若一次函数y=mx n(m≠0)

已知平面直角坐标系中,一次函数y=mx+n(m≠0)与反比例函数y=k/x(k>o)在第一象限内交于点A,一次函数交x轴于点B,且A（2,1）,B（-1,0）,点P为坐标轴上动点

1求反比例函数解析式

2求一次函数解析式

3在点P的运动过程中,是否存在△AOP为直角三角形（或△AOP为等腰三角形）,若存在,请求出点P坐标；若不存在,请说明理由

（1）解析：∵一次函数y=mx+n(m≠0)与反比例函数y=k/x(k>o)在第一象限内交于点A,一次函数交x轴于点B,且A（2,1）,B（-1,0）,

∴1=k/2==>k=2,

∴反比例函数解析式为：y=2/x

1=2m+n；0=-m+n

二式联立解得m=1/3,n=1/3

∴一次函数解析式为：y=1/3x+1/3

(3)解析：设点P为坐标轴上动点,△AOP为直角三角形

a)过A作AP⊥X轴于P,则△AOP为直角三角形,此时P(2,0)；

b)过A作AP1⊥Y轴于P1,则△AOP1为直角三角形,此时P1(0,1)；

c)过A作P3P4⊥OA交X轴于P3,交Y轴于P4,则△AOP3,△AOP4为直角三角形,

直线OA：y=1/2x

∴直线P3P4：y-1=-2(x-2)==>y=-2x+5

此时P3(5/2,0),P4(0,5)；

设△AOP为等腰三角形

|OA|=√(2^2+1)=√5

a)在Y轴上取|OP|=√5,则△AOP为等腰三角形,此时OP=OA,P(0,√5)；

b)以A为圆心,以√5为半径作圆交Y轴于P1,则△AOP1为等腰三角形,此时AP1=AO,

圆方程(x-2)^2+(y-1)^2=5

令x=0,解得y1=0,y2=2

∴P1(0,2)；

c)取OA中点C(1,1/2),过C作OA的中垂线交Y轴于P3

直线CP3：y-1/2=-2(x-1)==>y=-2x+5/2

则△AOP3为等腰三角形,此时P3O=P3A,P(0,5/2)；

a)在X轴上取|OP4|=√5,则△AOP4为等腰三角形,此时OP4=OA,P4(√5,0)；

b)以A为圆心,以√5为半径作圆交X轴于P5,则△AOP5为等腰三角形,此时AP5=AO,

圆方程(x-2)^2+(y-1)^2=5

令y=0,解得x1=0,x2=4

∴P5(4,0)；

c)取OA中点C(1,1/2),过C作OA的中垂线交X轴于P6

直线CP6：y-1/2=-2(x-1)==>y=-2x+5/2

则△AOP6为等腰三角形,此时P6O=P6A,P6(5/4,0)；

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确定了二点A(1,1),O(0,0)后，等腰三角形AOP首先分两种情况考虑：

1）AO为等腰三角形的底边

那么作AO的垂直平分线交y轴于点P，只有一个交点在Y轴的正轴，P为（01）

2）AO为等腰三角形的一腰

那么以A为圆心，AO为半径作弧与Y轴相交，交点是P（0，2）

或者，以O为圆心，OA为半径作弧，与Y轴相交，

交点有二个，即 （0，-√2）和（0，√2）

因此，这样的点共有4个

如果，把与X轴的交点也考虑在内，同样也有4个交点

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