0.3（循环小数）化成分数！求解答！

循环小数包括纯循环小数和混循环小数两种。（整数部分写成带分数形式不用考虑）

纯循环小数化成分数的方法是：有几位循环节，就写几个9做分母，去掉小数点做分子。例如：03（3循环）=3/9=1/3；035（35循环）=35/99；1255（255循环）=1又255/999。

混循环小数化成分数的方法是：有几位循环节就写几个9，有几位不循环就在9后面写几个0做分母，去掉小数点后的数减去不循环部分做分子。如003（3循环），3-0=3做分子，90做分母，化简得1/30；0123（3循环），分母是900，分子是123-12=111；即111/900。

这样想：

（1）循环小数分为：纯循环小数和混循环小数。

（2）纯循环小数的化法是：

如，0ab（ab循环）=（ab/99），最后化简。

举例如下：

03（3循环）=3/9=1/3；

07（7循环）=7/9；

081（81循环）=81/99=9/11；

1206（206循环）=1又206/999。

（3）混循环小数的化法是：

如，0abc（bc循环）=（abc－a）/990。最后化简。

举例如下：

051（1循环）=（51－5）/90=46/90=23/45；

02954（54循环）=（2954－29）/9900=13/44；

14189（189循环）=1又（4189－4）/9990=1又4185/9990=1又31/74。

循环小数与分数的互化

1、循环小数：一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断的重复出现，这个小数叫做循环小数。

2、循环节：一个循环小数的小数部分中，依次不断的重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。

3、能化为循环小数的分数：一个最简分数，如果分母中含有2和5以外的素因数，这个分数就不能化为有限小数，而化成循环小数。

4、纯循环小数化分数的方法：分数的分子是一个循环节所表示的数，分母的各个位上的数字全是9，9的个数等于循环节里数字的个数。

5、混循环小数化分数的方法：分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与小数部分中不循环部分的数字所组成的数之差；分母的头几位数字是9，9后面的数字是0，9的个数和一个循环节中的数字个数相等，0的个数等于不循环部分的数字个数。

1、循环小数分纯循环小数和混循环小数

2、纯循环小数的化法,如,0ab（ab循环）=（ab/99）

3、混循环小数的化法,如,0abc（bc循环）=（abc－a）/990

一、纯循环小数化分数

从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数怎样把它化为分数呢看下面例题

把纯循环小数化分数：

纯循环小数的小数部分可以化成分数,这个分数的分子是一个循环节表示的数,分母各位上的数都是99的个数与循环节的位数相同能约分的要约分

二、混循环小数化分数

不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数怎样把混循环小数化为分数呢把混循环小数化分数

（2）先看小数部分0353

一个混循环小数的小数部分可以化成分数,这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差分母的头几位数是9,末几位是09的个数与循环节中的位数相同,0的个数与不循环部分的位数相同

三、循环小数的四则运算

循环小数化成分数后,循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行从这种意义上来讲,循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样,也是分数的四则运算

有限小数化成分数直接将小数点去掉,分母对应化成十百千万等再约分

将循环小数化成分数，是解决有关循环小数的基本方法。怎样才能将循环小数化成分数呢这要请我们的老朋友——9来帮助解决问题。我们知道，在数列计算中，有一个无穷等比数列的求和公式s＝a/1-q。其中a是这个数列的第一项，q是公比。下面要用这个公式来研究化循环小数为分数的方法。先观察下面两个循环小数：0666……＝06，0242424……＝024。它们都是从小数点后的第一位开始循环的，叫做纯循环小数。为了便于计算，先将它们写成分数的和的形式：

0666……＝06+006+0006+……

＝6/10+6/100+6/1000+6/10000+……

0242424……＝024+00024+0000024+……

＝24/100+24/1000+24/10000000+……

这就变成了无穷递缩等比数列的形式。06666……的公比是1/10，而0242424……的公比是1/100。

由此可以看出，要把纯循环小数化为分数，只要把一个循环节的数化为分子，让分母由9组成，循环节有几位数字，分母是几个9就行了。

下面再来看看以下两个循环小数：

02888……＝028，03545454……＝0354它们都不是从小数点的第一位开始循环的，这叫混循环小数。用分数的和可表示为：

02888……＝2/10+8/100+/1000+/10000+……，

035454……＝3/10+54/100+4/100000+……。

这种和的形式，从第二项起，构成了一个分别以1/10，1/100为公比的无穷递缩等比数列。

由此可以看出：把混循环小数化为分数，先去掉小数点，再用第二个循环节以前的数字减去不循环部分的数字，将得到的差作为分子；分母由9和0组成，9的个数等于一个循环节的位数，9的后面写0，0的个数等于不循环部分的位数。例如：

02777……＝027＝27-2/90＝25/90＝5/18。

031252525……＝03125＝3125-31/9900＝1547/4950。

数学的变化虽是无穷的，在研究了大量的现象或大量的例题后，应学会从特殊的问题中，总结出一般规律的思考方法。这种由特殊情况归纳出一般情况的方法称为经验归纳法。

　　将无限循环小数化成分数方法：用扩倍的方法，再减去原来的数。

　　分析：

　　由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。转化需要先“去掉”无限循环小数的“无限小数部分”。一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍„„使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了。

　　把 033……和 04747…… 化成分数

　　例1： 033……×10＝333……

　　033……×10－033……=333……－033……

　　=(10-1) ×033……=3

　　即9×033……=3

　　那么033……=3/9=1/3

　　例2： 04747……×100＝474747……

　　04747……×100－04747……＝474747……－04747……

　　=(100－1)×04747……=47

　　即99×04747…… =47

　　那么 04747……=47/99

　　由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。

有理数第一节的学习，学生对有限循环小数能化成分数不太理解，为此，做题就会出现问题。这篇文章就是为对有限循环小数能可以化成分数提供了一个充分的理由。读读看，如果你能讲出来，那就说明你真正明白了！当然，学习以下材料需要一定的耐心和毅力，你能接受这个考验吧，哈哈，有人已经在进步了，他们会越来越榜的！期待每一位同学能都从学习中获得进步！老师有时间要测侧看哦！在小学的时候，我们的学生都能把“整数表示成分母是1的分数”，而且大多数学生也都能把有限小数和无限循环小数表示成分数的形式．这样，整数、分数、有限小数、循环小数都属于有理数，而有限小数和循环可以化成分数，所以教科书中说“整数和分数统称有理数”，其中当然包括有限小数和无限循环小数．下面对“有限小数和无限循环小数可以化成分数”给以解释，有限小数化成分数同学们都可以理解，关键是无限循环小数如何化成分数。例 ：把0231(231为循环节)、0231(31为循环节)化成分数．（注：由于循环节输不上去，只能用文字表示：“231为循环节”表示2和1上面分别有一个点，3上没有点；31为循环节表示3和1上面各有一个点）特别提醒：把循环小数化成分数是有规律可循的．下面我们用方程的思想，借助具体的例子来总结这个规律： 设0231(231为循环节)＝x……………①，现将左右两端同时乘以1000得231231(231为循环节)=1000x………②于是，由②－①，得 231＝1000x- x即 999x＝231 故 x＝231/999,约分，得x＝77/333． 可见0231(231为循环节)转化成分数是231/999．于是在此基础上给出纯循环小数化为分数的一般方法就不困难了．请同学们自已从中归纳得出相应的一般方法来．设0231(31为循环节)＝y，则有10y＝231(31为循环节)……………①1000y＝23131(31为循环节)………②由②－①得1000y-10y＝231-2 y＝(231-2)/990即 y＝229/990 可见0231(31为循环节)转化成分数是(231-2)/990=229/990，在此基础上给出混循环小数化为分数的一般方法是不困难的．请同学们自己去归纳． 老师相信你们的能力，只要你用心读了，你一定会有想法的！数学最重要的就是“你思考了，解决疑问了或者有‘问题”了”。