如何将循环小数转化为分数

1、纯循环小数化为分数

方法：将纯循环小数改写为分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同，最后能约分的再约分。

2、混循环小数化为分数

方法：将混循环小数改写为分数，分子就是循环节中小数部分的数字组成的数减去小数部分中不循环部分数字组成的数而得到的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同。

扩展资料

应用：

1312323…=13+(123-1)/990=6496/495

0123123…=123/999

012333…=(123-12)/900=111/900=37/300

把上面的结论特点统一一下就是：如果循环节加上不循环的数位总共有多少位，那么分母就是多少位的9+0，9的个数等同循环节位数，0的个数等同不循环的位数；分子等于=小数点后不循环的数字加第一个循环节构成的数字，再减去小数点后不循环的数字。

将循环小数化成分数，是解决有关循环小数的基本方法。怎样才能将循环小数化成分数呢这要请我们的老朋友——9来帮助解决问题。我们知道，在数列计算中，有一个无穷等比数列的求和公式s＝a/1-q。其中a是这个数列的第一项，q是公比。下面要用这个公式来研究化循环小数为分数的方法。先观察下面两个循环小数：0666……＝06，0242424……＝024。它们都是从小数点后的第一位开始循环的，叫做纯循环小数。为了便于计算，先将它们写成分数的和的形式：

0666……＝06+006+0006+……

＝6/10+6/100+6/1000+6/10000+……

0242424……＝024+00024+0000024+……

＝24/100+24/1000+24/10000000+……

这就变成了无穷递缩等比数列的形式。06666……的公比是1/10，而0242424……的公比是1/100。

由此可以看出，要把纯循环小数化为分数，只要把一个循环节的数化为分子，让分母由9组成，循环节有几位数字，分母是几个9就行了。

下面再来看看以下两个循环小数：

02888……＝028，03545454……＝0354它们都不是从小数点的第一位开始循环的，这叫混循环小数。用分数的和可表示为：

02888……＝2/10+8/100+/1000+/10000+……，

035454……＝3/10+54/100+4/100000+……。

这种和的形式，从第二项起，构成了一个分别以1/10，1/100为公比的无穷递缩等比数列。

由此可以看出：把混循环小数化为分数，先去掉小数点，再用第二个循环节以前的数字减去不循环部分的数字，将得到的差作为分子；分母由9和0组成，9的个数等于一个循环节的位数，9的后面写0，0的个数等于不循环部分的位数。例如：

02777……＝027＝27-2/90＝25/90＝5/18。

031252525……＝03125＝3125-31/9900＝1547/4950。

数学的变化虽是无穷的，在研究了大量的现象或大量的例题后，应学会从特殊的问题中，总结出一般规律的思考方法。这种由特殊情况归纳出一般情况的方法称为经验归纳法。

无限循环小数化为分数的通用方法：

步骤1将无限循环小数分为2个部分，以你给的0345454545为例，将其分03+00454545这2个部分。

步骤2将这2个部分分别化成分数，03=3/10，

0045454545的划分方法先设它为a，那么就有：

10a=045454545

1000a=45454545

1000a-10a=45

990a=45

a=45/990=1/22

所以0045454545=1/22

步骤3再将2个部分相加就得到该无限循环小数化成分数的结果了

3/10+1/22=66/220+10/220=76/220=19/55

所以0345454545=19/55

04561212121212也是一样的方法解决

（1）先分成0456+000012121212

（2）0456=456/1000=57/125

设000012121212=a

1000a=012121212

100000a=12121212

100000a-1000a=12

99000a=12

a=12/99000=1/8250

（3）0456121212=57/125+1/8250

=3762/8250+1/8250=3763/8250

无限循环小数化成分数 有两个方法 1、等比数列法（见高二） 2、小学记忆法 例如：0333＝1/3 0214214214214214=214/999 简单说每一个循环节为分子，循环节有几位数分母就写几个9 03333循环节为3 0214循环节为214 052525252循环节为52，所以0525252＝52/99

1、看是几位小数,就在1后面添几个0做分母。

2、把原来的小数去掉小数点后作分子。

3、能约分的要约分。

如：025二位小数——在1后面添2个0做分母（就是100）——把025去掉小数点做分子（就是25）——分数就是100分之125——约分后是4分之1

有限小数化成分数：分母的首位数是1后面是0，0的个数与小数位数的个数相同，分子是把有限小数取作整数，把小数点右边的数看作整数作为分子，但不包括小数点右边十分位、百分位、千分位，上的0，能约分的要化简，譬如：将0678化为分数，即678/1000=339/500，01681=1681/10000，0087=87/1000，00078=78/10000=39/5000，；

带小数（混小数）化成分数：

譬如：将218化成分数，解：因为218=2+018，所以，218=2+018=2+（18/100）=2+（9/50）=109/50，把31415化成分数，∵31415=3+01415，∴31415=3+（1415/10000）=3+（283/2000）=6283/2000，等等以此类推，能约分的一定要化简；

负小数化成分数其法则、方法与以上相同：

譬如：-0 ˙186˙=-186/999=-62/333，-00˙87˙=-87/990=-29/330，-05678=-5678/10000=-2839/5000，等等依次类推，能约分的一定要化为最简分数。

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小数化分数：

1、有限小数化成分数：分母的首位数是1后面是0，0的个数与小数位数的个数相同，分子是把有限小数取作整数，把小数点右边的数看作整数作为分子，但不包括小数点右边十分位、百分位、千分位，上的0，能约分的要化简。

2、带小数（混小数）化成分数：

将218化成分数，解：因为218=2+018，所以，218=2+018=2+（18/100）=2+（9/50）=109/50，把31415化成分数，∵31415=3+01415，∴31415=3+（1415/10000）=3+（283/2000）=6283/2000，等等以此类推，能约分的一定要化简；

3、负小数化成分数其法则、方法与以上相同：

˙186˙=-186/999=-62/333，-00˙87˙=-87/990=-29/330，-05678=-5678/10000=-2839/5000，等等依次类推，能约分的一定要化为最简分数。

参考资料：

无限循环小数化分数的

首先明确一点 无限不循环小数 是不能转化成分数的 那么无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法“剪掉”无限循环小数的“大尾巴”。策略就是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“大尾巴”完全相同，然后这两个数相减，“大尾巴”不就剪掉了吗！我们来看两个例子： ⑴把04747……和033……化成分数。 等等既然我们讨论到无限这个概念 那么我们就应该明确一点 既然都是 无限循环小数 那么他们在循环节中小数点后 数的个数就没有区别的 统一的认为是无限个 例如： 想1： 04747……×100=474747…… 04747……×100－04747……=474747……－04747…… (100－1)×04747……=47 即99×04747…… =47 那么04747……=47/99 想2： 033……×10＝333…… 033……×10－033……=333…－033…… (10-1) ×033……=3 即9×033……=3 那么033……=3/9=1/3 由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。 ⑵把04777……和0325656……化成分数。 想1：04777……×10=4777……① 04777……×100=4777……② 用②－①即得: 04777……×90=47－4 所以, 04777……=43/90 想2：0325656……×100=325656……① 0325656……×10000=325656……② 用②－①即得: 0325656……×9900=32565656……－325656…… 0325656……×9900=3256－32 所以, 0325656……=3224/9900

①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。

②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。

扩展资料

无限循环小数，先找其循环节(即循环的那几位数字)，然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。

例如：0333333……

循环节为3

则03=310^(-1)+310^(-2)+……+3^10(-n)+……

前n项和为：301(1-(01)^(n))/(1-01)

当n趋向无穷时(01)^(n)=0

因此03333……=03/09=1/3

注意：m^n的意义为m的n次方。

方法2：设03333……，三的循环为x，

10x=33333……

10x-x=33333……-03333……

(注意：循环节被抵消了)

9x=3

3x=1

x=1/3

第二种：如，将3305030503050……(3050为循环节)化为分数。

解：设：这个数的小数部分为a，这个小数表示成3+a

10000a-a=3050

9999a=3050

a=3050/9999

算到这里后，能约分就约分，这样就能表示循环部分了。再把整数部分乘分母加进去就是

(3×9999+3050)/9999

=33047/9999

还有混循环小数转分数

如01555……

循环节有一位，分母写个9，非循环节有一位，在9后添个0

分子为非循环节+循环节(连接)-非循环节+15-1=14

14/90

约分后为7/4

无限循环小数06转化为分数是三分之二。

1、纯循环小数的化法,如,0ab（ab循环）=（ab/99）,最后化简举例如下：

03（3循环）=3/9=1/3；

07（7循环）=7/9；

081（81循环）=81/99=9/11；

1206（206循环）=1又206/999

2、混循环小数的化法,如,0abc（bc循环）=（abc－a）/990最后化简举例如下：

051（1循环）=（51－5）/90=46/90=23/45；

02954（54循环）=（2954－29）/9900=13/44；

14189（189循环）=1又（4189－4）/9990=1又4185/9990=1又31/74

扩展资料：

两个整数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数；另一种，得到无限小数。

从小数点后某一位开始依次不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如21666（混循环小数），35232323（循环小数），20333333…（循环小数）等，其中依次循环不断重复出现的数字叫循环节。

循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。例如：

2966666 缩写为  或  （读作“二点九六，六循环”）

35232323…缩写为  或  （它读作“三十五点二三，二三循环”）

36568568……缩写为  或  （它读作“三十六点五六八，五六八循环”）

循环小数可以利用等比数列求和公式的方法化为分数，所以循环小数均属于有理数。

将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同。

例如：01234234234…=(1234-1)/9990 055889888988898=(558898-55)/999900

参考资料：

——循环小数