋2＋y2＋2=

∴MS+NQ=MN，即M、N两点到 距离之和等于线段MN的长。

（2011四川眉山11分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（－4，4），将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C；顶点在坐标原点的抛物线经过点B．

（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；

（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1＋1；

（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．

（2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx与抛物线 交于点A（3，6）．

（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；

（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

答案解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2。

∴y=2x。

∴ 。

（2）线段QM与线段QN的长度之比是一个定值，理由如下：

如图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．

①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，

此时 。

②当QH与QM不重合时，

∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，

∴∠MQH=∠GQN。

又∵∠QHM=∠QGN=90°，∴△QHM∽△QGN。

∴ 。

当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 。

∴线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。

（3）如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R。版权归锦元数学工作室，不得转载

∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF。

∴OC=AC= 。

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，

∴△AOR∽△FOC。∴ 。

∴OF= 。

∴点F（ ，0）。

设点B（x， ），过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF。

∴ ，即 。

解得x1=6，x2=3（舍去）。∴点B（6，2）。

∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4。∴AB=5。

在△ABE与△OED中，∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB。

∴∠ABE=∠DEO。

∵∠BAE=∠EOD，∴△ABE∽△OED。

设OE=x，则AE= ﹣x （ ），

由△ABE∽△OED得 ，即 。

∴ 。

∴顶点为 。

如图3，当 时，OE=x= ，此时E点有1个；

当 时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．

∴当 时，E点只有1个，当 时，E点有2个。

（2012四川绵阳14分）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+ x +c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（-3，0），M（0，-1）。已知AM=BC。

（1）求二次函数的解析式；版权归锦元数学工作室，不得转载

（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；

（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N。

①若直线l⊥BD，如图1所示，试求 的值；

②若l为满足条件的任意直线。如图2所示，①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。

答案解：（1）∵二次函数y=ax2+x +c的图象经过点B（-3，0），M（0，-1），

∴ ，解得。

∴二次函数的解析式为：。

（2）证明：在中，令y=0，得，解得x1=－3，x2=2。

∴C（2，0），∴BC=5。

令x=0，得y=-1，∴M（0，－1），OM=1。

又AM=BC，∴OA=AM－OM=4。∴A（0，4）。

设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，

则，解得x1=5，x2=－6（位于第二象限，舍去）。

∴D点坐标为（5，4）。∴AD=BC=5。

又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。版权归锦元数学工作室，不得转载

设直线BD解析式为：y=kx+b，∵B（－3，0），D（5，4），

∴ ，解得：。

∴直线BD解析式为：。

（3）在Rt△AOB中，，

又AD=BC=5，∴▱ABCD是菱形。

①若直线l⊥BD，如图1所示，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD。∴AC∥直线l。∴。

∵BA=BC=5，∴BP=BQ=10。

∴。

②若l为满足条件的任意直线，如图2所示，此时①中的结论依然成立，理由如下：

∵AD∥BC，CD∥AB，∴△PAD∽△DCQ。∴。

∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25。

∴

。

（2012江苏连云港12分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，

(1)求抛物线所对应的函数解析式；

(2)求△ABD的面积；

(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．

答案解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，

∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．

把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c，得

，解得。

∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3。

(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，

∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)。∴△ABD中AB边的高为4。

令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3。

∴AB＝3－(－1)＝4。

∴△ABD的面积＝×4×4＝8。

(3)如图，△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由（1）(2)可知OA＝1，OC=3，

∵点A对应点G的坐标为(3，2)。

∵当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，

∴点G不在该抛物线上。

（2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；

（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．

①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；

②若⊙M的半径为，求点M的坐标．

答案解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）

∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），

将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1。

∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），即y=x2﹣x﹣2。

（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，

在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，

解得，x=，即OP=。

（3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。

（i）如图1，当H在点C下方时，

∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴yM=﹣2。

∴x2﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1。

∴M（1，﹣2）。

（ii）如图2，当H在点C上方时，

∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。

由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点，

设直线CM′的解析式为y=kx﹣2，

把P（，0）的坐标代入，得k﹣2=0，解得k=。

∴y=x﹣2。

由x﹣2=x2﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=。

此时y=。

∴M′（）。

②在x轴上取一点D，如图3，过点D作DE⊥AC于点E，使DE=，

在Rt△AOC中，AC=。

∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，

∴△AED∽△AOC，

∴，即，解得AD=2。

∴D（1，0）或D（﹣3，0）。

过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图

则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。

当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，

当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣4=0，解得。

∴点M的坐标为（）或（）。